{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }} expand_more {{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}
{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}
{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}
{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Jrhoads (Diskussion | bidrag) | Jrhoads (Diskussion | bidrag) (Den här versionen är märkt för översättning) | ||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | <hbox type="h1" iconcolor="rules"><translate>Samband mellan derivata och integral</translate></hbox> | + | <hbox type="h1" iconcolor="rules"><translate><!--T:1--> |
| − | <translate>[[Integral *Wordlist*|Integralen]] i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till $f(t)$ och koordinataxlarna upp till den övre gränsen $t=x.$</translate> | + | Samband mellan derivata och integral</translate></hbox> |
| + | <translate><!--T:2--> | ||
| + | [[Integral *Wordlist*|Integralen]] i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till $f(t)$ och koordinataxlarna upp till den övre gränsen $t=x.$</translate> | ||
<jsxgpre id="samband_mellan_derivata_och_integral_misc"> | <jsxgpre id="samband_mellan_derivata_och_integral_misc"> | ||
| Rad 13: | Rad 15: | ||
</jsxgpre> | </jsxgpre> | ||
| − | <translate>Eftersom områdets area beror på den övre [[Integrationsgräns *Wordlist*|integrationsgränsen]], $x,$ kan man definiera en ''areafunktion'',</translate> | + | <translate><!--T:3--> |
| + | Eftersom områdets area beror på den övre [[Integrationsgräns *Wordlist*|integrationsgränsen]], $x,$ kan man definiera en ''areafunktion'',</translate> | ||
\[ | \[ | ||
A(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t}, | A(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t}, | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>som beräknar arean av området mellan $f(t)$ och $t$-axeln från $0$ till $x.$ Denna areafunktion är en [[Primitiv funktion *Wordlist*|primitiv funktion]] till [[Integrand *Wordlist*|integranden]], vilket gör att man kan formulera ett samband mellan primitiva funktioner och integraler.</translate> | + | <translate><!--T:4--> |
| + | som beräknar arean av området mellan $f(t)$ och $t$-axeln från $0$ till $x.$ Denna areafunktion är en [[Primitiv funktion *Wordlist*|primitiv funktion]] till [[Integrand *Wordlist*|integranden]], vilket gör att man kan formulera ett samband mellan primitiva funktioner och integraler.</translate> | ||
| − | <ebox title="$F(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t \quad \text{<translate>om</translate>} \quad F'(x)=f(x)$" labletitle="Regel"> | + | <ebox title="$F(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t \quad \text{<translate><!--T:5--> |
| − | <translate>Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen $A(x)$ för att beräkna arean av ett [[Godtycklig *Wordlist*|godtyckligt]] område under kurvan. Mellan $0$ och $x$ beskrivs arean av integralen</translate> | + | om</translate>} \quad F'(x)=f(x)$" labletitle="Regel"> |
| + | <translate><!--T:6--> | ||
| + | Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen $A(x)$ för att beräkna arean av ett [[Godtycklig *Wordlist*|godtyckligt]] område under kurvan. Mellan $0$ och $x$ beskrivs arean av integralen</translate> | ||
\[ | \[ | ||
A(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t. | A(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t. | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Om gränsen flyttas längden $h$ åt höger kommer den nya gränsen bli $x+h$ och arean under grafen beskrivs av</translate> | + | <translate><!--T:7--> |
| + | Om gränsen flyttas längden $h$ åt höger kommer den nya gränsen bli $x+h$ och arean under grafen beskrivs av</translate> | ||
\[ | \[ | ||
A(x+h)=\displaystyle{\int_0^{x+h}} f(t)\text{ d}t. | A(x+h)=\displaystyle{\int_0^{x+h}} f(t)\text{ d}t. | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs. $A(x+h)-A(x).$</translate> | + | <translate><!--T:8--> |
| + | Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs. $A(x+h)-A(x).$</translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
| − | <translate>[[File:samband_mellan_derivata_och_integral_2.svg|center|link=|alt=Areaberäkningar under en kurva]]</translate> | + | <translate><!--T:9--> |
| + | [[File:samband_mellan_derivata_och_integral_2.svg|center|link=|alt=Areaberäkningar under en kurva]]</translate> | ||
TAGS: | TAGS: | ||
| Rad 122: | Rad 131: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
| − | <translate>Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden $h$ och där höjden är [[Funktionsvärde *Wordlist*|funktionsvärdet]] för $f(t)$ vid $x,$ dvs. $f(x).$ Det ger sambandet</translate> | + | <translate><!--T:10--> |
| + | Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden $h$ och där höjden är [[Funktionsvärde *Wordlist*|funktionsvärdet]] för $f(t)$ vid $x,$ dvs. $f(x).$ Det ger sambandet</translate> | ||
\[ | \[ | ||
f(x)\g h \approx A(x+h)-A(x). | f(x)\g h \approx A(x+h)-A(x). | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Genom att låta bredden $h$ gå mot $0$ kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]] för att visa att $A(x)$ är en primitiv funktion till $f(x),$ dvs. $A'(x)=f(x).$</translate> | + | <translate><!--T:11--> |
| + | Genom att låta bredden $h$ gå mot $0$ kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]] för att visa att $A(x)$ är en primitiv funktion till $f(x),$ dvs. $A'(x)=f(x).$</translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
| Rad 135: | Rad 146: | ||
f(x) =\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h} | f(x) =\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h} | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>Titta nu på högerledet. Det är [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]] för funktionen $A(x),$ dvs. $A'(x)$:</translate> | + | <translate><!--T:12--> |
| + | Titta nu på högerledet. Det är [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]] för funktionen $A(x),$ dvs. $A'(x)$:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
f(x)=A'(x). | f(x)=A'(x). | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Eftersom integranden $f(x)$ är derivatan till $A(x),$ är $A(x)$ en primitiv funktion till $f(x)$ dvs.</translate> | + | <translate><!--T:13--> |
| + | Eftersom integranden $f(x)$ är derivatan till $A(x),$ är $A(x)$ en primitiv funktion till $f(x)$ dvs.</translate> | ||
\[ | \[ | ||
A(x)=F(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} | A(x)=F(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>där $F'(x)=f(x).$ Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och [[Derivata *Wordlist*|derivata]] är användbart när man ska [[Beräkna integral med primitiv funktion *Method*|beräkna integraler algebraiskt]].</translate> | + | <translate><!--T:14--> |
| + | där $F'(x)=f(x).$ Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och [[Derivata *Wordlist*|derivata]] är användbart när man ska [[Beräkna integral med primitiv funktion *Method*|beräkna integraler algebraiskt]].</translate> | ||
</ebox> | </ebox> | ||
Versionen från 19 januari 2018 kl. 18.08
Regel
Samband mellan derivata och integral
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Eftersom områdets area beror på den övre integrationsgränsen, x, kan man definiera en areafunktion,
som beräknar arean av området mellan f(t) och t-axeln från 0 till x. Denna areafunktion är en primitiv funktion till integranden, vilket gör att man kan formulera ett samband mellan primitiva funktioner och integraler. Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen A(x) för att beräkna arean av ett godtyckligt område under kurvan. Mellan 0 och x beskrivs arean av integralen
A(x)=∫0xf(t) dt.
Om gränsen flyttas längden h åt höger kommer den nya gränsen bli x+h och arean under grafen beskrivs av A(x+h)=∫0x+hf(t) dt.
Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs. A(x+h)−A(x). 
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x).
Genom att låta bredden h gå mot 0 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att A(x) är en primitiv funktion till f(x), dvs. A′(x)=f(x).
Titta nu på högerledet. Det är derivatans definition för funktionen A(x), dvs. A′(x):
f(x)=A′(x).
Eftersom integranden f(x) är derivatan till A(x), är A(x) en primitiv funktion till f(x) dvs.
där F′(x)=f(x). Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.