{{ stepNode.name }}
| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Moa (Diskussion | bidrag) | TemplateBot (Diskussion | bidrag) | ||
Rad 9: | Rad 9: | ||
Om man tar ett lån på $100\,000$ kr med $5\,\%$ ränta och betalar tillbaka hela detta vid ett och samma tillfälle efter $10$ år kommer man att behöva betala | Om man tar ett lån på $100\,000$ kr med $5\,\%$ ränta och betalar tillbaka hela detta vid ett och samma tillfälle efter $10$ år kommer man att behöva betala | ||
\[ | \[ | ||
− | 100\,000 \ | + | 100\,000 \t 1.05^{10} \approx 162\,889\, \text{kr.} |
\] | \] | ||
Detta är [[Slutvärde *Wordlist*|slutvärdet]] för de lånade $100\,000$ kronorna efter $10$ år, och är alltså vad banken förväntar sig att ha efter den tiden. Slutvärdet består av $100\,000$ kr i amorteringar plus $62\,889$ kr i räntekostnader. </translate> | Detta är [[Slutvärde *Wordlist*|slutvärdet]] för de lånade $100\,000$ kronorna efter $10$ år, och är alltså vad banken förväntar sig att ha efter den tiden. Slutvärdet består av $100\,000$ kr i amorteringar plus $62\,889$ kr i räntekostnader. </translate> | ||
Rad 37: | Rad 37: | ||
\node[anchor=base] at (2*0.8, -1) {$100\,000$}; | \node[anchor=base] at (2*0.8, -1) {$100\,000$}; | ||
\draw[-latex, dashed] (3.5*0.8, -0.9) -- ++(5.8*0.8,0); | \draw[-latex, dashed] (3.5*0.8, -0.9) -- ++(5.8*0.8,0); | ||
− | \node[anchor=base] at (9.9, -1) {$100\,000 \hspace{-1.5pt}\ | + | \node[anchor=base] at (9.9, -1) {$100\,000 \hspace{-1.5pt}\t \hspace{-1.5pt}1.05^{10}$}; |
\end{tikzpicture} | \end{tikzpicture} | ||
Rad 53: | Rad 53: | ||
Hur blir totala slutvärdet en geometrisk summa?</translate></hbox> | Hur blir totala slutvärdet en geometrisk summa?</translate></hbox> | ||
<translate><!--T:10--> | <translate><!--T:10--> | ||
− | Låt säga att lånet i exemplet betalas tillbaka med annuiteten $x$ kr/år och att den första återbetalningen sker efter ett år. Dessa pengar har banken tillgång till i $9$ år och de kommer att generera $5\,\%$ ränta på något annat sätt under denna tid. Slutvärdet för den första avbetalningen blir då för banken $x \ | + | Låt säga att lånet i exemplet betalas tillbaka med annuiteten $x$ kr/år och att den första återbetalningen sker efter ett år. Dessa pengar har banken tillgång till i $9$ år och de kommer att generera $5\,\%$ ränta på något annat sätt under denna tid. Slutvärdet för den första avbetalningen blir då för banken $x \t 1.05^9$ kr.</translate> |
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
Rad 83: | Rad 83: | ||
\node[anchor=base] at (2, -1) {$x$}; | \node[anchor=base] at (2, -1) {$x$}; | ||
\draw[-latex, dashed] (2.5, -0.9) -- ++(5.4,0); | \draw[-latex, dashed] (2.5, -0.9) -- ++(5.4,0); | ||
− | \node[anchor=base] at (11.3-1.5, -1) {$x \ | + | \node[anchor=base] at (11.3-1.5, -1) {$x \t 1.05^9$}; |
\node[anchor=base,gray] at (7,-2.6) {Första avbetalningen}; | \node[anchor=base,gray] at (7,-2.6) {Första avbetalningen}; | ||
Rad 123: | Rad 123: | ||
\node[anchor=base] at (2, -1) {$x$}; | \node[anchor=base] at (2, -1) {$x$}; | ||
\draw[-latex, dashed] (2.5, -0.9) -- ++(5.2,0); | \draw[-latex, dashed] (2.5, -0.9) -- ++(5.2,0); | ||
− | \node[anchor=base] at (9.6, -1) {$x \ | + | \node[anchor=base] at (9.6, -1) {$x \t 1.05^9$}; |
\node[anchor=base] at (3, -2) {$x$}; | \node[anchor=base] at (3, -2) {$x$}; | ||
\draw[-latex, dashed] (3.5, -1.9) -- ++(4.2,0); | \draw[-latex, dashed] (3.5, -1.9) -- ++(4.2,0); | ||
− | \node[anchor=base] at (9.6, -2) {$x \ | + | \node[anchor=base] at (9.6, -2) {$x \t 1.05^8$}; |
\node[anchor=base] at (4, -3) {$x$}; | \node[anchor=base] at (4, -3) {$x$}; | ||
\draw[-latex, dashed] (4.5, -2.9) -- ++(3.2,0); | \draw[-latex, dashed] (4.5, -2.9) -- ++(3.2,0); | ||
− | \node[anchor=base] at (9.6, -3) {$x \ | + | \node[anchor=base] at (9.6, -3) {$x \t 1.05^7$}; |
\node[anchor=base] at (6, -4.3) {$\ddots$}; | \node[anchor=base] at (6, -4.3) {$\ddots$}; | ||
Rad 138: | Rad 138: | ||
\node[anchor=base] at (6.5, -5) {$x$}; | \node[anchor=base] at (6.5, -5) {$x$}; | ||
\draw[-latex, dashed] (7, -4.9) -- ++(0.7,0); | \draw[-latex, dashed] (7, -4.9) -- ++(0.7,0); | ||
− | \node[anchor=base] at (9.6, -5) {$x \ | + | \node[anchor=base] at (9.6, -5) {$x \t 1.05$}; |
\node[anchor=base] at (7.5, -6) {$x$}; | \node[anchor=base] at (7.5, -6) {$x$}; | ||
Rad 152: | Rad 152: | ||
Summerar man slutvärdena för alla inbetalningar får man en [[Geometrisk summa *Rules*|geometrisk summa]]: | Summerar man slutvärdena för alla inbetalningar får man en [[Geometrisk summa *Rules*|geometrisk summa]]: | ||
\[ | \[ | ||
− | x + x \ | + | x + x \t 1.05 + x \t 1.05^2 + \cdots + x \t 1.05^9. |
\] | \] | ||
Med hjälp av formeln för geometrisk summa kan detta uttryck sedan förenklas: | Med hjälp av formeln för geometrisk summa kan detta uttryck sedan förenklas: | ||
\[ | \[ | ||
− | x + x \ | + | x + x \t 1.05 + x \t 1.05^2 + \cdots + x \t 1.05^9 = \dfrac{x \left( 1.05^{10} - 1 \right)}{1.05 - 1}. |
\] | \] | ||
Värdet av annuitetslånet för banken är alltså $\frac{x \left(1.05^{10} - 1 \right)}{1.05 - 1}$ kr, där $x$ är annuiteten.</translate> | Värdet av annuitetslånet för banken är alltså $\frac{x \left(1.05^{10} - 1 \right)}{1.05 - 1}$ kr, där $x$ är annuiteten.</translate> | ||
Rad 163: | Rad 163: | ||
Vad blir annuiteten?</translate></hbox> | Vad blir annuiteten?</translate></hbox> | ||
<translate><!--T:16--> | <translate><!--T:16--> | ||
− | För att bestämma $x$ måste man komma ihåg att banken vill få ut totalt $100\,000 \ | + | För att bestämma $x$ måste man komma ihåg att banken vill få ut totalt $100\,000 \t 1.05^{10}$ kr av lånet. De väljer alltså annuiteten så att de två slutvärdena är lika med varandra: |
\[ | \[ | ||
− | \dfrac{x\left(1.05^{10} - 1\right)}{1.05 - 1} = 100\,000 \ | + | \dfrac{x\left(1.05^{10} - 1\right)}{1.05 - 1} = 100\,000 \t 1.05^{10}. |
\] | \] | ||
Man kan nu lösa ut $x$ ur detta uttryck för att bestämma den summa som ska betalas årligen.</translate> | Man kan nu lösa ut $x$ ur detta uttryck för att bestämma den summa som ska betalas årligen.</translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
− | \dfrac{x\left(1.05^{10} - 1\right)}{1.05 - 1} = 100\,000 \ | + | \dfrac{x\left(1.05^{10} - 1\right)}{1.05 - 1} = 100\,000 \t 1.05^{10} |
− | \ | + | \MultEqn{(1.05 - 1)} |
− | x\left(1.05^{10} - 1\right) = 100\,000 \ | + | x\left(1.05^{10} - 1\right) = 100\,000 \t 1.05^{10} (1.05 - 1) |
− | \ | + | \DivEqn{\left(1.05^{10} - 1\right)} |
− | x = \dfrac{100\,000 \ | + | x = \dfrac{100\,000 \t 1.05^{10} (1.05 - 1)}{1.05^{10} - 1} |
− | \ | + | \UseCalc |
x = 12\,950.45749\ldots | x = 12\,950.45749\ldots | ||
− | \ | + | \RoundInt |
x \approx 12\,950 | x \approx 12\,950 | ||
</deduct> | </deduct> |
Om beloppet istället delas upp i ett antal mindre återbetalningar kommer banken att ha tillgång till en del av sina pengar tidigare än efter 10 år.
På samma sätt kommer nästa inbetalning att generera ränta för banken under 8 år, och nästa under 7 år, osv. fram till slutet på år 10 då man avslutar lånet med den sista avbetalningen på x kr.
VL⋅(1.05−1)=HL⋅(1.05−1)
VL/(1.0510−1)=HL/(1.0510−1)
Slå in på räknare
Avrunda till närmaste heltal