Bevis för formeln för geometrisk summa

Formeln för att bestämma en geometrisk summa kan skrivas som nedan, där $k \neq = 1 .$

$a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}$

Vi kallar summan i vänsterledet för

s_{n}

så att vi får ekvationen:

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1},

För att bevisa formeln skapar vi en till ekvation där ovanstående ekvation har multiplicerats med faktorn

k .

Man får då följande två ekvationer:

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} s_{n} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + \dots + a k^{n} (I) (II)

Jämför man dessa inser man att alla termer i summornas högerled är gemensamma förutom

a

och

a k^{n}

som endast finns i ekvation (I) respektive ekvation (II). Dessa gemensamma termer har nedanför markerats som gröna:

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} s_{n} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + \dots + a k^{n} .

Om man subtraherar ekvation (I) från ekvation (II) kommer de gröna termerna att ta ut varandra. Det som därefter blir kvar kan skrivas om till formeln för att bestämma en geometrisk summa.

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} s_{n} \cdot k = a k + a k^{2} + a k^{3} + \dots + a k^{n} (I) (II)

SysEqnSub

$(II):$ Subtrahera $(I)$

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} s_{n} \cdot k - s_{n} = a k + a k^{2} + a k^{3} \dots + a k^{n} - (a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1})

SimpTerms

$(II):$ Förenkla termer

s_{n} = a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} s_{n} \cdot k - s_{n} = a k^{n} - a

Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut $s_{n} .$

s_{n} \cdot k - s_{n} = a k^{n} - a

FactorOut

Bryt ut $s_{n}$

s_{n} (k - 1) = a k^{n} - a

DivEqn

$VL / (k - 1) = HL / (k - 1)$

s_{n} = \frac{a k ^{n} - a}{k - 1}

FactorOut

Bryt ut $a$

s_{n} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1}

Men

s_{n}

var ju från början definierad som

a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1}

vilket ger likheten

a + a k + a k^{2} + \dots + a k^{n - 1} = \frac{a ( k ^{n} - 1 )}{k - 1} .

Q.E.D.

@@ Rad 14: / Rad 14: @@
 För att bevisa formeln skapar vi en till ekvation där ovanstående ekvation har multiplicerats med faktorn $k.$ Man får då följande två ekvationer:</translate>
 \[
-\StackEqII{\ \quad s_n=\ \ a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \g k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n}}
+\StackEqII{\ \quad s_n=\ \ a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \t k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n}}
 \]
 <translate><!--T:5-->
 Jämför man dessa inser man att alla termer i summornas högerled är gemensamma '''förutom''' $a$ och $ak^{n}$ som endast finns i ekvation (I) respektive ekvation (II). Dessa gemensamma termer har nedanför markerats som gröna:</translate>
 \[
-\StackEqIIb{\ \quad s_n=a+\colII{ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}}{s_n \g k=\quad \ \ \ \colII{ak+ak^2+ak^3+ \ldots } \quad +ak^{n}.}
+\StackEqIIb{\ \quad s_n=a+\colII{ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}}{s_n \t k=\quad \ \ \ \colII{ak+ak^2+ak^3+ \ldots } \quad +ak^{n}.}
 \]
 <translate><!--T:6-->
@@ Rad 25: / Rad 25: @@
 <deduct mathmode=0>
-<ka>\StackEqII{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \g k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n}}</ka>
+<ka>\StackEqII{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \t k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n}}</ka>
-\II \Sub{(I)}
+\II \SysEqnSub{(I)}
-<ka>\StackEqIIb{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \g k-\col{s_n}=ak+ak^2+ak^3 \ldots +ak^{n}-\col{(a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1})}}</ka>
+<ka>\StackEqIIb{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \t k-\col{s_n}=ak+ak^2+ak^3 \ldots +ak^{n}-\col{(a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1})}}</ka>
-\II \FT
+\II \SimpTerms
-<ka>\StackEqIIb{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \g k-s_n=ak^n-a}</ka>
+<ka>\StackEqIIb{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \t k-s_n=ak^n-a}</ka>
 </deduct>
@@ Rad 36: / Rad 36: @@
 <deduct>
-s_n \g k-s_n=ak^n-a
+s_n \t k-s_n=ak^n-a
-\BU{s_n}
+\FactorOut{s_n}
 s_n(k-1)=ak^n-a
-\DivEkv{(k-1)}
+\DivEqn{(k-1)}
 s_n=\dfrac{ak^n-a}{k-1}
-\BU{a}
+\FactorOut{a}
 s_n=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1}
 </deduct>

{{ article.displayTitle }}

Versionen från 28 juni 2018 kl. 12.52

Bevis för formeln för geometrisk summa

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}