Trigonometriska ekvationer

Ladda ner gratis
Lösningarna finns i appen
Android iOS
Uppgifter markerade med kräver Mathleaks premium för att visa i appen. Ladda ner Mathleaks app på Google Play eller iTunes AppStore
Sektioner
Trigonometri i rätvinkliga trianglar
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2101 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2102 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2103 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2104 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2105 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2106 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2107 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2108 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2109 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2110 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2111 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2112 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2113 2
Trigonometri i rätvinkliga trianglar 2114 3
Enhetscirkeln
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Enhetscirkeln 2115 2
Enhetscirkeln 2116 2
Enhetscirkeln 2117 2
Enhetscirkeln 2118 2
Enhetscirkeln 2119 2
Enhetscirkeln 2120 2
Enhetscirkeln 2121 2
Att lösa trigonometriska ekvationer
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Att lösa trigonometriska ekvationer 2122 2
Att lösa trigonometriska ekvationer 2123 2
Att lösa trigonometriska ekvationer 2124 2
Att lösa trigonometriska ekvationer 2125 2
Att lösa trigonometriska ekvationer 2126 2
Att lösa trigonometriska ekvationer 2127 2
Att lösa trigonometriska ekvationer 2128 2
Att lösa trigonometriska ekvationer 2129 2
Att lösa trigonometriska ekvationer 2130 2
Mer om trigonometriska ekvationer
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Mer om trigonometriska ekvationer 2131 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2132 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2133 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2134 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2135 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2136 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2137 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2138 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2139 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2140 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2141 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2142 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2143 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2144 2
Mer om trigonometriska ekvationer 2145 3
Radianer
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Radianer 2146 2
Radianer 2147 2
Radianer 2148 2
Radianer 2149 2
Radianer 2150 2
Radianer 2151 2
Radianer 2152 2
Radianer 2153 2
Radianer 2154 2
Radianer 2155 2
Radianer 2156 2
Radianer 2157 2
Radianer 2158 2
Mathleaks Kurser

Visste du att du också kan studera Trigonometriska ekvationer (Kurs 4) i Mathleaks kurser online? Besök mathleaks.se/utbildning för att få tillgång till vårt eget läromedel för ytterligare övningar, teorier och tester.

Hjälp och forum

JosefL
besvarad 2016-01-13 13:29
hejsan! varför använder man "+n*360" i uppgift (A) men inte i uppgift (B)? Alltså jag är så blåst, varje gång när jag skrivit på forum har jag skrivit fel varje gång.
ML Tina
besvarad 2016-01-13 14:44
Hej! Det har att göra med att cosinus har perioden 360 grader och tangens har perioden 180 grader. Jag såg dock att man inte går igenom det förrän på nästa sida, så det finns nu en ny version uppe. Om något fortfarande är oklart är det bara att fråga igen!
JosefL
besvarad 2016-01-14 14:18
Varför har fråga B endast 1 lösning? okej för att tan är 90 och cos är 180?
ML Tina
besvarad 2016-01-14 14:37
Jag vet inte riktigt vad du menar, men jag ska försöka förklara. När vi löser cosinus-ekvationer genom att använda arccos får man ett positivt och ett negativt värde. Detta eftersom en vinkel v och dess negativa motsvarighet -v ger *samma* cosinusvärde. För tangens finns ingen liknande motsvarighet (det finns, men det går man igenom lite senare) så därför får vi bara en lösning i b). Svarade det på din fråga?
JosefL
besvarad 2016-01-14 15:42
hejsan! vet att -110° är korrekt men skulle svaret 470°också vara korrekt svar till frågan? Alltså -470°
ML Tina
besvarad 2016-01-15 8:25
Hej! Ja det skulle också vara ett korrekt svar. Den har samma cosinusvärde som 110 och är mindre än 0.
JosefL
besvarad 2016-01-17 16:54
fråga a) hur kom 180 in i bilden? varför finns den inte alltid med i alla uppgifter som har med sinus att göra?
ML Tina
besvarad 2016-01-18 9:34
Hej! Sinusvärdet av en vinkel läser man av på y-axeln i enhetscirkeln. Exempelvis har vinkeln 30 sinusvärdet 0.5 eftersom punkten på enhetscirkeln med denna vinkel befinner sig 0.5 längdenheter ovanför x-axeln. Men vinkeln 150 befinner sig på samma höjd och har därmed *samma* sinusvärde. Det betyder att sin(30)=sin(150)=0.5. Men detta gäller allmänt: vinkeln v och (180-v) har samma sinusvärde vilket man brukar skriva som sin(v)=sin(180-v) och det är detta vi tar hänsyn till när vi löser ekvationer med sinus. I vissa ekvationer kanske man kan utesluta den ena av dessa vinklar om det t.ex. är givet att vinkeln ska vara spetsig, men det beror helt och hållet på hur uppgiften ser ut. Vilka ekvationer syftar du på?
JosefL
besvarad 2016-01-17 17:14
fråga C, var kom 302° in i bilden från?
ML Tina
besvarad 2016-01-18 11:06
I det steget adderar vi 122 i båda led. I början av den andra ekvationens vänsterled står det 180. När vi adderar 122 får vi 180+122=302.
JosefL
besvarad 2016-01-17 18:30
fråga a) vad avgör att man tar 180-25 och inte 360? är det för att y endast finns inom 180 graders axeln?
ML Ragnar
besvarad 2016-01-18 12:01
Vinkeln 25 grader går uppåt från högra sidan av x-axeln, medan vinkeln 180-25 går 25 grader uppåt från vänstra sidan av x-axeln (eftersom man drar bort 25 från 180 grader, och 180 pekar rakt åt vänster). 25 och 180-25 kommer därför hamna på samma höjd, dvs. de har samma sinusvärde. 360-25 däremot kommer börja rakt åt höger (360) och sen gå 25 grader nedåt. Den hamnar alltså på en annan höjd och har därför ett annat sinusvärde än vad 25 och 180-25 har.
JosefL
besvarad 2016-01-20 18:33
kan man inte säga med andra ord att radianer är omvandling från grader till PI för att mäta omkretsen? om man skriver allt det ni skrev på prov så får man inte rätt för att man inte var direkt rakt på sak i frågan.
ML Ragnar
besvarad 2016-01-20 19:59
Tänk på att våra lösningar inte är till för att kopieras till ett prov, de är till för underlätta elevers förståelse. Om lösningarna kom i "provformat" skulle det förmodligen inte ingå några förklaringar alls, och det tror jag vore mindre hjälpsamt. Samtidigt händer det förstås ibland att vi svävar iväg och överförklarar saker. Det ser ut som att det här är ett sånt fall, så invänta en ny version imorgon =) En mer koncis förklaring är att radianer är en annan enhet för att mäta vinklar. På samma sätt som längd kan mätas i antingen tum eller cm kan vinklar mätas i antingen grader eller radianer. Ett varvs vridning är ju 360 i grader, men 2pi i radianer. Det kan verka onödigt och krångligt, men många andra saker - som derivering - blir betydligt krångligare om man envisas med att använda grader.
JosefL
besvarad 2016-01-25 10:06
okej tack
neak
besvarad 2016-01-24 18:54
Varför är inte svaret +/- 160+n•360 också rätt?? Då har jag subtraherat 20 grader från 360 grader? Alltså 160 grader**
ML Tina
besvarad 2016-01-25 11:59
Om man vill kan man svara x=+/-160+n*180; det är samma sak. Kom bara ihåg att även dividera perioden med 2 så den blir 180 grader och inte 360 grader.
mary
besvarad 2016-01-25 21:42
b) Hej! Varför skriver ni om √3/2 till sin π/3 istället för att skriva om det till π/3? Var får ni sinus ifrån?
ML Tina
besvarad 2016-01-26 8:45
Det gjorde vi eftersom det står sinus i vänsterledet, men jag håller med om att det inte var så väl förklarat. Det finns nu en ny version uppe som förhoppningsvis är lite tydligare. Om du fortfarande undrar något är det bara att fråga igen!
mary
besvarad 2016-01-26 14:09
c) Den ena lösningen blir -2,06+n*4π. Skulle man kunna lägga på en period (dvs 4π) så att svaret blir positivt? Alltså, är 10,5+n*4π samma som -2,06+n*4π?
ML Tina
besvarad 2016-01-26 15:00
Hej! Ja, det kan man göra. Det finns ju ett oändligt antal lösningar där perioden 4pi anger intervallet mellan varje lösning. Det finns alltså inget givet startvärde så det spelar ingen roll vilken lösning man börjar med.
anatomi
besvarad 2016-03-14 18:26
kan man annars skriva svaren i a) som x1 = 45 + n90 och x2 = -45 + 270? n270*
ML Tina
besvarad 2016-03-15 13:08
Ja, fast du behöver bara första delen. Samtliga lösningar kan beskrivas enligt x=45+n*90. Jag har uppdaterat lösningen nu där detta också är med. Tack för påpekandet! =)
anatomi
besvarad 2016-03-15 17:03
om man räknar a) i grader först får man x1 = 30 + n360 och x2 = 150 + n360. dessa kan väl sammanfattas i x = 30 + n120? eller har jag tänkt/räknat helt tokigt nu? kan man då skriva ovan som x = π/6 + n2π/3?
ML Ragnar
besvarad 2016-03-15 17:47
Nej, den sammanslagningen kan du inte göra. I 30+ n*120 ingår ju även vinkeln 270 (om man sätter n=2), men den vinkeln ska inte finnas med. 30+n*360 och 150+n*360 är bara vinklar i första respektive andra kvadranten (ovanför x-axeln), så du kan inte sätta upp ett uttryck som tar med vinklar i tredje eller fjärde kvadranten (nedanför x-axeln). Din omvandling till radianer är dock rätt, men den kan du alltså inte använda.
anatomi
besvarad 2016-03-15 18:38
åhå! tack :)
nanniawa
besvarad 2016-05-04 16:44
Hej! Jag undrar när och varför man får "anta" saker i matte eller fysik från ingenstans, som i denna uppgift där ni bara antog att b=25 cm. Har sett det i flera uppgifter men förstår inte när man bara kan anta något.
ML Ragnar
besvarad 2016-05-06 12:47
Svårt att svara generellt på det. Eller så här kan man kanske svara: Du får alltid anta exakt vad du vill, men du måste vara medveten om att du gör ett antagande och att det har en effekt på rimligheten i ditt svar. Säg t.ex. att du ska beräkna jordens volym. Det går inte att göra exakt, eftersom den är skrovlig och buktar lite olika på olika ställen, etc. Det finns ingen volymformel för jorden. Men du kan *anta* att jorden är klotformad och beräkna volymen *som om* jorden var ett perfekt klot. Sedan kan du konstatera att det värdet borde ligga ganska nära det verkliga, eftersom jorden iallafall *nästan* är klotformad. Du kan också *anta* att jorden är kubformad och beräkna volymen utifrån det. Men eftersom jorden inte är särskilt kubformad bör du inte lita för mycket på svaret. Antaganden kan man se som påståenden som behövs för att en beräkning ska kunna utföras. Man bör sträva efter att anta så lite som möjligt, och att de antaganden man gör är så rimliga som möjligt. Den här uppgiften är lite annorlunda, eftersom vi får veta väldigt lite om föremålet vi försöker undersöka. När det gäller jorden så har den ju en given storlek, och därmed en exakt volym som man kan försöka beräkna på olika sätt. Men här vet vi bara vinklar, och ingenting om föremålets egentliga storlek. Det kanske får plats i fickan, eller kanske är det stort som ett hus. Vinklarna vi fått säger inget om det. Vi *måste* därför göra ett antagande i fråga om storlek, och det gör vi genom att helt enkelt välja en sidlängd till 25 cm (eller 1 m, eller 14 mil... har man inget sätt att avgöra rimligheten så går alla värden bra, men *något* värde behövs för att komma vidare). Då kan vi med hjälp av vinklarna beräkna vad de andra sidorna måste bli. Ungefär så! Lite svamligt kanske, men hoppas det var till någon hjälp iallafall =)
naddisch
besvarad 2016-05-06 15:48
Ok tror jag förstår! Tack för svar.
jlindholm
besvarad 2016-05-17 15:52
Förstår inte sista steget, där man ska lägga på 1 period och hur man får fram det rätta svaret.
ML Ragnar
besvarad 2016-05-21 13:20
Kom ihåg att ett uttryck som "-10 + n*90" inte är EN vinkel utan oändligt många. Det räknar upp alla vinklar som ligger ett helt antal "90-graderssteg" ifrån vinkeln -10, dvs: ..., -190, -100, -10, 80, 170, 260, ... Det ligger oändligt många vinklar åt båda håll, och man hittar hela tiden nästa genom att lägga på 90 grader (eller dra bort, om man går åt andra hållet). Men det finns ju inget som säger att man måste börja räkna från -10. Alla dessa vinklar ligger *också* ett helt antal 90-graderssteg från vinkeln 80, eller -190, eller 260, etc. Startpunkten är valfri. Vissa tycker bara det är lite snyggare att börja på den minsta positiva vinkeln (dvs 80 i det här fallet) snarare än att peta in minustecken som i -10. Därför hoppade vi helt enkelt fram ett steg, men det är lika rätt att svara -10 + n*90, om inte sammanhanget förbjuder det på något sätt (t.ex. att negativa vinklar inte ska tas med).
jlindholm
besvarad 2016-05-17 19:34
I b) svaret, hur lägger man till en period för att få ytterligare en lösning?
ML Ragnar
besvarad 2016-05-17 21:16
En period är 2pi, och den negativa lösningen är -2pi/3. Lägger vi på en period får vi alltså: -2pi/3 + 2pi = -2pi/3 + 6pi/3 = 4pi/3.
jlindholm
besvarad 2016-05-17 21:20
Okej, då förstår jag! Tack :)
Hvitare
besvarad 2016-06-30 15:52
I min formelsamling står det att sin(45)= (roten ut 2)/2...
ML Ragnar
besvarad 2016-06-30 21:18
Det är sant det med! Det är två sätt att skriva samma sak. Testa att byta ut 2:an i nämnaren mot rot(2) * rot(2): rot(2) / 2 = rot(2) / ( rot(2) * rot(2) ) = 1 / rot(2). Det är bara en smaksak vilken framställning man föredrar.
Hvitare
besvarad 2016-07-10 15:42
Jag förstår inte varför man med cosinus får en positiv och en negativ lösning, och med sinus tar man "180- x..." för att få fram den andra lösningen.
ML Ragnar
besvarad 2016-07-21 7:31
Det här blir svårt utan att rita, men tänk på enhetscirkeln: Cosinus avläses där på x-axeln. Om du ritar ut vinkeln 30 grader och markerar punkten som vinkeln pekar på, kan du hitta en annan punkt på cirkeln som har samma x-koordinat? Det måste isåfall vara en punkt som ligger rakt nedanför. För att hitta en vinkel som pekar dit måste du då dra en lika stor vinkel, men *nedåt* istället för uppåt, dvs. -30 grader. Så 30 och -30 har samma cosinusvärde, eftersom de pekar på punkter som har samma x-koordinat i enhetscirkeln. Samma resonemang gäller för vinklarna +25 och -25, +230 och -230 etc. Sinus däremot avläses på y-axeln. Rita ut vinkeln 30 grader igen, samt punkten som vinkeln pekar på, och försök hitta en punkt på cirkeln som har samma y-koordinat. Den punkten ska alltså ligga lika högt upp, och då måste den ligga rakt åt vänster från den punkt du ritat ut. För att peka dit måste vinkeln 30 dras *uppåt* från klockan 9-positionen (180 grader). Vinkeln från startpositionen (klockan 3) mot den andra punkten blir då 150 grader. Som sagt, krångligt utan bild. Gå igenom resonemangen ovan tillsammans med egna enhetscirklar och se om det klargör något! Fråga gärna igen, förstås. Och, ursäkta det sena svaret - du fångade oss mitt i semestern!
Hvitare
besvarad 2016-07-31 13:20
Tusen tusen tack för svaret!! Det börjar klarna mer och mer nu!
Hvitare
besvarad 2016-07-10 15:52
I upg, a) kan man alltså inte använda cosinus?
Hvitare
besvarad 2016-07-10 15:53
Eller det kanske man kan? Jag fick nämligen +/- 0,34...
ML Ragnar
besvarad 2016-07-21 7:42
Du har rätt i att cos(70) = 0.34 medan cos(110) = -0.34. Men just eftersom vinklarna har *olika* cosinusvärden kan du inte få v=70 och v=110 som lösningar till en ekvation av typen cos(v) = ... Alltså, cos(v) = 0.34 har en lösning v=70, medan cos(v) = -0.34 har en lösning v=110. Men det är ju olika ekvationer. Däremot har vinklarna exakt samma sinusvärde (ca 0.94), och därför blir BÅDA vinklar lösningar till ekvationen sin(v) = 0.94. Med risk att förvirra: Sinus kan dock alltid uttryckas med hjälp av cosinus, enligt regeln sin(v) = cos(90 - v). Så eftersom sin(v) = 0.94 är en giltig ekvation att besvara frågan med, kan man även använda ekvationen cos(90 - v) = 0.94, vilket ju är en cosinusekvation.
Hvitare
besvarad 2016-07-31 13:14
Hur går ni från 360* till 180* i det sista steget?
ML Ragnar
besvarad 2016-07-31 13:41
Är det uppgift b) du tänker på? De vinklar man är ute efter är de som uppfyller antingen den första ekvationen cos(v) = 0, eller den andra ekvationen sin(v) = 1. Cosinusekvationen har lösningarna 90 + n*180 (dvs. alla vinklar som pekar rakt uppåt eller rakt nedåt), medan sinusekvationen har lösningarna 90 + n*360 (dvs. alla vinklar som pekar rakt uppåt). Men dessa vinklar har ju redan räknats upp genom lösningen till cosinusekvationen. Sinusekvationen bidrar helt enkelt inte med några nya lösningar, utan alla vinklar som löser ursprungsekvationen fås ur cosinusekvationen: 90 + n*180.
Katja💞
besvarad 2016-08-20 8:46
Varför blir det +- 20° i uppgift b)? Vi dividerar väl bara cosinus med varandra och inte med något värde? Och varför blir det bara + 90° i uppgift c) och inte +- 90°? När man tar arccosinus ur ett värde så brukar det väl alltid bli +- eller har jag missförstått helt? :/
Katja💞
besvarad 2016-08-20 8:47
alltid bli +- *
Katja💞
besvarad 2016-08-20 8:48
Plustecknet verkar försvinna, men jag menar i alla fall "plus minus".
ML Ragnar
besvarad 2016-08-22 12:12
b) För enkelhetens skull byter jag 2x mot v istället, så vi får ekvationen cos(v) = cos(40). För att lösa den så är det inte "dividera med cosinus" som är metoden, och det förslaget tyder på att du missförstått vad som pågår här. Om jag först vänder på det: Hur kan man dividera med något som *inte* är ett värde? Lösningen på ekvationen 2x = 3 är x = 3/2, och där delar man med värdet 2. Lösningen på ax = 3 är x = 3/a, och där delar vi också med ett värde. a är ett okänt tal, men fortfarande ett tal, *något* tal. "cos" däremot är inte något tal, utan en funktion. Faktiskt betyder det ingenting för sig självt, men däremot "cos(v)" som betyder "vinkeln v:s cosinusvärde". Hela paketet "cos(v)" är alltså ett värde, men att "dividera med cos" är som att försöka dividera bort den snirkliga biten i siffran 5. Ekvationen cos(v) = cos(40) säger därför att vinklarna v och 40 är två vinklar med samma cosinusvärde. Det är en ledtråd om vad v kan vara för vinkel, men vi kan inte bestämma den helt säkert. Det finns nämligen många svar. Om du ritar upp enhetscirkeln med vinkeln 40, vilka vinklar har samma cosinusvärde som den? (Kom ihåg att cosinusvärde är samma sak som x-koordinat i enhetscirkeln) Svaret är antingen *samma* vinkel, alltså 40, eller vinkeln -40. Båda pekar "lika långt åt höger", dvs. på samma x-koordinat och därför har de samma cosinusvärde. Så vår vinkel v kan vara antingen 40 eller -40. Sen måste man också komma ihåg att man kan snurra hur många varv som helst i cirkeln och ändå peka i samma riktning som vinkeln 40 eller -40. Det kompletta svaret blir därför att v kan vara *antingen* 40 plus eller minus ett valfritt antal helvarv: 40 + n*360, ELLER -40 plus/minus ett valfritt antal helvarv: -40 + n*360. (I det här fallet var v lika med 2x, så då får man ett sista steg i uträkningen där man måste dividera bort tvåan. Men i övrigt är lösningen helt likadan!)
ML Ragnar
besvarad 2016-08-22 12:20
c) Det är olika sätt att uttrycka samma sak. Ditt förslag är att ekvationen cos(x) = 0 har lösningarna +/- 90 + n*360, eller hur? Det är helt rätt. Men om du funderar över vilka vinklar detta uttryck beskriver så är det dels: -90 + n*360, dvs. -90, 270, 630, 990, .... och dels 90 + n*360, dvs. 90, 450, 810, ... Slår vi ihop mängderna så blir det -90, 90, 270, 450, 630, ... Eftersom det är exakt 180 grader mellan alla (intilliggande) vinklar i den listan kan man slå ihop dem som ett enda uttryck: 90 + n*180. Kom alltså ihåg att ett uttryck som "90 + n*360" inte är EN vinkel eller EN lösning, utan ett kompakt sätt att lista OÄNDLIGT många vinklar. När man har flera sådana uttryck kan man ibland sammanfatta dem ännu bättre, som i det här fallet.
nonzerophili
besvarad 2016-09-13 18:43
förstår inte riktigt 2123 d) undrar varför man får bara ett svar och inte två som jag har fått tidigare när jag har räknat med sin?
ML Ragnar
besvarad 2016-09-14 7:53
Titta i bilden längst ner. Sinusvärdet är samma som y-koordinaten i enhetscirkeln. Så om man vill hitta de vinklar som har t.ex sinusvärdet 0.5 drar man en horisontell linje längs y = 0.5. Sen ser man vilka punkter på cirkeln som skärs av linjen och ritar vinklar som "pekar" dit. Det blir oftast två punkter eftersom cirkeln är rund och linjen går tvärs igenom. Men just för y=1 och y=-1 så kommer linjen precis tangera cirkeln, och alltså bara skära i en enda punkt.
Mona
besvarad 2016-09-13 19:26
a) hejsan! I 2153 flyttar ni över 2:an till högerleder och delar de med roten ur 2 ska ni inte heller dela 2 med x-pi genom 3 termen
ML Ragnar
besvarad 2016-09-14 8:09
Båda led delas redan med 2. Om det står 2x = 6 så halveras vänsterledet till x och högerledet till 3. Här halveras 2cos(...) till cos(...) på precis samma sätt, medan rot(2) halveras till rot(2)/2 vilket skrivs om till 1/rot(2).
godis
besvarad 2017-03-04 15:46
På a): varför läggs det bara till en period på ena sidan och inte båda sidorna på v=3v+n*360 när man tar arcsin borde det väll läggas till på den andra eftersom man tar arcsin på den också?
ML Ragnar
besvarad 2017-03-04 16:32
Tänk på att n är ett valfritt heltal. Vi lägger alltså inte på *en* period, utan bara *något antal*. Perioderna är inte något som skapas av arcsin-funktionen, utan något som man själv måste lägga på för att göra svaret fullständigt. Det kommer från att två vinklar kan ha samma sinusvärde utan att ligga på samma varv i enhetscirkeln, men arcsinfunktionen skapar bara vinklar på *samma* varv. Därför måste man lägga på "plus något antal helvarv", dvs. +n*360. Det finns inget behov av att lägga detta på båda sidor, vilket kanske kan illustreras så här: Vi gör som du föreslår och lägger på *något antal* perioder på vänstra sidan, t.ex. 5, samtidigt som vi lägger på *något antal* perioder på högra sidan, t.ex. 8: sin(v) = sin(3v) [ta arcsin på båda led] v + 5*360 = 3v + 8*360 [samla perioderna på ena sidan] v = 3v + 3 * 360 Eftersom vi har ett helt antal perioder på vänstra sidan och ett helt antal perioder på högra, kommer vi alltid kunna samla dem på ena sidan. I det här fallet blev det 3 perioder på högra, eftersom 8 - 5 = 3. Men vi kunde ju lägga på valfritt antal på båda sidor, så det kommer inte alltid bli 3, utan bara *något heltal*. Istället säger vi att det blir "n" perioder på högra sidan. Jämför gärna med kvadratrotsfunktionen och ekvationer som x^2 = 9. Funktionen "roten ur" svarar alltid med ett positivt tal, så när man tar roten ur båda led måste man själv lägga på ett minustecken på ena sidan: x = +/- rot(9) dvs x = +/- 3. Det blir bara förvirrat av att införa minustecken på x:et också.
mathislove
besvarad 2017-08-29 14:23
på b) hur ska jag veta hur många varv jag ska ta bort, varför 2*360?
ML Ragnar
besvarad 2017-08-29 14:43
Man drar bort så många som krävs för att komma ner till första varvet, dvs en vinkel mellan 0 och 360. Man kan minska ett varv i taget också: 1000 - 360 = 640 (för stort) 640 - 360 = 280 (ok) Man kan dra bort ytterligare ett också: 280 - 360 = -80 Alla dessa vinklar pekar i samma riktning. Syftet är att hitta en vinkel man "känner igen" eller åtminstone någorlunda enkelt kan avgöra vart i cirkeln den ligger.
mathislove
besvarad 2017-08-29 14:27
på d) förstår inte det med vinkeln minskar med 2 varv?
ML Ragnar
besvarad 2017-08-29 14:48
Man kan alltid lägga på eller dra bort hur många helvarv man vill, när det handlar om att bestämma en vinkels sin-, cos- eller tanvärden. Alla vinklar som pekar i samma riktning får nämligen samma trigonometriska värden, och snurrar man exakt ett varv har man ju samma riktning som innan snurren. Så istället för att studera vinkeln 660, som är lite stor och otymplig, drar vi bort helvarv ifrån den: 660 - 360 = 300 300 - 360 = -60. Eftersom 60 grader är en av standardvinklarna är det nu enklare att hitta cosinusvärdet.
mathislove
besvarad 2017-08-29 16:34
spelar de för roll om jag skriver -1/2, för cos(-v)=cos v
ML Ragnar
besvarad 2017-08-30 9:51
Nej, -1/2 går inte. Tänk på cosvärdet som x-koordinaten i enhetscirkeln. x=1/2 ligger på högra sidan av cirkeln, x=-1/2 ligger på vänstra. De kan du inte byta ut hur som helst. cos(-v) = cos(v) säger något annat, nämligen att *vinkelns* tecken inte spelar roll. +60 och -60 har alltså samma cosinusvärde, men det värdet är 1/2 och inte -1/2.
Ökuz
besvarad 2017-09-02 9:41
varför har cos o sin två lösningar o tan 1? och har sin alltid 180°, tar man alltid 180 minus när de gäller sin?
ML Ragnar
besvarad 2017-09-04 8:02
Tangens har också 2 lösningar (okej, alla tre varianter har väl egentligen *oändligt* många lösningar, men alla tre har 2 lösningar per varv i enhetscirkeln). Skillnaden är att tangenslösningar har exakt 180 grader mellan sig, t.ex. 30, 210, 390, ... Då behöver man inte två olika uttryck för att beskriva dessa, utan det räcker med ett: 30 + n*180, dvs. 30 grader plus ett helt antal 180-graderssteg. De två lösningarna till cosinus är spegelbilder i x-axeln, vilket gör att de får samma vinkel men med olika tecken, t.ex. 30 + n*360 och -30+n*360. De två lösningarna till sinus är spegelbilder i y-axeln. Om ena lösningen är 30 grader hittar man då den andra genom att gå 30 grader "baklänges" från andra sidan av enhetscirkeln: 180 - 30 = 150. Dessa saker är mycket lättare att förklara (och förstå!) med bilder, och det har vi tyvärr inte tillgång till i forumet än. Men hoppas det blev lite tydligare ändå!
Ökuz
besvarad 2017-09-02 9:58
på a) när dom fråga om ekvationen så trodde jag att dom mena såsom i uppgift 2127 !:(
Ökuz
besvarad 2017-09-02 10:10
och hur vet man att de här sin? varför är de inte cos eller tan?
ML Ragnar
besvarad 2017-09-04 13:33
Sinusvärdet avläses som y-värdet i enhetscirkeln, cosinusvärdet avläses som x-värdet. De två vinklarna pekar på punkter som ligger lika högt, dvs har samma y-värde. Därför är de lösningar till en sinusekvation. Tangenslösningar ligger 180 grader ifrån varandra, så det passar inte heller in i det här fallet.
Ökuz
besvarad 2017-09-02 10:20
på b) ni säger att "n" värdet inte spelar roll men de gör de faktiskt! för om jag sätter in 4 på v1 så får jag 1510 o de funkar ju inte
ML Ragnar
besvarad 2017-09-04 13:35
Olika n-värden motsvarar förstås olika vinklar, men det vi menar är bara att det är själva vinkeln som är intressant. Att det är just n=2 som ger vinklar i rätt intervall spelar ingen roll! Man svarar ju med 790 och 830, inte n=2. Det var bara det vi menade =)
mattewik
besvarad 2017-09-02 12:24
På uppgift d går det lika bra att svara x = 893 + 1260n va?
ML Ragnar
besvarad 2017-09-04 13:44
Javisst! Båda uttryck listar samma uppsättning av vinklar, bara skrivet på lite olika sätt.
mattewik
besvarad 2017-09-02 15:01
Hur vet man när man kan koka ner flera lösningar till en lösning, som i den här uppgiften? För det funkar väl inte alltid?
ML Ragnar
besvarad 2017-09-04 13:49
Det går att göra om lösningarna är utspridda med regelbundna intervall. I det här fallet är det 180 grader mellan varje lösning, så därför kan man svara med x = [en av lösningarna] + n*180, t.ex. x = 90 + n*180. Om lösningarna varit t.ex. 45+n*360 och 90+n*360 hade det inte gått, eftersom stegen mellan lösningarna är olika: 45, 90, 405, 450, ... Först är det 45 grader till nästa, sen 315, sen 45, osv. Då behövs två uttryck för att beskriva alla. Däremot om lösningarna är 45, 90, 135, 180, ... så är det 45 grader i varje steg, dvs. 45 + n*45 (eller bara n*45 i det fallet eftersom 0 är en lösning, och 0 + n*45 = n*45).
mattewik
besvarad 2017-09-04 15:31
Ah, ok. Men man måste helt enkelt se från fall till fall. Det finns inget sätt att se det på en gång?
ML Ragnar
besvarad 2017-09-04 15:35
Nej, man får undersöka de lösningar man hittar. Men å andra sidan är det inget som måste göras, det är bara prydligare att skriva ihop. Huvudsaken är att de uttryck man svarar med listar rätt vinklar!
Ökuz
besvarad 2017-09-05 13:11
på c) så sa våran lärare att vi skulle skriva 0+n×180, 180+n×360 och +-30+n×180, men de gör inte ni?
ML Ragnar
besvarad 2017-09-05 13:43
Det finns ofta olika sätt att ange rätt svar på dessa uppgifter, men det där verkar inte stämma. "0+n*180" och "180+n*360" är det inget fel på, det har vi också hittat - vi har bara sammanfattat det med n*180. Båda svar listar samma uppsättning vinklar och är därför lika rätt. Den sista du skriver verkar dock ha fel period: "+-30+n*180". Detta stämmer inte utan ska vara 360. Annars ingår t.ex. vinkeln 30 + 1*180 = 210, och sätter du in 210 i ursprungsekvationen ser du att det inte blir noll och alltså inte är en lösning: sin(210) * (cos(210) - rot(3)/2) = 0.866, inte noll.
Ökuz
besvarad 2017-09-06 13:28
på a) sin x × cos x=0 kan man inte lösa den via algebraisk lösning? förstog inte hur ni gjorde med enhetscirkeln
ML Ragnar
besvarad 2017-09-06 13:33
Det vi använder är nollproduktmetoden, som låter oss dela upp ekvationen till två enklare: sinx = 0 och cosx = 0. Genom att tolka sinusvärdet som y-värdet i enhetscirkeln, och cosinusvärdet som x-värdet, kan dessa ekvationer lösas "grafiskt" vilket är rekommenderat. Att veta (eller kunna lista ut) vilka vinklar som har sinusvärdet 0 (eller cosinusvärdet 0) är grundläggande. Det går att skriva om ekvationen algebraiskt så här också, med hjälp av formeln för dubbla vinkeln för sinus: sin(x)cos(x) = 0 2sin(x)cos(x) = 0 sin(2x) = 0 och sedan lösa ekvationen därifrån. Men då faller problemet återigen tillbaka på att lösa en ekvation av typen sin(v) = 0, vilket bör göras grafiskt.
Ökuz
besvarad 2017-09-08 9:26
på c) de finns ju två lösningar, men ni skriver bara 1 lösning, hur löser man ut andra lösningen?
ML Ragnar
besvarad 2017-09-08 13:29
sin(v) = -1 beskriver de vinklar som ger y-koordinaten -1, dvs vinklar som pekar rakt nedåt i enhetscirkeln. Det är inte två som i vanliga fall utan bara en per varv. Via periodiciteten finns oändligt många lösningar, men alltså bara en för varje varv i enhetscirkeln: -90, 270, 630, osv.
Ökuz
besvarad 2017-09-08 13:48
men facit skriver två lösningar
ML Ragnar
besvarad 2017-09-08 14:24
Är du säker? Vi sitter kanske med olika tryckningar av boken, men i den jag sitter med står det 3pi/2 + n*2pi på 2152 c), samma som vi svarat.
Ökuz
besvarad 2017-09-08 17:00
oj sry det var jag som såg fel!
Ökuz
besvarad 2017-09-08 14:00
och på b) jag skrev +-2/3 pi, går det lika bra att skriva så?
ML Ragnar
besvarad 2017-09-08 14:39
Javisst, så svarar ju vi också.
Ökuz
besvarad 2017-09-09 17:18
hur får ni till 0.1 l.e efter ni ändrar till grader?
ML Ragnar
besvarad 2017-09-11 9:30
Det räknar vi inte fram, det står i uppgiften. Vi försöker bara förklara varför hennes svar blir vad det blir. Men om man vill kan man räkna ut sidan x så här: 8.1*tan(pi/5). Testa att se vad detta blir när du har räknaren inställd på grader och sen radianer.
Ökuz
besvarad 2017-09-11 18:13
varför använder ni tan? för får fel svar både i grader o radianer
ML Ragnar
besvarad 2017-09-14 7:00
tan(v) är motstående sida / närliggande sida. Så tan(pi/5) = x / 8.1, och multiplicerar vi över 8.1 får vi x = 8.1*tan(pi/5) Vad får du om du slår in det? Notera att 5.9 och 0.1 är avrundade värden.
fji
besvarad 2017-10-08 19:50
C, varför använder man +360 istället att läsa av grafen -265?
ML Tina
besvarad 2017-10-09 6:40
Ja, så kan man också göra om man vet var -265 grader ligger på enhetscirkeln. Om man inte vet det kan man lägga till 360 grader och då blir det lite lättare.
fji
besvarad 2017-10-10 16:40
Jag får fel svar och detta tror jag att det beror på att jag använder cos^-1 (0,33), alltså jag använder också samma till sin och tan. Men jag förstår inte hur ni använder arccos,sin och arctan? Jag har hittat felat!
ML Tina
besvarad 2017-10-11 6:15
Vad bra att du hittade felet! Kan flika in att cos^-1 på räknaren är alltså samma som arccos. Vi har valt att använda arccos eftersom cos^-1 kan se ut som att man tar cos och höjer upp det till -1, även om det inte är det man gör.
Ökuz
besvarad 2017-10-21 10:44
får man fel om man tillägger perioderna på båda också?
ML Tina
besvarad 2017-10-24 8:05
Svårt att svara på, men eftersom man ska svara med lösningar som ligger mellan 0 och 360 grader har jag svårt att tro att man får full pott om man lägger på perioder också, eftersom de då kommer att hamna utanför intervallet.
send help
besvarad 2019-12-30 9:09
B) jag förstår inte varför man inte kan ta och göra som man gjorde på de övriga uppgifterna, alltså: x1=arccos (-0,40) +n*360 X2=180-arccos(-0,40)+n*360
send help
besvarad 2019-12-30 9:33
Nej det var inget! Såg nu att det var olika beroende på om det är cos, tan eller sin
al
besvarad 2020-10-20 0:54
I facit i boken origo står det ett annat svar än det som angivits här. Jag får ju likadant svar som står här men kan det möjligtvis vara så att det finns fler lösningar på uppgiften?
al
besvarad 2020-10-21 14:22
Varför använder ni inte -90 grader istället för 270 grader?
al
besvarad 2020-10-21 22:10
Hur kan ni lägga till 360 grader till -37 utan att en ny period skapas?
Amra
besvarad 2021-02-28 15:11
På slutet, varför gick man från att x= -10+90n till att samma x är x=80+90n? Kunde inte svaret vara negativt
alias
besvarad 2021-08-30 11:04
Varför skriver ni v1 och v2 osv? Min matte lärare säger att det är fel att göra det då det egentligen är samma svar
ML Henrik
besvarad 2021-11-09 8:14
Notera att vi har slagit ihop lösningsmängderna till en och samma lösning i slutet av deluppgift a)
Har du en fråga eller behöver du hjälp med matten? Ladda ner Mathleaks app och ställ din fråga i forumet.