Exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata

Start
»
Origo
»
Origo 3c
»
Deriveringsregler
» Exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata
Sektioner
Se även Mathleaks Läromedel

Nedan hittar du motsvarande innehåll för Exponentialfunktioner och tillämpningar av derivata i Mathleaks Läromedel, använd läromedlet gratis här mathleaks.se/utbildning

Andra delkapitel i Deriveringsregler

Hjälp och Forum

dramaturg
skrev den 2015-06-22 17:33
Jag vet att derivatan av e^x är e^x men jag funderar på en annan sak. Derivatan kan skrivas som e^x • f'(0). Men hur tar man reda på f'(0)? Jag får det till e^h - 1 / h hur går jag vidare? Jag tänker att om h ska gå mot 0 så blir det e^0 - 1 / 0 men det går inte ... :(
ML Tina
svarade 2015-06-23 7:58
Hej!Du har helt rätt. f'(0) är lim (e^h-1)/h när h-->0. Men eftersom uttrycket inte är definierat när h är lika med 0 kan vi inte bara sätta in h=0, precis som du säger.Då kan man beräkna gränsvärdet numeriskt genom att sätta in mindre och mindre värden på h. Om man t.ex. sätter in h=0.001 så blir det ungefär 1.0005... Om man sätter in mindre och mindre h så kommer kvoten att gå närmre och närmre 1 så gränsvärdetlim (e^h-1)/h är lika med 1 när h-->0.Därför är f'(0)=1 om f(x)=e^x. Hoppas det blev lite klarare!
dramaturg
skrev den 2015-06-22 20:04
Jag tänkte att tangentens ekvation måste vara y=x så jag gjorde ett ekvationssystem. X = e^x och de blir aldrig lika mycket därför är svaret nej
ML Tina
svarade 2015-06-23 8:12
Hej!Tangenten till y=e^x är ju olika beroende på i vilken punkt du tittar. Linjen y=x har lutningen 1, men en linje som är parallell med x-axeln har lutningen 0 så det vi vill undersöka är om derivatan y'=e^x någon gång är lika med 0. Det betyder att ekvationen vi ska lösa är e^x=0.Men det finns inget x som löser den ekvationen så tangenten till y=e^x är aldrig parallell med x-axeln.
dramaturg
skrev den 2015-06-23 12:47
Men derivatan av 5a är ju noll
ML Tina
svarade 2015-06-23 14:53
Hej!Ja, det är den, men vi ska derivera 5a*e^x. Där är 5a en koefficient och den hänger med när man deriverar.Man kan jämföra det med y=3e^x. Om man deriverar den får man y=3e^x. Trean är en koefficient och påverkas inte av deriveringen och det är samma sak med 5a. Det finns en ny version av lösningen nu så ta gärna en titt på den!
dramaturg
skrev den 2015-06-25 14:00
När ni skriver lg då menar ni väl log2?
ML Ragnar
svarade 2015-06-25 15:06
Nej, när vi tar logaritmen av båda led spelar det ingen roll vilken bas vi använder (bara vi använder samma logaritmtyp på båda sidor). Målet är bara att skapa ett logaritmuttryck i vänsterledet så att exponenten t kan plockas ned.Det verkade dock onödigt krångligt att använda både lg och ln i samma lösning, så jag bytte mot ln för att vara lite konsekvent.
dramaturg
svarade 2015-06-25 15:13
Aha då förstår jag
dramaturg
svarade 2015-06-30 17:02
Hm nu när jag tänker efter så blir inte ln 2^t = t jag förstår att man gör samma sak på båda sidor men för att lösa ut t så måste vi använda andra logaritmen
ML Tina
svarade 2015-07-01 6:20
Nej, precis. ln(2^t) är lika med t*ln(2) enligt en av logaritmlagarna. För att lösa ut t dividerar sedan med ln(2) på båda sidor. Då får vi t ensamt i vänsterledet.Men den lagen gäller oavsett vilken bas logaritmen har. Vi valde ln eftersom vi redan hade det i högerledet, men det fungerar även med t.ex. lg.
dramaturg
skrev den 2015-06-30 17:10
När jag gör som ni gör så får jag svaret 3,95
ML Tina
svarade 2015-07-01 6:28
Okej, är du säker på att du dividerat med ln(2)? Om man inte gör det får man nämligen 3.95. När vi beräknar skriver vi i räknaren:ln(36/ln(2)) / ln(2)ln(2) förekommer alltså på två ställen i beräkningen. Stämmer det nu?
Afifa
skrev den 2015-11-08 19:39
varför blir x=ln(1) 👉 x=0?
ML Tina
svarade 2015-11-09 7:50
Hej!ln(1) är den exponent man ska sätta på talet e för att potensens värde ska bli 1. Eftersom e^0 är lika med 1 så är ln(1)=0.Jag noterade även att det stod fel i vår uträkning så det är korrigerat nu.
Banizdirdolap
skrev den 2015-12-12 16:18
Kan man inte bara få fram k värdet av både linjerna och sedan sätta vilkoret K1 * k2= -1. Är VL = HL så har man ju bevisat det?
ML Ragnar
svarade 2015-12-13 15:04
Det är precis det vi gör! Problemet är att det inte är så "bara" att få fram linjernas lutningar. Det är hur som helst en ny version av lösningen på gång som jag hoppas är tydligare, den dyker upp senare idag eller imorgon.
elof
skrev den 2016-01-19 19:51
jag förstår inte varför 9an i slutet av uppgift B blir en 8a efter hoppslagningen av bråken.
ML Ragnar
svarade 2016-01-20 9:38
Det ser nog bara krångligt ut för att det är ln(3) inblandat. Byt ut detta (tillfälligt) mot t.ex. "k" istället, så står det:9k/3 - k/3När bråken slås ihop tar man 9k-k, och det blir alltså 8k. Man har nio st från början, tar bort ett och då blir åtta kvar. Samma logik med 9ln(3)/3 - ln(3)/3. Man har nio st "ln(3)" och tar bort ett, så då blir åtta st "ln(3)". Och så delas allt på 3, förstås =)
Berkan
svarade 2016-11-29 17:14
på a) kan man skriva e^-1 också? men om man gör de så blir ju det e^x-e^-2
Berkan
svarade 2016-11-29 17:22
på b) varför skriver ni int (3) bredvid 1/3^x?
ML Tina
svarade 2016-11-30 8:03
a) vart vill du skriva e^(-1)? I början kan man inte göra det eftersom e^(-1) är samma som 1/e, men den andra termen i funktionen är ju 1/e^x. I svaret skulle man kunna skriva om det f'(1)=e-e^(-1) om man vill, men vi valde att använda bråkformen.b) Menar du ln(3)? ln är den naturliga logaritmen och dyker upp när man deriverar en exponentialfunktion enligt deriveringsregeln D(a^(kx))=a^(kx)*k*ln(a).
S.S
skrev den 2016-02-28 17:05
Varför just fyra? Eller var det bara ett exempel bara så?
ML Tina
svarade 2016-03-03 7:53
Vi vill hitta punkten där tangenten är parallell med linjen y=4x-3. Den linjen har lutningen 4 så därför vill vi ta reda på när derivatan för y=5+2e^x också är 4. Lösningen är uppdaterad där detta förhoppningsvis framgår lite tydligare. Annars är det bara att fråga igen!
lolaz
skrev den 2016-10-12 22:21
Hej! Varför funkar inte det att använda derivata formeln (som vi fick i a)) för att beräkna svaret till fråga C)? Förstår inte riktigt när man ska beräkna derivata och när man bara ska använda sig för funktionen, skulle vara tacksam om ni kunde hjälpa mig med det! :) Tack
ML Ragnar
svarade 2016-10-15 12:58
* Funktionen N(t) beräknar hur _många_ partiklar som finns vid någon tidpunkt. * Derivatan N'(t) beräknar hur _snabbt_ partiklarna sönderfaller.Så var uppmärksam på vad uppgiften frågar efter: Ett antal, eller en hastighet? Här undrar man hur många som försvunnit, dvs. ett antal. Då är derivatan inte användbar!Hoppas det var till någon hjälp, fråga gärna igen annars!
godis
skrev den 2016-11-05 11:56
Hej, varför sätter man in roten ur 2 i ursprungsformen för att få fram y värdet?
ML Ragnar
svarade 2016-11-05 12:18
Tangenten är ju en linje, och det går inte att bestämma en linje utan att känna till minst en punkt som den går igenom. Tangeringspunkten är förstås en punkt som linjen går igenom, men vi vet bara dess x-koordinat: x = rot(2). Ursprungsfunktionen är den som beräknar kurvans y-värden, så genom att sätta in x-värdet där får vi ut tangeringspunktens y-koordinat. Då vet vi sen exakt var tangeringspunkten ligger och kan använda den för att bestämma tangentens ekvation.Jag passade på att städa upp lösningen lite, hoppas den är lättare att följa nu.
godis
skrev den 2016-11-05 14:44
Hur vet man att det är C i formeln
ML Ragnar
svarade 2016-11-05 14:56
Jag är inte säker på vad du frågar efter, men en lite allmän förklaring: Exponentialfunktioner har alltid en koefficient, som man brukar kalla för C (man kan förstås döpa den hur man vill, bokstaven i sig är inte av betydelse). Ibland är C = 1 och då behöver man inte skriva ut den alls. En sak att notera är att C alltid kommer markera grafens "startvärde", dvs var grafen skär y-axeln nånstans (C motsvarar alltså räta linjers m-värde). Det behöver man dock inte känna till, utan man kan också räkna fram C-värdet på det sätt vi visar i lösningen.Var det svar på din fråga?
Berkan
skrev den 2016-11-24 15:54
på c) varför deriverar ni e^x/4 till 1/4xe^x? ni skriver ju som svar e^x/4-1/x^2, no sense om ni deriverar de från första början och inte skriver de som ett svar
ML Ragnar
svarade 2016-11-25 17:06
Jag hänger inte med på hur du menar. Derivatan av (e^x)/4 är (e^x)/4, på samma sätt som att derivatan av 4e^x är 4e^x vilket vi såg i a). Det spelar alltså ingen roll om man multiplicerar eller dividerar med 4, fyran följer liksom bara med ändå.Är det omskrivningen av (e^x)/4 till (1/4)e^x som förvirrar? Den gör vi egentligen bara för att visa att samma deriveringsregel som i a) kan användas, där man har ett tal gånger e^x och ska derivera. Att dela med 4 är ju samma sak som att multiplicera med en fjärdedel, och därför kan vi använda deriveringsregeln som använder multiplikation istället för att införa en ny regel specifikt för division.
Berkan
svarade 2016-11-26 23:56
ja, det var omskrivningen som förvirrade!
Berkan
skrev den 2016-11-29 17:32
om C E och Karin är konstanta tal varför går dom inte bort för?oj mena K**
ML Tina
svarade 2016-11-30 8:14
Konstanter försvinner bara i deriveringen om de står som en ensam term. Här är visserligen C, e och k konstanta, men de är bl.a. koefficienter. Ta t.ex. y=4x^3. Derivatan blir y'=4*3x^2. Fyran har konstant värdet 4, men den försvinner inte i deriveringen. Hänger du med?
Berkan
skrev den 2016-12-04 11:56
på b varför skriver ni int 3 efter 3^-x
ML Tina
svarade 2016-12-05 6:34
Menar du ln(3)? ln är den naturliga logaritmen och dyker upp när man deriverar en exponentialfunktion enligt deriveringsregeln D(a^(kx))=a^(kx)*k*ln(a).
Berkan
skrev den 2016-12-05 19:47
hur går int e^x bort för o varför skriver man int på högerled?
ML Tina
svarade 2016-12-06 7:40
Menar du på c? Derivatan av e^x är e^x (det går man igenom på sidan 97) och därför är den kvar efter deriveringen. ln är den naturliga logaritmen och används ofta när man löser ekvationer med e som bas och variabeln i exponenten.
Berkan
svarade 2016-12-06 15:38
ni får ju de till x= int 1, och hur går de till att int e^x blir x?
ML Tina
svarade 2016-12-08 6:42
Du kan t.ex. använda logaritmlagen ln(a^b)=b*ln(a), vilket gerln(e^x) = ln(1) <==> x*ln(e) = ln(1).ln(e) är det tal man ska upphöja e till för att få e. Eftersom e^1=e är ln(e)=1 vilket ger ossx*1 = ln(1) <==> x = ln(1).ln(1) är det tal man ska sätta som exponent på e för att potensen ska bli 1. Eftersom alla tal (förutom 0) upphöjt 0 blir 1 är ln(1)=0. Detta betyder attx = ln(1) <==> x = 0.
Berkan
skrev den 2016-12-10 13:14
vad menar ni med A (t) s derivata är konstant, förstog inte riktigt
ML Ragnar
svarade 2016-12-11 10:46
Om derivatan hade varit t.ex. A'(t) = 1200*t så hade derivatan haft olika värden för olika t. t=1 ger 1200, t=2 ger 2400 osv.Nu är derivatan istället bara A'(t) = 1200. Eftersom t inte används i uttrycket så spelar det ingen roll vad t har för värde. Både t=1 och t=2, samt alla andra värden på t, ger 1200. Derivatans värde ändras alltså inte, och det är vad konstant betyder.
Berkan
skrev den 2016-12-10 13:33
på a) om man int skriver (e^0,017)^x och istället skriver som det står från första början får man fel då?
ML Ragnar
svarade 2016-12-11 10:58
Så länge du kommer fram till rätt förändringsfaktor och läser av den procentuella ökningen rätt så är det nog inga problem. Omskrivningen gör vi för att visa varför det räcker att bry sig om endast e^0,017, trots att det finns ett x där också.
Tina
skrev den 2017-09-23 13:30
Hej, hur kan man veta att det behövs en konstantterm "K" ? för jag började som er och fick fram att C=-16, dvs g(x)= -16 * e^-0,003x , men då trodde jag att C inte kan vara -16 för att funktionen kommer inte bli lika med 5 om vi har x=0 . Det är först nu i mitten av beräkningarna som jag märker att man behöver en konstant "K", men ni nämner det i alldeles i början . Kan man se det på funktionen innan man beräknar? Isåfall hur ?
ML Ragnar
svarade 2017-09-25 7:09
Det är inte något man behöver se på funktionen, utan snarare en allmän grej som alltid gäller när man "deriverar baklänges", dvs. går från en derivata till en ursprunglig funktion. Det här får man träna mer på i avsnittet "Primitiva funktioner" längre fram i boken. Logiken är iallafall den här: Eftersom en konstant som "+5" försvinner när man deriverar, kan man inte se på derivatan g'(x) och veta om g(x) ska ha "+5" eller "-20" eller någon annan konstant. Det är liksom borttappad information. Därför måste man själv lägga på "+k" som en okänd konstant (vanligtvis kallar man den dock för C). Ibland, som i det här fallet, kan man räkna ut vad konstanten måste vara med hjälp av ett bivillkor: Eftersom vi vet att funktionen ska uppfylla g(0) = 5 kan det inte längre vara vilken konstant som helst.
Tina
skrev den 2017-09-24 8:26
Kan man använda sig av log istället för ln? Eller är det bättre att använda sig av samma logaritm hela vägen ?
ML Ragnar
svarade 2017-09-25 7:16
Du menar i steget "ln(VL) = ln(HL)"? Ja, där kan man använda vilken logaritmtyp man vill. I deriveringsregeln D(a^x) = a^x * ln(a) kommer man dock inte ifrån ln, regeln gäller inte annars.Man måste alltså inte använda ln på båda ställen, men det kan vara en god idé att hålla sig till samma sorts logaritm. Det blir lättare att förenkla uttryck då, generellt sett. I det här fallet hade det inte spelat någon roll alls eftersom det inte är mycket förenklingar att göra ändå.
Tina
skrev den 2017-09-24 9:06
Är det båda tangenterna som går genom punkten (a,a^2)? Och är k=2a och k=(a^2+0,25)/(a+1) samma lutning på en tangent?
Tina
svarade 2017-09-24 9:09
Jag förstår inte vad ni menar i ekvationslösningen "uttrycken beskriver samma sak" är det då ett och samma k-värde på en och samma tangent ?
ML Ragnar
svarade 2017-09-25 7:31
* Det kluriga är att (a, a^2) inte är en *specifik* punkt på kurvan, utan en *allmän* punkt på kurvan. Den beskriver båda tangeringspunkter samtidigt. Därför kan jag säga ja, båda tangenter går genom (a,a^2), men de går ändå genom olika tangeringspunkter.* Det är två olika uttryck som båda beräknar lutningen av en tangent: 1. Derivera x^2 till 2x och sätt in tangeringspunktens x-koordinat a: k = 2a. 2. Använd lutningsformeln på skärningspunkten (-1,-1/4) och tangeringspunkten (a,a^2): k = (a^2 + 1/4) / (a+1) Två olika uttryck som beskriver samma grej. Samma klurighet som tidigare gäller: Vi har inte valt ett specifikt a-värde, så vi räknar liksom på båda tangeringspunkter samtidigt. Hur kan jag då säga att uttrycken ger samma lutning? Jo, för uttrycken använder samma a. Oavsett om jag sätter in a=4 eller a = -25 eller nåt annat, så sätter jag in samma a på båda k-uttryck, och då kommer jag få samma resultat. Så (1) och (2) är två sätt att beräkna en tangents lutning, och därför kan de likställas.
Har du en fråga eller behöver hjälp med matten? Ladda då hem Mathleaks app och ställ din egen fråga i forumet.