Derivator och tillämpningar

Ladda ner gratis
Lösningarna finns i appen
Android iOS
Uppgifter markerade med kräver Mathleaks premium för att visa i appen. Ladda ner Mathleaks app på Google Play eller iTunes AppStore
Sektioner
Polynomfunktioner
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Polynomfunktioner 3202 1
Polynomfunktioner 3203 1
Polynomfunktioner 3204 1
Polynomfunktioner 3205 1
Polynomfunktioner 3206 1
Polynomfunktioner 3207 1
Polynomfunktioner 3208 1
Polynomfunktioner 3209 1
Polynomfunktioner 3210 1
Polynomfunktioner 3211 1
Polynomfunktioner 3212 2
Polynomfunktioner 3213 2
Polynomfunktioner 3214 2
Polynomfunktioner 3215 2
Polynomfunktioner 3216 2
Polynomfunktioner 3217 2
Polynomfunktioner 3218 2
Polynomfunktioner 3219 2
Polynomfunktioner 3221 2
Polynomfunktioner 3222 2
Polynomfunktioner 3223 3
Polynomfunktioner 3224 3
Polynomfunktioner 3225 3
Polynomfunktioner 3226 3
Polynomfunktioner 3227 3
Polynomfunktioner 3228 3
Polynomfunktioner 3229 3
Polynomfunktioner 3230 3
Polynomfunktioner 3231 3
Polynomfunktioner 3232 3
Potensfunktioner
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Potensfunktioner 3235 1
Potensfunktioner 3236 1
Potensfunktioner 3237 1
Potensfunktioner 3238 1
Potensfunktioner 3239 1
Potensfunktioner 3240 1
Potensfunktioner 3241 1
Potensfunktioner 3242 2
Potensfunktioner 3243 2
Potensfunktioner 3244 2
Potensfunktioner 3245 3
Potensfunktioner 3246 3
Potensfunktioner 3247 3
Andraderivatan
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Andraderivatan 3249 1
Andraderivatan 3250 1
Andraderivatan 3251 1
Andraderivatan 3252 1
Andraderivatan 3253 2
Andraderivatan 3254 2
Andraderivatan 3255 2
Andraderivatan 3256 3
Andraderivatan 3257 3
Andraderivatan och grafen
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Andraderivatan och grafen 3260 1
Andraderivatan och grafen 3261 1
Andraderivatan och grafen 3262 1
Andraderivatan och grafen 3263 1
Andraderivatan och grafen 3264 2
Andraderivatan och grafen 3265 3
Grafritande räknare
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Grafritande räknare 3267 1
Grafritande räknare 3268 1
Grafritande räknare 3269 1
Grafritande räknare 3270 2
Grafritande räknare 3271 2
Grafritande räknare 3272 2
Grafritande räknare 3273 3
Tillämpningar och problemlösning
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Tillämpningar och problemlösning 3275 1
Tillämpningar och problemlösning 3276 1
Tillämpningar och problemlösning 3277 1
Tillämpningar och problemlösning 3278 1
Tillämpningar och problemlösning 3279 1
Tillämpningar och problemlösning 3280 1
Tillämpningar och problemlösning 3281 2
Tillämpningar och problemlösning 3282 2
Tillämpningar och problemlösning 3283 2
Tillämpningar och problemlösning 3284 2
Tillämpningar och problemlösning 3285 2
Tillämpningar och problemlösning 3286 2
Tillämpningar och problemlösning 3287 2
Tillämpningar och problemlösning 3288 2
Tillämpningar och problemlösning 3289 3
Tillämpningar och problemlösning 3290 3
Tillämpningar och problemlösning 3291 3
Tillämpningar och problemlösning 3292 3
Tillämpningar och problemlösning 3293 3
Tillämpningar och problemlösning 3294 3
Kan alla funktioner deriveras?
Namn på uppgift Nivå Gratis?
Kan alla funktioner deriveras? 3295 1
Kan alla funktioner deriveras? 3296 1
Kan alla funktioner deriveras? 3297 2
Kan alla funktioner deriveras? 3298 3
Kan alla funktioner deriveras? 3299 3
Mathleaks Kurser

Om du behöver ytterligare teori eller test för Derivator och tillämpningar (Kurs 3), prova Mathleaks kurser som du kan prova gratis här: mathleaks.se/utbildning.

Hjälp och Forum

Natali
besvarad 2015-01-03 23:07
Efter att ni deriverat funktionen sätts (0,1) in men vart kommer dessa värden ifrån? Säkert jag som gjort en miss men förstår inte...
ML Tina
besvarad 2015-01-05 12:29
Hej! Det har och göra med att kurvan tangerar linjen y=x i origo. Det betyder att de har samma lutning i den punkten och y=x har ju lutningen 1. Vi låter därför derivatan vara 1 när x=0. Det finns nu en ny version av lösningen som förhoppningsvis förklarar detta bättre. Om det fortfarande är oklart är det bara att höra av sig igen!
vill bli expert
besvarad 2015-10-14 19:19
Hej. I uppgiften b, varför skrevs r inte som (12-h) i formeln då h och r är tillsammans 12?
ML Ragnar
besvarad 2015-10-15 9:49
Man kan byta ut r till 12-h, men då blir volymen en funktion av höjden istället. b-uppgiften är att uttrycka volymen som en funktion av radien. Det alltså variabeln r som ska "bevaras" medan h ska bytas ut, inte tvärtom.
dramaturg
besvarad 2015-10-23 15:21
Vad är kvadratkompletterande form?
ML Ragnar
besvarad 2015-10-25 16:44
En andragradsfunktion kan skrivas på olika sätt: Ett sätt är polynomformen y = ax^2 + bx + c, där a, b och c är värden som beskriver kurvans form och position. Ett annat sätt är den kvadratkompletterade formen y = k(x-d)^2 + e, där k beskriver kurvans "spetsighet" och (d,e) är positionen för kurvans extrempunkt. Tänk på att "k", "d" och "e" bara är etiketter, vi skulle lika gärna kunna döpa värdena till "m", "p" och "s" om vi hellre vill det.
Nina
besvarad 2015-10-27 9:24
vart får man 40 ifrån?! :(
ML Tina
besvarad 2015-10-28 8:34
Det kommer ifrån att halveringstiden är 25 år. Det betyder att efter 25 år finns hälften av ämnet kvar. Eftersom det från början fanns 80 mg finns det 40 mg kvar 25 år senare. Vi har uppdaterat lösningen så att detta ska framgå lite tydligare. Om något fortfarande är oklart är det bara att fråga igen!
vill bli expert
besvarad 2015-10-27 23:18
Hej! Om man ritar en graf till första derivatan av tredjegradsfunktion så får man en kurva med antingen minimipunkt eller maximipunkt med två nollställena. Nollställena vet jag att de talar om x-värdet då y-prim är noll men vad är det som den högsta eller minsta värdet på en sådan graf talar om? Hoppas att ni hänger med här och kan förklara det dör mig. Tack!
vill bli expert
besvarad 2015-10-27 23:27
Ni kan t.ex. Kolla på uppgiften 3122. Grafen måste vara skissat för en tredjegradsekvation med två kurva som har symetrilinje då x= -3 och x=3 och sedan har den också ett y-värde för grafen. Enklare sagt vad ger y-värdet i en sådan graf?
ML Ragnar
besvarad 2015-10-28 9:22
Ja, det är knepigt att prata om de här sakerna utan bilder att hänvisa till. Tredjegradskurvan är alltså en ursprungsfunktion, och när den deriveras fås en andragradskurva. Båda dessa kurvor ritas upp. Eftersom en derivata beskriver lutningen hos kurvan som deriverats, är det lutningsvärden man läser av på andragradskurvans lodräta axeln. Så om andragradskurvan har en maxpunkt i (a,b) innebär detta att tredjegradskurvan når sin största lutning (och den lutningen är b) i en punkt där x=a. Kurvan är alltså som brantast där x=a, men vad den punkten har för y-värde kan man inte utläsa ur derivatan. Hänger du med?
vill bli expert
besvarad 2015-10-28 10:02
Ja, tack tror att jag nu har det klart för mig.
dramaturg
besvarad 2015-11-02 20:13
Det finns två maximipunkter. X~1.2 och x~8,5 varför räknas inte 8,5?
ML Ragnar
besvarad 2015-11-03 9:38
En skarp observation! Det finns även ett minimum vid 4.95 man borde ta med (ett negativt avstånd betyder i det här fallet att den andra löparen har ledningen, men det är ju fortfarande ett avstånd man borde ta med i beräkningen). Vi har helt enkelt använt ögonmått för att konstatera att största avståndet ligger nånstans de första 3 sekunderna, och då har vi alltså uteslutit andra max- och minpunkter. Lite fuskigt kan man tycka. Det är en ny version på gång som är lite mer vattentät, den dyker upp under dagen.
vill bli expert
besvarad 2015-11-12 21:19
I fjärde mallen på uppgift a skrev ni 100 istället för 1000.
ML Ragnar
besvarad 2015-11-14 16:14
Tack! Det ligger en ny, försnyggad version av lösningen uppe nu.
dramaturg
besvarad 2015-11-17 19:33
Varför har ni sattit x=1 b)?
ML Ragnar
besvarad 2015-11-18 14:54
Eftersom nämnaren är x-1 så blir nämnaren noll om x=1. Det ger en lodrät asymptot där, för ju närmare noll som nämnaren är desto större blir kvotens värde. Den skjuter alltså iväg i höjdled vid det x-värdet. Det ligger nu en ny version av lösningen uppe!
dramaturg
besvarad 2015-11-18 15:00
Så hur är det man ska tänka när man vill få fram asymptotlinjen? Jag trodde att det var när x går mot noll och när x går mot oändligheten. Sen får man två asymptoter
ML Ragnar
besvarad 2015-11-18 15:12
Att undersöka vad som händer när x går mot oändligheten (eller minus oändligheten) är en bra idé. Men x=0 är ett enda värde, det blir en väldigt snäv kontroll. Asymptoten kan ju lika gärna gå längs x=1, eller x=-50, eller vad som helst. Att bara leta i x=0 och sen konstatera "ingen lodrät asymptot finns" är som att konstatera att pingviner inte existerar eftersom man inte hittat någon i Göteborg. Man måste alltså tänka efter lite så man letar på rätt ställen. De ställen som är värda att undersöka är de x-värden som gör att en nämnare blir noll. Ta t.ex. 1/(x-5). Ju närmare 5 som x är, desto närmare noll kommer nämnaren bli. Det gör att bråkets värde blir skitstort, t.ex. för x=5.001: 1/(5.001-5) = 1/0.001 = 1000. Som sagt, ju närmare 5 som x går, desto större funktionsvärde får du och därför skjuter grafen i höjdled vilket bildar en lodrät asymptot i x=5.
dramaturg
besvarad 2015-11-18 15:17
Jaha så det finns egentligen inte tydliga instruktioner man får helt enkelt kolla på ekvationen o tänka lite :p
ormen
besvarad 2015-12-30 14:41
Hur får man fram att kateten har längden (x-1.5)?
ML Ragnar
besvarad 2016-01-02 15:30
Det ligger en ny version uppe nu där vi använder avståndsformeln istället. Men för att svara på din fråga: Det tidigare resonemanget var att om punkten P har x-koordinaten x, och Q har x-koordinaten 1.5, så blir avståndet (i sidled) däremellan x-1.5. Om det verkar konstigt, ersätt x med 5 istället: Avståndet mellan 5 och 1.5 är 5-1.5 = 3.5, eller hur? Resonemanget fungerar dock bara om P ligger till höger om Q. Annars, om t.ex. P ligger där x=0.5, då blir ju x - 1.5 = 0.5 - 1.5 = -1. Men ett avstånd kan ju inte vara negativt! 1 ska det bli, inte -1. Lösningen gav dock rätt svar ändå, för det här avståndet skulle kvadreras och då spelar det ingen roll att vi "använt" -1 istället för 1. Men det var alltså ändå lite glapp i resonemanget, och det tror jag är åtgärdat nu!
Breck
besvarad 2016-03-16 15:09
jag förstår inte riktigt vad som händer vid förenkla termer varför blir en sjua till en åtta?
ML Ragnar
besvarad 2016-03-16 17:51
Det är ungefär som att 7x + x = 8x, alltså har man 7 av nånting och lägger till ytterligare 1 så har man sen 8 av detta. Det man har 7 och 8 av i det här fallet är alltså "7^(-7/8)". Hänger du med? Det ser dock ut som att mycket kan förbättras i den här lösningen, så en ny version är på gång.
Macattack
besvarad 2016-04-29 19:39
Hinner inte svara nu ska se på Atlantis med mina nära och kära kompisar
hey
besvarad 2016-05-21 14:25
Skulle ni kunna förklara varför (8000-100x)(50+x) uttrycker intäkten som funktion av biljettprishöjningen (och inte biljettpriset)? Har alltid haft svårt att förstå uttrycket: "som funktion av". Kan vara så att jag inte ens förstått vad en funktion är från början utan bara accepterat att det är som det är.
ML Ragnar
besvarad 2016-05-21 15:12
Kul fråga! Kan säga att det tog ett tag själv innan jag blev helt bekväm med funktionsbegreppet. Att säga "y är en funktion av x" betyder att "y beräknas utifrån x". Man sätter in ett x-värde i funktionen och beräknar det motsvarande y-värdet. Men det här x-värdet man sätter in kan representera olika saker. Ett tråkigt exempel: säg att du ska köpa potatis som kostar 8 kr kilot. Kostnaden y kr skulle kunna beräknas med formeln y = 8x, där x är antalet kg, eller som y = 0.8x där x är antalet hg. De beräknar samma pris, men beräknar det utifrån olika ingångsvärden och gör därför olika beräkningar. I den här uppgiften uppstår motsvarande skillnad om man låter x beskriva biljettpriset (t.ex. 57 kr) eller prishöjningen (som isåfall är 7 kr). Funktionen y = (8000 - 100x)(50+x) använder precis den logik vi utgår från: antal passagerare * biljettpris, men "biljettpris" är i det här fallet inte x utan 50+x, eftersom de låter x beskriva biljettprisets *höjning*. Lite krångligt jag vet! Hängde du med?
tjena
besvarad 2016-10-30 15:57
jätte svårt att förstå lösningen. varför deriverar man i sådan situation
ML Ragnar
besvarad 2016-11-01 15:20
Tänk på att det inte är linjen y = x eller kurvan y = x^2 som deriveras. Det vi deriverar är en annan funktion, som beskriver det avstånd vi vill maximera. Alltid när man vill undersöka ett maximum eller ett minimum så är det derivata man vill använda, eftersom lutningen är noll i en max- eller minpunkt (förutom i ändpunkter eller punkter där en funktion inte är deriverbar). Det ligger en ny version uppe nu, men det är inte jättestora förändringar. Hoppas ändå det blev något tydligare?
tjena
besvarad 2016-11-11 15:11
a och b behöver inte vara bara de ni har skrivit och det kan variera. ni glömde skriva det för att a=-1.75 och b=-6,5
ML Ragnar
besvarad 2016-11-12 21:55
Nja, jag lutar åt att vårt svar är det enda möjliga. För att uppfylla villkoren y'(-1) = 0 och y'(3) = 0 bildar vi ett ekvationssystem, och det systemet har bara en lösning. Ekvationen du föreslår har sina extrempunkter i x = -1 och x = 2.167, inte x = 3.
tjena
besvarad 2016-11-12 14:47
kan ni visa hur man deriverar och hittar max punkten algebraiskt på A
ML Ragnar
besvarad 2016-11-12 21:42
Syftet med det här uppslaget i boken är att visa på exempel där algebraiska metoder inte räcker till, och man tvingas till andra sätt att lösa ekvationer (numeriskt eller grafiskt). Maxpunkten går dock fint att lösa algebraiskt, men derivatan kräver produktregeln vilket kommer först i kurs 4.
tjena
besvarad 2016-11-12 15:18
varför räknar ni inte på samma sätt som i 3218 ?? det är väl samma sorts fråga
ML Ragnar
besvarad 2016-11-12 21:31
Ja, i princip går det jättebra att derivera avståndsfunktionen och hitta derivatans nollställen. Här är dock avståndsfunktionen ett fjärdegradspolynom, och då blir derivatan ett tredjegradspolynom. För att hitta extrempunkterna måste vi då lösa en tredjegradsekvation. Det kan man förstås göra, men det ser inte ut att vara tillräckligt snälla värden för att det ska gå utan att ta till räknare iallafall. Därför har vi valt en grafisk lösning här.
tjena
besvarad 2016-11-14 19:37
varför lämnade ni ut 10 i a där ni skulle skriva med basen e ? undrar ba fattar ej
ML Ragnar
besvarad 2016-11-17 21:25
Koefficienter påverkar inte när man deriverar, utan följer bara med. Det finns ingen anledning att baka in 10:an i ett krångligt uttryck, för när man sen deriverar och förenklar kommer den till slut ploppa fram utanför ändå. Så det är lika bra att hålla det enkelt och låta 10:an bara följa efter som en svans från början.
tjena
besvarad 2016-11-14 20:29
varför kan vi inte dela med X på E)
ML Ragnar
besvarad 2016-11-17 21:30
Det kan vi egentligen, men det är dåligt att ta till sig det som vana när man löser ekvationer. Det går ju inte att dela med noll, och det betyder att OM x=0 är en lösning till ekvationen kommer den inte visas som lösning när man är klar. Man säger ibland att man har "dividerat bort" den lösningen. Här är det ingen fara, eftersom x måste vara positivt. Så även om x=0 är en lösning (vilket det råkade vara) spelar det ingen roll om den trixas bort i ekvationslösningen, det är ändå inte den rot vi söker. Men vi har alltså valt att inte lösa ekvationen på det sättet bara för att undvika dåliga vanor, utifall att någon får för sig att göra så på en uppgift där det faktiskt spelar roll.
MAT(E-IK)
besvarad 2017-11-04 16:46
Det här med övre gräns för definitionsmängden, vi ser att man kan uttrycka en sida som 80-h som representerar basen, den ska ju också vara större än 0, dvs 80-h > 0 vilket betyder att h ska vara mindre än 80 i det här fallet, hur ska man ange övre gränsen för definitionsmängden om även denna sida ska vara större än 0?
ML Tina
besvarad 2017-11-08 7:45
I det här fallet kombinerar du dina olikheter. Det stämmer att h måste vara mindre än 80, vilket vi kan skriva som h<80, men h ska ju även vara större än 0, vilket vi skriver som h>0. Om man vänder på den olikheten får man 0 0
MAT(E-IK)
besvarad 2017-11-04 20:22
Vad är areafunktionens definitionsmängd? Hur kan man tänka där om rektangeln kan sträcka ut sig även i 2:a kvadranten...
ML Tina
besvarad 2017-11-08 7:58
Eftersom rektangeln måste befinna sig ovanför x-axeln måste x vara de värden där kurvan befinner sig ovanför x-axeln. I figuren i lösningen ser du att den gör den mellan funktionens nollställen, så genom att hitta dem (dvs. genom att lösa ekvationen 12-x^2=0) hittar du undre och övre gränsen för definitionsmängden.
MAT(E-IK)
besvarad 2017-11-05 9:45
Finns det ett krångligare sätt för att få fram h = 2r? Hoppas ni förstod ironin där, jag söker bara efter en förenklad version om det nu finns
ML Tina
besvarad 2017-11-09 10:44
Det är faktiskt ganska krångligt att få fram det, så hade vi vetat ett enklare sätt att få fram det hade det varit med i lösningen.
MAT(E-IK)
besvarad 2017-11-05 9:55
Så bara om höjden är dubbelt så stor som radien (oberoende av volymen på cylindern) så får vi materialåtgångens minsta area? I sånna fall coolt!
ML Tina
besvarad 2017-11-09 10:46
Yes! Du kan testa att göra samma sak, men istället för att använda att volymen är 1000 kubikcentimeter kan man t.ex. kalla den V. Då kommer du att komma fram till samma sak. :)
SM
besvarad 2018-10-31 17:14
Hej! Kan man skriva avståndet även som d=s_b - s_a ? Jag förstår inte riktigt varför man subtraherar s_b från s_a, om löpare B är före löpare A. Visserligen kanske det inte är så under hela loppet, men hur vet man vilken av löparstreckorna, s_a eller s_b, som ska subtraheras från den andra? Tycker bilden var fin, btw :)
ML Daniel
besvarad 2018-11-02 7:39
Hej! Om löpare B är framför löpare A innebär det att s_b är större än s_a (B har kommit längre). Om man då beräknar s_b - s_a får man ett positivt värde som motsvarar skillnaden i sträcka. Om man istället hade beräknat s_a - s_b hade man då fått skillnaden i sträcka, fast med negativt tecken. Det spelar alltså ingen roll vilken ordning man gör subtraktionen, så länge man tolkar resultatet korrekt. Eftersom det är avståndet mellan s_a och s_b som söks kan man även ställa upp avståndsformeln d = |s_b - s_a|, eftersom absolutbeloppet av en subtraktion motsvarar avståndet mellan dessa två värden. Då slipper man tänka på vilket tecken funktionsvärdet har. Jag tycker också bilden är fin! Mvh Daniel
Fille
besvarad 2020-01-16 5:56
Hej! Jag undrar hur uppgiften skulle kunna lösas om h skulle utryckas som funktion av r? Då blir ju rottecken involverat och behöver man då kvadrera hela volymuttrycket för att bli av med rottecknet? Jag har kvadrerat båda led men får ett negativt värde för ”r” vilket är omöjligt då det rör sig om avstånd. Så hur ska man i så fall gå till väga?
ML William
besvarad 2020-01-29 8:16
Hej! Hur kan du få ett negativt värde efter att kvadrerat båda leden? Kom ihåg att både positiva och negativa tal i kvadrat blir positiva.
Har du en fråga eller behöver du hjälp med matten? Ladda ner Mathleaks app och ställ din fråga i forumet.