10. Överslagsräkning
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
10.
Överslagsräkning
Innehållet handlar om överslagsräkning, en metod som används för att förenkla beräkningar genom att avrunda tal. Den förklarar hur man kan använda överslagsräkning i olika situationer, som att multiplicera eller dividera stora tal, eller uppskatta kostnaden för en shoppingtur. Sidan ger också exempel på hur man kan använda överslagsräkning för att göra uppskattningar när inte all information är tillgänglig, som att beräkna antalet mackor som behövs för en turistbuss. Detta gör det till ett användbart verktyg för att få en snabb och ungefärlig lösning på ett problem utan att behöva använda en kalkylator.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 7 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Överslagsräkning
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Överslagsräkning
- Uppskattning
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Överslagsräkning
Överslagsräkning innebär att hitta ett svar som är tillräckligt nära det exakta svaret genom att avrunda eller använda enklare tal för att göra beräkningarna lättare. Tänk på multiplikationen av två tal: 195* 205 Denna beräkning är svår att utföra i huvudet. I detta fall kan enklare tal användas för att göra beräkningen lättare. Båda talen kan avrundas till 200, vilket är tillräckligt nära för att uppskatta det exakta svaret. 195* 205&≈ 200* 200 &≈ 40 000
Multiplikationen av 195 med 205 är ungefär lika med 40 000. Det uppskattade svaret är mindre exakt, men beräkningen blir enklare.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Hur man gör en överslagsräkning
Överslagsräkning gör beräkningar snabbare och enklare när exakta svar inte är nödvändiga. Genom att avrunda eller använda enklare värden kan man hitta ungefärliga svar som är användbara i verkliga situationer.
| Addition | Multiplikation | Subtraktion | Division |
|---|---|---|---|
| 790+340 | 790* 340 | 790-340 | 790/340 |
Följande steg visar hur man gör överslagsräkning som ger resultat som är närmare det ursprungliga svaret.
1
Avrunda tal
expand_more Överslagsräkning med addition och multiplikation skiljer sig något från överslagsräkning med subtraktion och division. För att uppskatta resultatet av addition och multiplikation, avrunda det ena talet upp och det andra ner.
| 790+340 | 790* 340 | |
|---|---|---|
| Avrunda tal | 800+ 300 | 800* 300 |
Detta håller resultatet närmare det ursprungliga värdet, eftersom att avrunda båda tagen uppåt eller nedåt skulle leda till ett större avstånd från det faktiska resultatet. Å andra sidan, för att uppskatta resultatet av subtraktion och division, avrundas båda talen antingen upp eller ner. Här har man valt att avrunda båda tagen uppåt.
| 790-340 | 790/340 | |
|---|---|---|
| Avrunda tal uppåt | 800- 400 | 800/400 |
2
Utför de matematiska operationerna
expand_more Utför nu de matematiska operationerna med avrundade tal.
| 790+340 | 790* 340 | 790-340 | 790/340 | |
|---|---|---|---|---|
| Utför | 800+300=1200 | 800* 300=240 000 | 800-400=400 | 800/400=2 |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Gör en överslagsräkning
Markisen Claes är och handlar. Han köper 5 kiwifrukter á 4,90 kr, ett halvt kilo vindruvor för 29,90 kr, ett paket skivad cheddarost för 22,90 kr och en falukorv för 30,95 kr. Ungefär hur mycket kommer det att kosta?
Svar
Exempelsvar: Ungefär 110 kr
Lösning
Det är svårt att räkna exakt så vi gör en överslagsräkning. Kiwin kostar ungefär 5 kr styck och vindruvorna kostar cirka 30 kr. Priset för osten kan vi avrunda till 25 kr. Nu har vi avrundat uppåt så om det är möjligt avrundar vi priset på falukorven nedåt. Den kostar då cirka 30 kr.
| Kosta (kr) | Avrunda (kr) | |
|---|---|---|
| Kiwifrukt | 4,90 | 5 |
| Ett halvt kilo vindruvor | 29,90 | 30 |
| Ett paket skivad cheddarost | 22,90 | 25 |
| En falukorv | 30,95 | 30 |
Det betyder att vi ska beräkna 5* 5+ 30+ 25+ 30. Vi börjar med totala priset på kiwin eftersom multiplikation går före addition.
Claes shoppingtur kostar alltså ungefär 110 kr. Vi valde att avrunda uppåt för de flesta varorna, vilket är en god idé när man uppskattar hur mycket något kommer att kosta. När man väl står i kassan är det ju bara positivt om maten är billigare än väntat.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Uppskattning
Ibland kan man behöva räkna på något även om man inte känner till alla värden som behövs. Det kan handla om att man inte har tid eller möjlighet att göra vissa mätningar eller hitta specifik information men ändå vill få en uppfattning om vad beräkningen skulle kunna ge. Då kan man använda uppskattade värden, alltså värden baserade på rimliga antaganden. Vissa steg följs för att göra en rimlig uppskattning.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Hur man gör en uppskattning
Ibland vill man göra en uppskattning av ett värde utan att ha all information. Exempelvis skulle man kunna vilja göra en uppskattning i följande situation.
|
Exempel Situation |
|
Gert driver en kiosk där han säljer lunchmackor. En dag får han ett tips om att en fullsatt turistbuss kommer att stanna vid kiosken för att äta nästa dag. Uppskatta hur många mackor han bör göra och hur många av dessa som bör vara vegetariska. |
Uppskattning kan göras i fyra steg.
1
Avgör vilka värden som behövs
expand_more Först måste man avgöra vilka värden som faktiskt behövs för att kunna göra de beräkningar man är ute efter. I det här fallet vill man veta hur många mackor man bör göra för att de ska räcka till en hel turistbuss, vilket innebär att man först måste uppskatta hur många passagerare som finns på bussen. Sedan behöver man också uppskatta hur stor andel av passagerarna som är vegetarianer för att veta hur många av mackorna som ska vara vegetariska.
2
Uppskatta okända värden
expand_more När man vet vilka värden som ska uppskattas försöker man att göra rimliga antaganden om dem för att få något att räkna med. Dessa uppskattningar kan vara baserade på liknande situationer, erfarenhet eller bara rena gissningar. Oftast försöker man använda så exakta värden som möjligt, men beroende på situationen kan det vara bättre att över- eller underskatta värdet.
Antal passagerare
En normalstor turistbuss har oftast 4 platser i bredd och mellan 15 till 20 rader. Totalt kan man alltså anta att det kommer att finnas mellan 4*15 = 60 och 4*20 = 80 platser, och då låter 70 som en rimlig gissning. Eftersom bussen är fullsatt betyder detta att det kommer att finns ungefär 70 passagerare på bussen.
Andel vegetarianer
Att uppskatta andelen vegetarianer är svårare, men baserat på erfarenhet kan man nog anta att runt 10 procent av Sveriges befolkning är vegetarianer. I det här fallet kan det dock vara en god idé att överskatta andelen eftersom det är mycket möjligt att det finns människor som inte är vegetarianer men som väljer det alternativet, men det är inga vegetarianer som kommer att välja det icke-vegetariska alternativet. Då kan 20 procent vara en bra uppskattning.
Antal passagerare
En normalstor turistbuss har oftast 4 platser i bredd och mellan 15 till 20 rader. Totalt kan man alltså anta att det kommer att finnas mellan 4*15 = 60 och 4*20 = 80 platser, och då låter 70 som en rimlig gissning. Eftersom bussen är fullsatt betyder detta att det kommer att finns ungefär 70 passagerare på bussen.
Andel vegetarianer
Att uppskatta andelen vegetarianer är svårare, men baserat på erfarenhet kan man nog anta att runt 10 procent av Sveriges befolkning är vegetarianer. I det här fallet kan det dock vara en god idé att överskatta andelen eftersom det är mycket möjligt att det finns människor som inte är vegetarianer men som väljer det alternativet, men det är inga vegetarianer som kommer att välja det icke-vegetariska alternativet. Då kan 20 procent vara en bra uppskattning.
3
Utför beräkningen
expand_more Nu när man har de värden som behövs går det att göra beräkningen. Om det är 70 passagerare bör det göras 70 mackor, och av dessa ska 20 % vara vegetariska, alltså 70 * 0,2 = 14 st.
4
Avgör om resultatet är rimligt
expand_more Till sist undersöker man om det resultat man har fått fram är rimligt. Om man får 40 000 miljarder mackor har man förmodligen gjort några tveksamma antaganden, för det är väldigt många mackor. Att det behövs 70 mackor, varav 14 är vegetariska, till passagerarna i en buss är möjligen inte helt rätt, men det är definitivt rimligt.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Uppskatta restaurangens månatliga intäkter
Uppskatta restaurangens totala intäkter på en månad, förutsatt att den serverar 150 kunder per dag.
Svar
Exempelsvar: Ungefär 900 000 kr
Ledtråd
Svaret kan variera beroende på dina antaganden. Anta att det genomsnittliga beloppet per kund är 200 kr. Finns det några andra faktorer att ta hänsyn till?
Lösning
För att uppskatta restaurangens totala intäkter behöver vi inte bara veta antalet dagliga kunder utan också några andra viktiga faktorer. Till exempel behöver vi veta hur mycket en kund spenderar i genomsnitt. Låt oss anta att en kund spenderar i genomsnitt 200 kr per dag. Vi behöver också veta hur många dagar restaurangen är öppen under en månad. För detta antar vi att den är öppen varje dag, alltså 30 dagar.
| Faktorer | Uppskatta |
|---|---|
| Antal kunder | 150 |
| Belopp som en kund spenderar | 200 kr |
| Antal dagar restaurangen är öppen | 30 dagar |
Nu när vi har de värden vi behöver kan vi göra beräkningen. 150 * 200 * 30 = 900 000 kr Därför skulle restaurangens totala intäkter på en månad vara ungefär 900 000 kr.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Överslagsräkning
Uppgift 3.1
Uppskatta hur många miljoner kronor ett helhöjdskylskåp fyllt med tior är värt.
{"type":"text","form":{"type":"interval","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true},"text":""},"formTextBefore":"ca","formTextAfter":"miljoner","answer":{"text1":"3","ineq1":"lt","text2":"4","ineq2":"lt"}}
security
report
code
security
report
code
Vi behöver uppskatta kylskåpets volym och en tias volym. Genom att dela kylskåpets volym med tians volym får vi antalet tior man kan stoppa in i kylskåpet.
Kylskåpets volym
Måtten på helhöjdsskylskåp variera men vi använder höjden 180 cm, bredden 60 cm och djupet 50 cm. Detta är dock yttermåtten så vi uppskattar innermåtten genom att subtrahera 10 cm från samtliga dimensioner vilket ger volymen 170 * 50 * 40 = 340 000 cm^3. Vi har antagit att volymen är ett rätblock. Det är antagligen inte helt sant, men det gör inget. Det är ju bara en uppskattning.
En tias volym
En tia har formen av en cylinder. Dess diameter är 2,09 cm och höjden 0,29 cm. En rimlig uppskattning är då att radien är 1 cm och höjden 0,3 cm. Volymen av en cylinder beräknas genom att multiplicera cirkelns area, π r^2, med höjden. Det ger oss π * 1^2 * 0,3≈ 0,94 cm^3.
Antalet tior som får plats
Nu delar vi kylskåpets volym med tians volym för att bestämma hur många tior som får plats i kylskåpet. 340 000 cm^3/0,94 cm^3≈ 361 792 Enligt vår uppskattning får det alltså plats ca 361 792 tior i kylskåpet, dvs. 3 617 920 kr. Eftersom det antagligen inte går att packa perfekt, dvs. det kommer antagligen att finnas luft mellan tiorna, avrundar vi nedåt till 3 500 000 kr. Detta är enbart en uppskattning och att andra svar också kan vara rimliga. Svar mellan 3 och 4 miljoner är ganska rimliga.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Använd uppskattning och mental matematik för att hitta de fyra saknade kvantiteterna från kvittot.
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"Hamsterbur"},{"id":1,"text":"Motionshjul"},{"id":2,"text":"Mjukt bottenmaterial"},{"id":3,"text":"Hamsterfoder"}],[{"id":0,"text":"1"},{"id":1,"text":"2"},{"id":2,"text":"4"},{"id":3,"text":"7"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2,3],[0,1,2,3]]}
security
report
code
security
report
code
Vi vill hitta de saknade kvantiteterna från kvittot.
För att hitta de saknade kvantiteterna måste vi dividera det totala priset för varje vara med enhetspriset.
På den första raden dividerar vi 359,90 med sig självt så att det är lika med 1. Vi gör detta eftersom endast 1 hamsterbur säljs. På den andra raden dividerar vi 105,80 med 52,90. Låt oss avrunda 52,90 till 50. Då kan vi välja 100 för dividenden eftersom 50 och 100 är kompatibla tal. Kvot: & 105,80 / 52,90 Uppskattning: & 100 / 50 = 2 Antalet motionshjul är ungefär 2. För kvoten på den tredje raden kan vi avrunda 62,90 till 60. Vi måste komma på ett tal nära 251,60 som lätt kan divideras med 60. Låt oss välja 240 så att vi kan dividera 240 med 60. Detta ger oss en uppskattning på 4. Kvot: & .251,60 /62,90. Uppskattning: & .240 /60. = 4 Slutligen kommer vi att uppskatta den sista kvoten. Låt oss avrunda 45,90 till 50 eftersom 350 är det närmaste talet som är en multipel av 50. När vi dividerar 350 med 50 får vi en uppskattning på 7. Kvot: & 367,20 / 45,90 Uppskattning: & 350 / 50 = 7 Detta betyder att ungefär 7 hamsterfoderpaket säljs. Låt oss använda allt vi hittar och fylla i rutorna.
Observera att det vi hittade är uppskattningar. De kanske inte är det exakta värdet på kvoterna.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Bestäm var du ska placera decimaltecknet i täljaren och nämnaren så att kvoten ligger mellan 23 och 25. 16 023/654
security
report
code
security
report
code
Låt oss börja med att hitta värdet av den givna kvoten. 16 023/654 Vi kommer att använda lång division för att hitta dess värde.
Kvoten är 24,5. Vi kan också skriva det som en bråk. 16 023/654 = 24,5 Nu kan vi hitta en ekvivalent bråk som involverar decimaler. Kom ihåg att dividera med 10 flyttar decimaltecknet ett steg åt vänster. Därför, om vi dividerar täljaren och nämnaren med 10, får vi en ekvivalent bråk vars värde är mellan 23 och 25. .16 023 / 10./.654 / 10. = 24,5 ⇒ 1 602,3/65,4 = 24,5
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Nämn tre decimaler vars produkt är ungefär 40.
security
report
code
security
report
code
Låt oss skriva primtalsfaktoriseringen av 40. Vi kommer att använda primtalsfaktorerna för att skriva tre decimaltal med en produkt på ungefär 40.
| Tal | Primtalsfaktorisering |
|---|---|
| 40 | 2^3 * 5 |
Med hjälp av primtalsfaktorerna för 40 kan vi identifiera tre tal på följande sätt. 40 = 2 * 4 * 5 Låt oss nu betrakta produkten av decimaltal som ligger mycket nära dessa faktorer. Deras produkt kommer att vara ungefär 40. Vi kan få en uppsättning exempel på decimaltal genom att addera eller subtrahera 0,1. 2 & * & 4 & * & 5 & = & 40 ↓ & & ↓ && ↓ & 1,9 & * &4,1 &* & 5,1 & ≈ & 40 Vi kan skriva ett ganska stort antal möjliga uppsättningar av olika decimaltal. Vi visade bara ett exempel.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Överslagsräkning
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll