Metod

Beräkna integral med area

Integraler kan tolkas som areor och man kan använda detta för att bestämma värdet av en integral, t.ex.

\int_{0}^{9} f (x) d x .

Grafen till

f (x)

visas i figuren.

Identifiera de områden som integralen beskriver

Man börjar med att markera det eller de områden mellan grafen och $x$ -axeln som definieras av integralen. I detta fall ska integralen beräknas mellan $x$ -värdena $0$ och $9,$ vilket motsvarar följande två områden.

Beräkna totala arean av områdena över respektive under

x

-axeln

Nu beräknar man arean av det eller de områden som markerats. Här är områdena rätvinkliga trianglar, så arean beräknas genom att man multiplicerar kateterna och dividerar med

2 .

Den gröna triangeln har sidorna

5

och

2.5,

så arean över

x

-axeln blir

A_{1} = \frac{5 \cdot 2 . 5}{2} = 6.25 .

Den röda triangeln har istället sidorna

4

och

2,

så arean under

x

-axeln blir

A_{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4 .

Bestäm integralens värde

Värdet på integralen bestäms på olika sätt beroende på om den beskriver ett eller flera områden.

Om integralen beskriver ett område kommer arean på detta motsvara integralens värde. Kom ihåg att värdet är negativt om området ligger under $x$ -axeln.
Om integralen beskriver flera områden får man subtrahera de områden som ligger under $x$ -axeln från de som ligger ovanför. I detta fall subtraherar man alltså den röda arean från den gröna:

\int_{0}^{9} f (x) d x = 6.25 - 4 = 2.25 .

Detta ger att integralens värde är

2.25 .

Rekommenderade uppgifter