Öva på gränsvärden

Vad är sant och vad är falskt om gränsvärden?

fullscreen

Avgör om följande påståenden om gränsvärden är sanna (S) eller falska (F):
A. Om $x$ går mot ett specifikt tal är gränsvärdet det $y$ -värde funktionen närmar sig.
B. Gränsvärde är alltid samma sak som funktionsvärde.
C. "Gränsvärdet för funktionen $y = 2 x - 1$ när $x$ går mot $5$ är $9$ " skrivs $x = 5 lim (2 x - 1) \to 9 .$
D. Om $x \to \infty$ så är gränsvärdet oändligt stort.
E. Gränsvärden kan användas för att ange vilket värde ett rationellt uttryck går mot för ett givet $x$ -värde för vilket funktionen ej är definierad.

Visa Lösning

Vi går igenom påståendena ett i taget.

Påstående A

Sant, detta är i princip definitionen av ett gränsvärde.

Påstående B

Falskt. Ett funktionsvärde tillhör alltid en funktions värdemängd. Ett gränsvärde liknar ett funktionsvärde men det tillhör inte nödvändigtvis funktionens värdemängd. Exempelvis är gränsvärdet $x \to \infty lim (5 - 9^{1 / x}) = 4,$ men funktionen närmar sig bara detta värde: det kommer aldrig bli $4 .$

Påstående C

Falskt. I påståendet står det att

x

ska gå mot

5,

inte vara lika med

5

som det står i notationen. I notationen står det också att gränsvärdet går mot

9,

vilket är fel eftersom ett gränsvärde inte är "rörligt" utan alltid lika med någonting. Slutsatsen är alltså att pilen och likhetstecknet ska byta plats, så det istället står

x \to 5 lim (2 x - 1) = 9 .

Påstående D

Falskt. Vi visade exempelvis att gränsvärdet för $f (x) = 5 - 9^{1 / x}$ då $x \to \infty$ var $4,$ vilket inte är detsamma som oändligheten.

Påstående E

Sant. Istället för att bara konstatera att exempelvis $g (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ är odefinierad för $x = 2$ kan man i vissa fall använda gränsvärden för att ta reda på vad funktionen närmar sig för detta $x .$

Sammanfattning

Vi sammanfattar svaren i en tabell.

Påstående	S/F
A.	S
B.	F
C.	F
D.	F
E.	S

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel