Felkällor i Undersökningar: Bortfall, Mätfel och Urvalsfel

I en kommun med

10000

röstberättigade invånare har man genomfört en folkomröstning. Valdeltagandet var

84 %

. Folkomröstningens alternativ

A

vann med

60 %

av rösterna, medan alternativ

B

fick

40 % .

En talesperson för alternativ

B

säger att om bortfallet också hade röstat, så kunde alternativ

B

ha vunnit. Stämmer detta? Motivera ditt svar.

Om B ska vinna folkomröstningen måste detta alternativ få över 50 % av rösterna. Det innebär alltså åtminstone 5 001 röster om alla deltog i valet. Totalt sett deltog 0,84 * 10 000 = 8 400 personer i omröstningen och av dessa röstade 40 % på B. Antalet personer som röstade på B blir alltså 0,4 * 8 400 = 3 360. Eftersom valdeltagandet var 84 % måste bortfallet vara 16 %. Om vi förutsätter att hela bortfallet röstar på B så ska vi lägga till 16 % av de 10 000 röstberättigade som inte deltog i folkomröstningen till 3 360: 3 360 + 0,16 * 10 000 = 4 950 personer. Även om hela bortfallet hade röstat på B skulle alternativet inte nå 5 001 röster.

I en enkätundersökning frågade man ett företags $358$ anställda vad de tyckte att företaget skulle köpa in till fikarummet: En kaffemaskin, ett pingisbord eller en fruktkorg som levereras veckovis. Resultatet av undersökningens $197$ enkätsvar sammanställs nedan.

Alternativ	Andel
Kaffemaskin	$38, 1 %$
Pingisbord	$45, 2 %$
Fruktkorg	$16, 8 %$

Eftersom så pass få anställda svarade på enkäten gjorde man en uppföljande undersökning i bortfallsgruppen som alla besvarade under hot om uppsägning. Undersökningen i bortfallsgruppen gav följande resultat:

Alternativ	Andel
Kaffemaskin	$57, 1 %$
Pingisbord	$24, 8 %$
Fruktkorg	$18, 0 %$

Hur många procent av de anställda valde de olika alternativen? Para ihop respektive alternativ med andelen.

Vi beräknar hur många personer totalt som valde de olika svarsalternativen genom att använda andelsformeln. Svaren avrundas till närmaste heltal.

Alternativ	Andel	Antal	≈
Kaffemaskin	38,1 %	0,381 * 197	75
Pingisbord	45,2 %	0,452 * 197	89
Fruktkorg	16,8 %	0,168 * 197	33

Vi gör nu samma beräkning för bortfallet där det totala antalet svaranden var 161. Svaren avrundas återigen till närmaste heltal.

Alternativ	Andel	Antal	≈
Kaffemaskin	57,1 %	0,571 * 161	92
Pingisbord	24,8 %	0,248 * 161	40
Fruktkorg	18,0 %	0,180 * 161	29

Genom att lägga till hur bortfallet svarade till svaren i den ursprungliga enkäten kan vi beräkna vilka andelar som valde de olika alternativen.

Alternativ	Antal	Andel	≈
Kaffemaskin	75 + 92	75 + 92/358	47 %
Pingisbord	89 + 40	89 + 40/358	36 %
Fruktkorg	33 + 29	33 + 29/358	17 %

På en arbetsplats planerar man att göra en utlandsresa med sina $418$ anställda. Personalchefen Ulf vill veta var de anställda helst vill åka så han genomför en enkätundersökning. $195$ personer svarar att de föredrar solsemester och $142$ personer svarar skidsemester.

Ungefär hur stort var bortfallet i procent? Avrunda till hela procent.

Låt

S

beteckna andelen anställda på arbetsplatsen som gillar solsemester. Inom vilket intervall ligger

S ?

A . B . C . 47 % \leq S \leq 50 % 50 % \leq S \leq 66 % 47 % \leq S \leq 66 %

Vi beräknar bortfallets andel genom att dela bortfallets storlek med antalet anställda. 195 svarade solsemester och 142 svarade skidsemester så bortfallet blev 418-195-142=81 personer. Vi beräknar andelen med andelsformeln.

Bortfallet var ca 19 %.

Andelen anställda som vill åka på solsemester är störst om hela bortfallet hade svarat solsemester vilket innebär att vi adderar 81 till 195 i täljaren på andelsformeln. På samma sätt är andelen minst om hela bortfallet svarar att de föredrar skidsemester: 81+195/418 ≈ 0,66 och 195/418≈ 0,47 Andelen anställda som föredrar solsemester, S, ligger alltså mellan 47 % och ≤ 66 %. Därför är svarsalternativ C korrekt.

I en undersökning har man skickat ut enkäter till

1004

personer. Enkäten innehåller en enda fråga som besvaras med ja eller nej. Efter första utskicket får man in

436

ja och

308

nej. Av bortfallet kontaktades

43

personer på nytt och av dessa svarade

45 %

ja. Uppskatta hur stor andel som svarade ja om vi antar att urvalet i bortfallet var representativt. Avrunda till hela procent.

I bortfallsgruppen ingick 1 004 - 744 = 260 personer. Från uppgiften vet vi att 45 % av bortfallet svarade ja och att urvalet på 43 personer var representativt för hela bortfallet. Vi kan alltså anta att om hela bortfallet hade svarat så hade 260 * 0,45 = 117 personer från denna grupp troligen svarat ja. Vi lägger till dessa till 436 och delar med det totala antalet i stickprovet för att uppskatta andelen som svarade ja.

Andelen ja borde alltså vara ca 55 %.

Med nedanstående formel kan man bestämma felmarginalen

f

i decimalform för ett obundet slumpmässigt urval på konfidensnivån

95 % :

f = 1, 96 \cdot \frac{p ( 1 - p )}{n} .

n

anger stickprovsstorleken och

p

är den procentuella andelen av stickprovet, i decimalform, som svarat på ett visst sätt. Felmarginalen anger då en uppskattning av hur det ser ut i hela populationen.

En undersökning kan besvaras med ja och nej. Man har valt ut ett stickprov på

10000

där

45 %

svarade ja. Beräkna felmarginalen för andelen ja för populationen. Svara i procent.

Bestäm stickprovets storlek om felmarginalen är

5 %

och det var

45 %

av stickprovet som svarat ja.

Vi sätter in p=0,45 och n=10 000 i formeln och förenklar högerledet så långt det går.

Felmarginalen är alltså ± 1 %.

Vi sätter in f=0,05 och p=0,45 i formeln. Istället för att förenkla högerledet löser vi ut n.

Antalet personer kan endast vara heltal så vi avrundar till 380. Stickprovet var alltså 380 st.

I en undersökning svarade ett antal människor på frågan vilken glassmak de föredrar: choklad, jordgubb eller vanilj. Resultatet visade att

34 %

föredrog choklad och

25 %

jordgubb, med en felmarginal på

7

procentenheter för choklad och

6

procentenheter för jordgubb. Mellan vilka procentsatser kan andelen som föredrar vanilj ligga?

Vi vet att felmarginalen för andelen som fördrar chokladglass är 7 procentenheter, vilket ger att den verkliga andelen kommer att ligga någonstans mellan 34 % ± 7 %, dvs. mellan 27 % och 41 %. På samma sätt vet vi att den verkliga andelen för jordgubbsglass är 25 % ± 6 %, vilket ger intervallet 19 % till 31 %. Den minsta andelen för vaniljglass fås när andelarna för choklad och jordgubb är så stora som möjligt, och då blir det kvar 100 % - 41 % - 31 % = 28 %. Den största andelen får vi när andelarna för de andra två är så små som möjligt: 100 % - 27 % - 19 % = 54 %. Andelen som föredrar vaniljglass ligger alltså någonstans mellan 28 % och 54 %.

Felkällor i undersökningar

Mathleaks

Förkunskaper

Felkällor - statistik

Urvalsfel

Bortfall

Mätfel

Vilka felkällor kan finnas i undersökningen?

Svar

Ledtråd

Lösning