Varför ligger två punkter med samma yy-värde lika långt från symmetrilinjen?

För en andragradskurva gäller det att två punkter med samma yy-värde alltid befinner sig lika långt från funktionens symmetrilinje.

För att motivera det kan man använda egenskapen att andragradskurvor är spegelsymmetriska kring sin symmetrilinje. Om man tänker sig att man speglar en punkt i symmetrilinjen kommer den avbildas på andra sidan på lika långt från linjen i xx-led, och på samma höjd i yy-led. Därför gäller även det omvända: punkter på samma yy-värde ligger lika långt ifrån symmetrilinjen.

pqpq-formeln

Denna princip utnyttjas även för att hitta nollställena till en andragradsfunktion f(x)=x2+px+q,f(x)=x^2+px+q, dvs. lösningen till ekvationen x2+px+q=0,x^2+px+q=0, med pqpq-formeln: x=-p2±(p2)2q. x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}. Symmetrilinjen till f(x)f(x) ges av pqpq-formelns första term, x=-p2.x=\text{-} \frac{p}{2}. Principen bakom pqpq-formeln är att, precis som ovan, hitta de punkter som ligger på samma avstånd från symmetrilinjen och har samma yy-värde, i det här fallet 00.

Man är alltså ute efter kurvans nollställen, och dem hittar man genom att addera respektive subtrahera kvadratroten ur diskriminanten från symmetrilinjen.