Bråk

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Bråk

Bråk är uttryck skrivna på formen ab\frac{a}{b}, alltså på samma sätt som en division. De används ofta för att beskriva andelar av en helhet, t.ex. "en fjärdedel" eller "tre halvor."

13 \dfrac{1}{3} == En tredjedel
25 \dfrac{2}{5} == Två femtedelar
57 \dfrac{5}{7} == Fem sjundedelar
72 \dfrac{7}{2} == Sju halvor

Talet ovanför bråkstrecket kallas täljare och talet nedanför kallas nämnare. Nämnaren anger antalet delar som utgör en hel och täljaren anger hur många sådana delar man har.

Nämnaren kan aldrig vara 00 eftersom det är förbjudet att dividera med 00, oavsett vad täljaren är.
Regel

Förlänga bråk

När man förlänger ett bråk innebär det att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Även om täljaren och nämnaren förändras kommer inte bråkets värde att förändras eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.

ab=akbk\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}

För att visa att värdet av ett bråk är samma efter att man förlängt det kan man t.ex. tänka sig en pizza som delats i 33 lika stora delar, där man ska äta 11 av bitarna.

Förläng med 2

Återställ

Man kan se att 13\frac{1}{3} av pizzan är lika mycket som 26\frac{2}{6} eller 412\frac{4}{12} av pizzan. Eftersom dessa tre bråktal representerar samma mängd pizza betyder det också att de är lika stora.
Uppgift

Förläng 34\dfrac{3}{4} med 3.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Förkorta bråk

När man förkortar bråk divideras täljare och nämnare med samma tal. Täljaren och nämnaren förändras men det gör inte bråkets värde eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.

ab=a/kb/k\dfrac{a}{b}=\dfrac{a/k}{b/k}

För att visa att värdet av ett bråk är samma efter att det förkortats kan man t.ex. tänka sig en pizza som delats i 1212 lika stora bitar, där man ska äta 88 av dessa.

Förkorta med 2

Återställ

Man kan se att 812\frac{8}{12} av pizzan är lika mycket som 46\frac{4}{6} eller 23\frac{2}{3} av pizzan. Eftersom dessa tre bråktal representerar samma mängd pizza innebär det att de är lika stora. Detta är ett exempel på när man förkortar bråk med 2.2. Till skillnad från när man förlänger ett bråk kan man inte förkorta hur många gånger som helst. För att förkorta ett bråk måste man kunna bryta ut en gemensam faktor från både täljare och nämnare. Kan man inte det säger man att bråket står på sin enklaste form. Exempelvis står 23\frac{2}{3} på enklaste form.
Uppgift

Fökorta 864\dfrac{8}{64} så långt som möjligt.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Gemensam nämnare

Om man har två eller flera bråk med olika nämnare kan man, genom att förlänga eller förkorta, se till att bråkens nämnare blir likadana. Man säger att de har fått gemensam nämnare. Detta är viktigt t.ex. när man adderar och subtraherar bråk. Som exempel kan bråken 13\frac{1}{3} och 12\frac{1}{2} skrivas om med nämnaren 66 genom att man förlänger det första bråket med 22 och det andra med 3.3. 1232=26och1323=36 \dfrac{1\cdot2}{3\cdot2}=\dfrac{2}{6}\qquad\text{och}\qquad\dfrac{1\cdot3}{2\cdot3}=\dfrac{3}{6}

Notera att bråken förlängdes med varandras nämnare. Det är en metod som alltid fungerar för att hitta en gemensam nämnare. Bråken 13\frac{1}{3} och 12\frac{1}{2} har även andra gemensamma nämnare. Dessa kan hittas genom att man fortsätter förlänga bråken med tal som gör att nämnarna blir lika. Den minsta av de gemensamma nämnarna brukar kallas för minsta gemensamma nämnare (MGN).
Uppgift

Hitta den minsta gemensamma nämnaren till bråken 12,34och56. \dfrac{1}{2}, \quad \dfrac{3}{4} \quad \text{och} \quad \dfrac{5}{6} .

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förläng bråket 56\dfrac 5 6 så att:

a
Täljaren blir 30.30.
b
Nämnaren blir 30.30.
c
Hur långt kan ett bråk förlängas?
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Skriv 30210\dfrac {30}{210} på enklaste form.

b

Skriv 165550\dfrac {165}{550} på enklaste form.

c

Varför går det inte att förkorta bråk som står på enklaste form?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett halsband finns 6060 pärlor. En tredjedel av dem är röda. Av de övriga är hälften blå och den andra hälften är gula. Hur många pärlor finns det av varje färg?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det tar fem minuter att hugga 15 vedträn.


a

Hur lång tid tar det att hugga tre vedträn?

b

Hur många vedträn kan man hugga på en timme?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hitta minsta gemensamma nämnare för följande bråk.


a

14\dfrac{1}{4} och 114\dfrac{1}{14}

b

37\dfrac{3}{7} och 219\dfrac{2}{19}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hitta minsta gemensamma nämnare för följande bråk.


a

13\dfrac{1}{3}, 56\dfrac{5}{6} och 89\dfrac{8}{9}

b

13\dfrac{1}{3}, 45\dfrac{4}{5} och 87\dfrac{8}{7}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett alternativt sätt att skriva bråk där täljaren är större än nämnaren är blandad form som består av en heltalsdel och en bråktalsdel. T.ex. skrivs bråket 75\frac{7}{5} som 1251\frac{2}{5} på blandad form.

a

Är talet 108610\dfrac 8 6 skrivet på blandad form?

b

Är talet 43124\dfrac 3{12}skrivet på blandad form?

c

Skriv talen på bråkform.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

33 personer delar på 77 äpplen. Hur många äpplen får varje person?

b

44 päron delas mellan 66 personer. Hur många päron får varje person?

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren är en regelbunden sexhörning. De båda linjerna delar sexhörningen mitt itu. Hur stor del av sexhörningen är skuggad? Svara i bråkform.

Nationella provet VT12 1b
1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Antag att klockan är 99 på morgonen. Vad är då klockan 10001000 timmar senare?

Nationella provet HT16 1b/1c
1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skugga 38\dfrac{3}{8} av figuren.

Nationella provet VT05 MaA
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur stor andel av nedanstående figur är färgad?

Exercise429 1.svg

Ange andelen som ett bråk på sin enklaste form.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket av xx och yy är störst om du vet följande:


a

xy=21x-y=21

b

xy=0.5\dfrac{x}{y}=0.5

c

xy=-20xy=\text{-} 20

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket av följande bråk är störst? Motivera ditt svar utan att använda räknare. 713eller1526 \dfrac{7}{13} \quad \text{eller} \quad \dfrac{15}{26}

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange ett bråk som ligger mellan decimaltalen 0.350.35 och 0.39.0.39. Skriv bråket på sin enklaste form.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Står bråket 7598\dfrac{75}{98} på enklaste form? Motivera.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket bråk är störst av 910\dfrac{9}{10} och 1011\dfrac{10}{11}?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För att skapa minsta gemensamma nämnare mellan 1a,1b,och1c, \dfrac{1}{a}, \quad \dfrac{1}{b}, \quad \text{och} \quad \dfrac{1}{c}, måste vi förlänga det första bråket med 3, det andra bråket med 2 och det tredje med 7. Vilka är de minsta nämnarna a,b,a, b, och cc som uppfyller detta?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du ska beräkna 28456.74.2\dfrac{284}{56.7-4.2} på din räknare. Du får resultatet 0.81.0.81. Din kompis Hanna som saknar räknare säger att svaret är orimligt. Hur kan Hanna se det?

Nationella provet VT12 1a
2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv ett heltal i rutan så att bråket får ett värde mellan 22 och 3.3. 208 \dfrac{\fbox{\phantom{20}}}{8}

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a

x+aa+x\dfrac{x+a}{a+x}

b

y+yx+x+x+x\dfrac{y+y}{x+x+x+x}

c

-x(2a)ax2x\text{-} \dfrac{x(2-a)}{ax-2x}

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I nedanstående bråk representerar a,b,ca, \, b, \, c och dd olika primtalsfaktorer: a3b2cbca2. \dfrac{a^3\cdot b^2\cdot c}{b\cdot c \cdot a^2}.

a

På hur många sätt kan du förkorta bråket?

b

På hur många sätt kan du förlänga bråket?

c

Vad blir kvoten om a=-1a=\text{-} 1 och b=2b=2?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Maria och Tina har åkt till New York och ska shoppa på Fifth avenue. Båda har med sig exakt lika mycket fickpengar. När shoppingrundan är slut har Maria spenderat 54 $54\ \$ och Tina har spenderat 9 $9\ \$ . De räknar ut att Marias fickpengar i slutet av dagen är tre sjundedelar av Tinas. Hur mycket fickpengar har Tina kvar i slutet av dagen?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Går det att förkorta nedanstående bråk? Anta att variablernas värden är heltal och skilda från varandra.


a

x(c+d)c+d\dfrac{x(c+d)}{c+d}

b

3z+5y5y+3z\dfrac{3z+5-y}{5-y+3z}

c

3abb+2abb5ac\dfrac{3 \cdot a \cdot b \cdot b + 2 \cdot a\cdot b\cdot b}{5ac}

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

A=BB+1A=\dfrac{B}{B +1} där BB är ett positivt tal. Blir AA större eller mindre om BB dubbleras? Motivera ditt svar.

Nationella provet HT16 1a/1b/1c
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man kan inte dividera ett tal med noll. Det vill säga, a0\frac{a}{0} för något tal aa ger ett odefinierat värde (prova att dividera ett tal med noll på din miniräknare). Detta kan motiveras på många olika sätt. Vi undersöker några.


a

Motivera detta med ett exempel genom att tolka division som "antal gånger som nämnaren får plats i täljaren".

b

Motivera med ett exempel varför vi inte kan definiera division med noll som samma svar, t.ex. oändligheten (\infty).

c

Säg att vi visste att det fanns ett tal, kalla det bb, som är svaret på uträkningen a0.\frac{a}{0}. Motivera varför detta är orimligt.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}