Bestämma räta linjens ekvation algebraiskt

Man kan algebraiskt bestämma ekvationen för en rät linje på olika sätt. Beroende på vilken information man har är de olika metoderna olika lämpliga.

Två punkter

Med denna metod kan man bestämma ekvationen för en linje om man vet att linjen går genom två punkter, t.ex. (2,-1)och(7,19).\begin{aligned} (2,\text{-}1) \quad \text{och} \quad (7,19). \end{aligned}

Linjens kk-värde kan bestämmas med kk-formeln. Man kan exempelvis låta (2,-1)(2,\text{-}1) vara punkt 11 och (7,19)(7,19) vara punkt 2.

(2,-1)(7,19)x1,y1 x2,y2\begin{aligned} (2,\text{-}1) \quad \quad (7,19) \\ x_1,y_1 \quad \quad \ x_2,y_2 \end{aligned}

Därefter sätter man in koordinaterna i kk-formeln.

k=y2y1x2x1k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Sätt in (7,19)\left({\color{#0000FF}{7,19}}\right) & (2,-1)\left({\color{#009600}{2,\text{-}1}}\right)
k=19(-1)72k = \dfrac{{\color{#0000FF}{19}} - ({\color{#009600}{\text{-}1}})}{{\color{#0000FF}{7}} - {\color{#009600}{2}}}
a(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
k=19+172k = \dfrac{19 + 1}{7 - 2}
k=205k = \dfrac{20}{5}
k=4k = 4

När man har bestämt kk-värdet sätter man in det i kk-formen. I det här fallet får man y=4x+m. y = 4x + m. Med hjälp av en av de kända punkterna, t.ex. (7,19),(7,19), kan man nu bestämma m.m. Man sätter alltså in punktens koordinater och löser ut m.m.

y=4x+my = 4x + m
x=7x={\color{#0000FF}{7}}, y=19y={\color{#009600}{19}}
19=47+m{\color{#009600}{19}} = 4 \cdot {\color{#0000FF}{7}} + m
19=28+m19 = 28 + m
28+m=1928 + m = 19
m=-9m = \text{-}9

Nu vet man både kk- och mm-värdet, och då kan man ställa upp linjens ekvation. I det här fallet blir den y=4x9.\begin{aligned} y=4x-9. \end{aligned}

En punkt och lutningen

Om man vet lutningen för en linje och en punkt på linjen, t.ex. att lutningen är k=4k=4 och att linjen går igenom punkten (7,19),(7,19), kan man börja i steg 22 i metoden ovan. Oftast kan det dock gå snabbare att använda enpunktsformen.

Enpunktsformeln, yy1=k(xx1),\begin{aligned} y-y_1 = k(x-x_1), \end{aligned} är lämplig om man vet en punkt och en lutning. I det här fallet är de k=4,k=4, x1=7x_1=7 och y1=19y_1=19: y19=4(x7).\begin{aligned} y-19 = 4(x-7). \end{aligned}

Sedan löser man ut yy, och när man är klar med det har man ekvationen på formen y=kx+m.y=kx+m.

y19=4(x7)y-19 = 4(x-7)
Multiplicera in 4 4
y19=4x28y - 19 = 4x - 28
y=4x9y = 4x -9

Linjens ekvation är alltså y=4x9.y = 4x -9.