Bestäm gränsvärdet

x \to \infty lim \frac{9 x ^{2} - 4 5 x}{3 x ^{2} + 2 8 x} .

Det är alltid bra att börja med att bryta ut och förkorta bort $x$ om det går.

x \to \infty lim \frac{9 x ^{2} - 4 5 x}{3 x ^{2} + 2 8 x}

\DIF

x \to \infty lim \frac{x \cdot 9 x - x \cdot 4 5}{x \cdot 3 x + x \cdot 2 8}

\BU{x}

x \to \infty lim \frac{x ( 9 x - 4 5 )}{x ( 3 x + 2 8 )}

\Fork{x}

x \to \infty lim \frac{9 x - 4 5}{3 x + 2 8}

Här skulle vi kunna förkorta bort termen av högst grad, som i metoden "Bestämma gränsvärde när

x

går mot oändligheten", men vi kan också resonera oss fram. Vi visar det senare alternativet. Att

x

går mot oändligheten betyder att

x

blir större och större. För exempelvis

x = 1000000000

blir funktionsvärdet för det rationella uttrycket

\frac{9 x - 4 5}{3 x + 2 8}

\frac{9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 4 5}{3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 2 8} .

Konstanterna

45

och

28

kommer att blir mycket små i jämförelse med

x

-termernas värden. Man brukar säga att

x

-termerna är dominerande i jämförelse med konstanttermerna som blir försumbara, dvs. vi kan bortse från dem då vi bestämmer gränsvärdet:

x \to \infty lim \frac{9 x - 4 5}{3 x + 2 8} = x \to \infty lim \frac{9 x}{3 x} .

Gränsvärdet blir alltså detsamma ändå. Nu kan vi bestämma det genom att återigen förkorta bort

x .

x \to \infty lim \frac{9 x}{3 x}

\Fork{x}

x \to \infty lim \frac{9}{3}

\BK

x \to \infty lim 3

LimConst

$x \to a lim C = C$

3

Gränsvärdet för $\frac{9 x ^{2} - 4 5 x}{3 x ^{2} + 2 8 x}$ då $x$ går mot oändligheten är $3,$ dvs. funktionen $y = \frac{9 x ^{2} - 4 5 x}{3 x ^{2} + 2 8 x}$ kommer att komma närmare och närmare $3$ när $x$ blir större och större.

@@ Rad 1: / Rad 1: @@
-<ebox title="<translate>Bestäm gränsvärde med dominerande termer</translate>" labletitle="Exempel">
+<ebox title="<translate><!--T:1-->
-<translate>Bestäm gränsvärdet</translate>
+Bestäm gränsvärde med dominerande termer</translate>" labletitle="Exempel">
+<translate><!--T:2-->
+Bestäm gränsvärdet</translate>
 \[
 \lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x^2-45x}{3x^2+28x}.
 \]
 <line/>
-<translate>Det är alltid bra att börja med att [[Bryta ut *Wordlist*|bryta ut]] och förkorta bort $x$ om det går.</translate>
+<translate><!--T:3-->
+Det är alltid bra att börja med att [[Bryta ut *Wordlist*|bryta ut]] och förkorta bort $x$ om det går.</translate>
 <deduct>
@@ Rad 17: / Rad 20: @@
 </deduct>
-<translate>Här skulle vi kunna förkorta bort termen av högst grad, som i metoden "[[Bestämma gränsvärde när x går mot oändligheten *Method*|Bestämma gränsvärde när $x$ går mot oändligheten]]", men vi kan också resonera oss fram. Vi visar det senare alternativet. Att $x$ går mot [[Oändligheten *Wordlist*|oändligheten]] betyder att $x$ blir större och större. För exempelvis $x=1\,000\,000\,000$ blir [[Funktionsvärde *Wordlist*|funktionsvärdet]] för det rationella uttrycket $\frac{9x-45}{3x+28}$</translate>
+<translate><!--T:4-->
+Här skulle vi kunna förkorta bort termen av högst grad, som i metoden "[[Bestämma gränsvärde när x går mot oändligheten *Method*|Bestämma gränsvärde när $x$ går mot oändligheten]]", men vi kan också resonera oss fram. Vi visar det senare alternativet. Att $x$ går mot [[Oändligheten *Wordlist*|oändligheten]] betyder att $x$ blir större och större. För exempelvis $x=1\,000\,000\,000$ blir [[Funktionsvärde *Wordlist*|funktionsvärdet]] för det rationella uttrycket $\frac{9x-45}{3x+28}$</translate>
 \[
 \dfrac{9\,000\,000\,000-45}{3\,000\,000\,000+28}.
 \]
-<translate>[[Konstant *Wordlist*|Konstanterna]] $45$ och $28$ kommer att blir mycket små i jämförelse med $x$-termernas värden. Man brukar säga att $x$-termerna är '''dominerande''' i jämförelse med konstanttermerna som blir ''försumbara'', dvs. vi kan bortse från dem då vi bestämmer [[Gränsvärde *Wordlist*|gränsvärdet]]:</translate>
+<translate><!--T:5-->
+[[Konstant *Wordlist*|Konstanterna]] $45$ och $28$ kommer att blir mycket små i jämförelse med $x$-termernas värden. Man brukar säga att $x$-termerna är '''dominerande''' i jämförelse med konstanttermerna som blir ''försumbara'', dvs. vi kan bortse från dem då vi bestämmer [[Gränsvärde *Wordlist*|gränsvärdet]]:</translate>
 \[
 \lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x-45}{3x+28} \ = \ \lim \limits_{x \to \infty} \ \dfrac{9x}{3x}.
 \]
-<translate>Gränsvärdet blir alltså detsamma ändå. Nu kan vi bestämma det genom att återigen förkorta bort $x.$</translate>
+<translate><!--T:6-->
+Gränsvärdet blir alltså detsamma ändå. Nu kan vi bestämma det genom att återigen förkorta bort $x.$</translate>
 <deduct>
@@ Rad 37: / Rad 43: @@
 </deduct>
-<translate>Gränsvärdet för $\frac{9x^2-45x}{3x^2+28x}$ då $x$ går mot oändligheten är $3,$ dvs. funktionen $y=\frac{9x^2-45x}{3x^2+28x}$ kommer att komma närmare och närmare $3$ när $x$ blir större och större.</translate>
+<translate><!--T:7-->
+Gränsvärdet för $\frac{9x^2-45x}{3x^2+28x}$ då $x$ går mot oändligheten är $3,$ dvs. funktionen $y=\frac{9x^2-45x}{3x^2+28x}$ kommer att komma närmare och närmare $3$ när $x$ blir större och större.</translate>
 </ebox>

{{ article.displayTitle }}

Versionen från 26 december 2017 kl. 13.02

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}