En exponentialfunktion som står på formen

f (x) = a^{x}

har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet

e

, dvs. ungefär

2.72 .

Då är derivatan och funktionen samma för alla

x .

Den blå grafen visar funktionen

f (x) = a^{x}

medan den röda visar derivatan

f^{'} (x) .

Väljer man basen

a

till

e

ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.

Derivera exponentialfunktioner med bas $e$

fullscreen

Derivera $f (x) = e^{x}$ och $g (x) = e^{6 x} .$

Visa Lösning

Eftersom derivatan av

e^{x}

alltid är sin egen derivata är alltså

f^{'} (x) = e^{x} .

Funktionen

g (x) = e^{6 x}

är på formen

e^{k x}

och eftersom

D (e^{k x}) = k e^{k x}

multiplicerar vi funktionen med koefficienten

6

för att få derivatan:

g^{'} (x) = 6 e^{6 x} .

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

fullscreen

Derivera $f (x) = 5^{x}$ och $g (x) = 5^{2 x} .$

Visa Lösning

Vi börjar med att derivera

f (x) = 5^{x},

och använder då regeln

D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)

. Vi multiplicerar alltså funktionen med naturliga logaritmen av basen

5 .

Derivatan blir då

f^{'} (x) = 5^{x} \cdot ln (5) .

Funktionen

g (x) = 5^{2 x}

skiljer sig från

f (x)

genom att

x

har koefficienten

2 .

Vi använder därför deriveringsregeln

D (a^{k x}) = a^{k x} \cdot k \cdot ln (a)

och multiplicerar funktionen med både

2

och

ln (5)

:

g^{'} (x) = 5^{2 x} \cdot 2 \cdot ln (5) .

@@ Rad 3: / Rad 3: @@
 </wbox>
 <bblock page="Derivatan av e^x *Rules*"/>
-<bblock page="Derivatan av e^kx *Rules*"/>
+<bblock page="Derivatan av e^kx *Rules*" exltags="t1"/>
 <bblock page="Skills:Derivera exponentialfunktioner med bas e"/>
 <bblock page="Derivatan av a^x *Rules*"/>
-<bblock page="Derivatan av a^kx *Rules*"/>
+<bblock page="Derivatan av a^kx *Rules*" exltags="t1"/>
 <bblock page="Skills:Derivera exponentialfunktioner med generell bas"/>
 [[Kategori:Chapter:Regler för derivator]]

{{ article.displayTitle }}

Versionen från 20 september 2018 kl. 10.07

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med bas $e$

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med generell bas

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}