{{ tocSubheader }}
| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Jrhoads (Diskussion | bidrag) (Den här versionen är märkt för översättning) | TemplateBot (Diskussion | bidrag) | ||
Rad 14: | Rad 14: | ||
För att bevisa formeln skapar vi en till ekvation där ovanstående ekvation har multiplicerats med faktorn $k.$ Man får då följande två ekvationer:</translate> | För att bevisa formeln skapar vi en till ekvation där ovanstående ekvation har multiplicerats med faktorn $k.$ Man får då följande två ekvationer:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
− | \StackEqII{\ \quad s_n=\ \ a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \ | + | \StackEqII{\ \quad s_n=\ \ a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \t k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n}} |
\] | \] | ||
<translate><!--T:5--> | <translate><!--T:5--> | ||
Jämför man dessa inser man att alla termer i summornas högerled är gemensamma '''förutom''' $a$ och $ak^{n}$ som endast finns i ekvation (I) respektive ekvation (II). Dessa gemensamma termer har nedanför markerats som gröna:</translate> | Jämför man dessa inser man att alla termer i summornas högerled är gemensamma '''förutom''' $a$ och $ak^{n}$ som endast finns i ekvation (I) respektive ekvation (II). Dessa gemensamma termer har nedanför markerats som gröna:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
− | \StackEqIIb{\ \quad s_n=a+\colII{ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}}{s_n \ | + | \StackEqIIb{\ \quad s_n=a+\colII{ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}}{s_n \t k=\quad \ \ \ \colII{ak+ak^2+ak^3+ \ldots } \quad +ak^{n}.} |
\] | \] | ||
<translate><!--T:6--> | <translate><!--T:6--> | ||
Rad 25: | Rad 25: | ||
<deduct mathmode=0> | <deduct mathmode=0> | ||
− | <ka>\StackEqII{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \ | + | <ka>\StackEqII{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \t k=ak+ak^2+ak^3+ \ldots +ak^{n}}</ka> |
− | \II \ | + | \II \SysEqnSub{(I)} |
− | <ka>\StackEqIIb{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \ | + | <ka>\StackEqIIb{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \t k-\col{s_n}=ak+ak^2+ak^3 \ldots +ak^{n}-\col{(a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1})}}</ka> |
\II \FT | \II \FT | ||
− | <ka>\StackEqIIb{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \ | + | <ka>\StackEqIIb{s_n=a+ak+ak^2+ \ldots +ak^{n-1}}{s_n \t k-s_n=ak^n-a}</ka> |
</deduct> | </deduct> | ||
Rad 36: | Rad 36: | ||
<deduct> | <deduct> | ||
− | s_n \ | + | s_n \t k-s_n=ak^n-a |
− | \ | + | \FactorOut{s_n} |
s_n(k-1)=ak^n-a | s_n(k-1)=ak^n-a | ||
− | \ | + | \DivEqn{(k-1)} |
s_n=\dfrac{ak^n-a}{k-1} | s_n=\dfrac{ak^n-a}{k-1} | ||
− | \ | + | \FactorOut{a} |
s_n=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1} | s_n=\dfrac{a(k^n-1)}{k-1} | ||
</deduct> | </deduct> |
Formeln för att bestämma en geometrisk summa kan skrivas som nedan, där k=1.
a+ak+ak2+…+akn−1=k−1a(kn−1)
(II): Subtrahera (I)
(II): \FT
Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut sn.
Bryt ut sn
VL/(k−1)=HL/(k−1)
Bryt ut a