{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:
- Vinkel
- Hel Vinkel
- Rak Vinkel
- Rät Vinkel
- Spetsig Vinkel
- Trubbig Vinkel
- Gradskiva
- Mäta en vinkel
- Sidovinklar
- Vertikalvinklar
Förkunskaper
Utforska
Klara, färdiga, gå!
Många tränare använder stoppur för att utvärdera en idrottares prestation. När startknappen trycks ned så börjar sekundvisaren att rotera och bildar då en vinkel mot sin startposition. En rotation kan mätas i grader. Ett helt varv motsvarar 360∘, alltså 360 grader. Notera att ett helt varv av sekundvisaren innebär att en minut har gått.
Olika vinklar bildas när sekundvisaren roterar. Om man skulle dela in vinklar i olika grupper baserat på hur stora de är, vilka namn skulle då grupperna kunna få?
Teori
Vinklar
För att beskriva en vridning kan vi använda oss av en vinkel. En vinkel skapas genom två strålar som möts i en punkt, som kallas vinkelspetsen. Dessa strålar kallas för vinkelben. Storleken på vridningen mäts i grader och bestämmer hur stor vinkeln är.
Det finns flera olika typer av vinklar beroende på deras mått. 
- Spetsig vinkel: är en vinkel som är större än 0∘ men mindre än 90∘. Till exempel, en vinkel på 45∘ är en spetsig vinkel.
- Rät vinkel: är en vinkel vars värde är exakt 90∘. En rät vinkel markeras ofta med en hake.
- Trubbig vinkel: är en vinkel som är större än 90∘ men mindre än 180∘. Till exempel, en vinkel på 135∘ är en trubbig vinkel.
- Rak vinkel: är en vinkel vars värde är exakt 180∘.
Exempel
Sista lektionstimmen
Elias kollar på klockan i början av sin sista lektion. Den är elva.
a När Elias kollar på klockan igen är den 11.15. Hur många grader har minutvisaren roterat sedan Elias först tittade på klockan?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["90"]}}
b Några minuter senare tittar Elias på klockan igen. Den är nu 11.45. Hur många grader har minutvisaren roterat sedan Elias senast kollade klockan?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["180"]}}
Ledtråd
a Klockan 11.15 pekar minutvisaren på 3.
b Klockan 11.45 pekar minutvisaren på 9.
Lösning
a I början av lektionen pekade minutvisaren på 12. Nu är klockan 11.15 och då pekar minutvisaren på 3.
Minutvisarens ursprungliga position bildar en rät vinkel med dess slutposition. Detta innebär att minutvisaren roterade 90∘ sedan lektionens början.
Svar: 90∘.
b Sista gången Elias kollade på klockan var den 11.15, då minutvisaren pekade på 3. Nu är klockan 11.45 och minutvisaren pekar på 9.
Minutvisarens ursprungliga position bildar en rak vinkel med sin slutliga position. Detta innebär att minutvisaren har roterat 180∘ sedan Elias senast såg på klockan.
Svar: 180∘.
Exempel
Olika tidszoner
Vid varje tidpunkt på dagen kan tiderna i olika länder vara mycket olika. Till exempel, när klockan är 13.00 i Paris är den 7.00 i New York. Studera följande diagram som visar olika klockor.
{"type":"sort","form":{"alts":[{"id":0,"text":"Paris"},{"id":1,"text":"Kairo"},{"id":2,"text":"Sydney"},{"id":3,"text":"Los Angeles"},{"id":4,"text":"New York"},{"id":5,"text":"Bogot\u00e1"}]},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,1,2,3,4,5]}
Ledtråd
Jämför vinklarna genom att använda antalet timmar som varje vinkel täcker.
Lösning
Observera att värdet av vinklarna inte står utskrivet. Däremot kan typerna av vinklar identifieras.
| Klocka | Vinkeltyp | Värde |
|---|---|---|
| New York | Trubbig vinkel | Mellan 90∘ och 180∘ |
| Los Angeles | Trubbig vinkel | Mellan 90∘ och 180∘ |
| Bogotá | Rak vinkel | Exakt 180∘ |
| Paris | Spetsig vinkel | Mellan 0∘ och 90∘ |
| Sydney | Rät vinkel | Exakt 90∘ |
| Kairo | Spetsig vinkel | Mellan 0∘ och 90∘ |
De spetsiga vinklarna ska vara överst på listan, sedan den räta vinkeln, sedan de trubbiga vinklarna och slutligen den raka vinkeln.
| Lista | |
|---|---|
| Paris eller Kairo | Spetsig vinkel |
| Sydney | Rät vinkel |
| New York eller Los Angeles | Trubbig vinkel |
| Bogotá | Rak vinkel |
Observera att det finns två spetsiga och två trubbiga vinklar. För att avgöra vilka av de klockorna som ska skrivas överst så kan antalet timmar som täcks av varje vinkel jämföras. Börja med att färglägga den del av klockan som täcks av varje vinkel.
Vinkeln på klockan i New York sträcker sig över 5 timmar. Vinkeln på klockan i Los Angeles sträcker sig över 4 timmar. Detta indikerar att vinkeln på klockan i New York är större. På samma sätt sträcker sig vinkeln på klockan i Paris över 1 timme medan vinkeln på klockan i Kairo sträcker sig över 2 timmar. Därför är vinkeln på klockan i Paris mindre.
| Ordnad lista | |
|---|---|
| Stad | Antal täckta timmar |
| Paris | 1 |
| Kairo | 2 |
| Sydney | 3 |
| Los Angeles | 4 |
| New York | 5 |
| Bogotá | 6 |
Svar: Paris, Kairo, Sydney, Los Angeles, New York, Bogotá.
Övning
Vinklar på en urtavla
När tiden går bildar visarna på en klocka olika vinklar. Dela in de angivna vinklarna i rätt kategorier genom att uppskatta deras storlekar.
Teori
Gradskiva
En gradskiva är ett verktyg som används för att mäta och rita vinklar. Gradskivan består av en halv cirkel och en rak kant. Den rundade delen är markerad i grader från 0∘ till 180∘. Denna mätskala används för att beskriva storleken av vinklar.
Teori
Mätning av en vinkel med en gradskiva
Gradskivan är ett användbart verktyg för att mäta vinklar noggrant, vilket ofta är viktigt när man ska lösa olika geometriska problem.
1
Anpassa gradskivans mittmarkering och baslinje
expand_more Placera gradskivan så att vinkelspetsen hamnar precis vid mittmarkeringen. Vrid sedan gradskivan så att baslinjen ligger längs med ett av vinkelbenen.
2
Läs av värdet
expand_more Notera riktningen som vinkeln är orienterad, antingen medurs eller moturs. I detta exempel ska vinkeln mätas moturs, med den inre skalan, eftersom vinkelbenet som hamnar på nollmarkeringen är på höger sida av gradskivan.
Läs sedan av vinkeln på gradskivan där det andra vinkelbenet korsar den inre skalan. I det här fallet hamnar det andra vinkelbenet på 145 på den inre skalan, vilket betyder att vinkeln är 145∘.
Observera att om gradskivan i stället placeras så att det andra vinkelbenet ligger längs med baslinjen så ska vinkeln mätas medurs, dvs. med den yttre skalan. Resultatet blir detsamma oavsett hur man mäter.
Övning
Mäta vinklar med en gradskiva
Mät hur stor vinkeln är med hjälp av en gradskiva. För enkelhetens skull är alla vinklar multiplar av 5. I detta specifika fall kommer räta vinklar inte att ritas med en hake utan med runda vinkelbågar.
Extra
Hur man använder applikationen- Gradskivan kan flyttas genom att klicka och dra i den röda triangeln.
- Gradskivan kan roteras genom att dra i den blå pricken på vänster sida.
Teori
Sidovinklar och vertikalvinklar
När två vinklar ligger sida vid sida längs en rät linje och delar en gemensam vinkelben, kallas de för sidovinklar. Deras summa är alltid 180∘, vilket kan kontrolleras i följande applet.
När två linjer skär varandra bildas fyra vinklar. De vinklar som står mitt emot varandra kallas för vertikalvinklar. En viktig egenskap hos vertikalvinklar är att de alltid är lika stora. Följande applet illustrerar denna egenskap. 
Exempel
Vinklar som bildas av tre korsande linjer
I följande diagram finns tre skärande linjer och åtta vinklar markerade.
a Para ihop vertikalvinklarna.
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">b<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">c<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":3,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">d<\/span><\/span><\/span><\/span>"}],[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8888799999999999em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">e<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">g<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":3,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">h<\/span><\/span><\/span><\/span>"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2,3],[0,1,2,3]]}
b Vilka av följande par av vinklar är sidovinklar?
{"type":"multichoice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><\/span><\/span><\/span> och <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">g<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><\/span><\/span><\/span> och <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">c<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">c<\/span><\/span><\/span><\/span> och <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">g<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><\/span><\/span><\/span> och <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">b<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">e<\/span><\/span><\/span><\/span> och <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">h<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,1,4]}
Ledtråd
a Två vinklar kallas för vertikala vinklar om de ligger på motsatta sidor av korsningen mellan två linjer eller sträckor.
b Två sidovinklar är ett par av vinklar som har samma vinkelspelet, delar ett vinkelben, inte överlappar och vars mått adderar upp till 180∘.
Lösning
a Kom ihåg att två vinklar kallas för vertikala vinklar om de ligger på motsatta sidor av korsningen mellan två linjer eller sträckor. I den givna bilden finns det fyra vinklar vid varje korsning.
Svar: a och f, c och g, b och e, d och h.
b Det finns fyra krav för att två vinklar ska vara sidovinklar.
- Deras mått måste adderas upp till 180∘.
- De måste ha samma vinkelspets.
- De måste dela ett vinkelben.
- De får inte överlappa varandra.
Notera att om två vinklar tillsammans bildar en rak linje så måste deras mått adderas upp till 180∘. Eftersom inga av vinklarna i bilden överlappar varandra så kan det fjärde villkoret ignoreras. Med allt detta i åtanke så kan de givna paren av vinklar undersökas.
| a och b | a och c | a och g | c och g | e och h | |
|---|---|---|---|---|---|
| Supplementvinklar? | Oka¨nt | Ja, de bildar en rak linje | Ja, de bildar en rak linje | Oka¨nt | Ja, de bildar en rak linje |
| Delar vinkelspets? | Nej | Ja | Ja | Ja | Ja |
| Delar ett vinkelben? | Nej | Ja | Ja | Nej | Ja |
a och ba och ca och gc och ge och h
Notera att från deluppgift A så vet vi att är c och g är vertikala vinklar. Det innebär att de inte kan vara sidovinklar också.
Svar: a och c, a och g, e och h.
Exempel
Vinklar vid vägskälet
Vissa vinklar är markerade där de blå och gröna tunnelbanelinjerna korsar varandra.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["140"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">b<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.674115em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span><\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.674115em;\"><span style=\"top:-3.063em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\"><span class=\"mspace mtight\" style=\"margin-right:0.19516666666666668em;\"><\/span><span class=\"mord mtight\">\u2218<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","answer":{"text":["40"]}}
Ledtråd
Vinkeln 40∘ och a bildar tillsammans en rät linje. Dessutom är vinkeln 40∘ och b motstående vinklar som bildas av korsningen mellan de blå och gröna tunnelbanelinjerna.
Lösning
Observera att vinkeln 40∘ och a tillsammans bildar en rak linje — de har samma vinkelspets, de delar en sida, och de överlappar inte. Dessa egenskaper innebär att de två vinklarna är sidovinklar, vilket betyder att deras vinklar tillsammans blir 180∘.
a+40∘=180∘⇓a=140∘
Dessutom är vinkeln 40∘ och b motstående vinklar bildade av korsningen mellan de blå och gröna tunnelbanelinjerna. Detta innebär att dessa vinklar är vertikala vinklar och, eftersom vertikala vinklar alltid har samma mått, mäter b 40∘.
b=40∘
Svar: a=140∘ och b=40∘.
Övning
Beräkna värdet av x i vinkeln
För var och en av de givna vinklarna, beräkna värdet av x.
Laddar innehåll