Uppgift 4 Sida 178

Accelerationen a m/s^2 för ett tåg under en kort tidsperiod kan beskrivas av funktionen a(t) = 4t+3, där t är tiden i sekunder. Vi vill bestämma funktionen s(t) som beskriver tågets position under tidsperioden. Vi vet också tågets hastighet v(t) och positionen s(t) vid t = 0. v(0) = 6m/s s(0) = 50m Accelerationen är derivatan av hastigheten. Därför kan vi hitta funktionen v(t) som beskriver tågets hastighet genom att hitta primitivfunktionen av accelerationsfunktionen a(t). Låt oss göra det! a(t) = 4t + 3Notera att D(2t^2) = 4t och D(3t) = 3. a(t) = D(2t^2) + D(3t) Detta talar om för oss att primitivfunktionen av a(t) är 2t^2 + 3t + C, där C är en godtycklig konstant. Primitivfunktionen av acceleration är hastighet, så v(t) = 2t^2+3t+C. v(t)= 2t^2+3t+C För att hitta värdet på C kan vi sätta in det kända värdet v(0) = 6 i denna ekvation.

v(t)= 2t^2+3t+C

Substitute

t= 0

v( 0) = 2( 0)^2+3( 0)+C

Substitute

v(0)= 6

6 = 2(0)^2+3(0)+C

▼

Förenkla

CalcPow

Beräkna potens

6 = 2(0) + 3(0) + C

Multiplikation med noll

6 = 0+0+C

AddTerms

Addera termerna

6 = C

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

C = 6

Funktionen v(t) som beskriver tågets hastighet under den givna tidsperioden är v(t) = 2t^2+3t+6. Hastigheten är derivatan av positionen, så vi kan hitta funktionen som beskriver tågets position genom att hitta primitivfunktionen av hastighetsfunktionen. v(t) = 2t^2+3t+6 Vi vet att D( 23t^3) = 2t^2, D( 32t^2) = 3t och D(6t) = 6. v(t) = D( 23t^3)+D( 32t^2)+D(6t) Då är primitivfunktionen av v(t) 23t^3+ 32t^2+6t+C, där C är en godtycklig konstant. ∫ v(t) dt = frac23t^3+ 32t^2+6t+C Detta innebär att s(t) är lika med 23t^3+ 32t^2+6t+C. För att hitta värdet på C kan vi använda det faktum att s(0) = 50.

s(t) = 2/3t^3+3/2t^2+6t+C

Substitute

t= 0

s( 0) = 2/3( 0)^3+3/2( 0)^2+6( 0)+C

Substitute

s(0)= 50

50 = 2/3(0)^3+3/2(0)^2+6(0)+C

▼

Förenkla

CalcPow

Beräkna potens

50 = 2/3(0)+3/2(0)+6(0)+C

Multiplikation med noll

50 = 0+0+0+C

AddTerms

Addera termerna

50 = C

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

C = 50

Funktionen s(t) som beskriver tågets position under tidsperioden är s(t) = 23t^3+ 32t^2+6t+50.