{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
Läromedel computer
Kalkylator videogame_asset
Avsnitt layers
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
Inget resultat
dehaze

Formeln för en aritmetisk summa

Vi har en aritmetisk talföljd a1, a2, a3, , an2, an1, ana_1, \ a_2,\ a_3,\ \ldots, \ a_{n-2},\ a_{n-1}, \ a_n och adderar alla dessa termer. Summan kallar vi SS: S=a1+a2+a3++an2+an1+an S = a_1 + a_2 + a_3+\ldots + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n Eftersom följden är aritmetisk så är steglängden konstant. Vi kan kalla den dd. Varje tal är alltså dd större än talet innan, och dd mindre än talet efter. Med hjälp av detta skriver vi om alla termer utom första och sista.

Element Omskrivet
a1 a_1 a1a_1
a2 a_2 a1+da_1+d
a3 a_3 a1+2da_1+2d
\vdots \vdots
an2 a_{n-2} an2da_n-2d
an1 a_{n-1} anda_n-d
an a_{n} ana_n

Vi använder dessa omskrivningar i vår summa: S=a1+(a1+d)+(a1+2d)++(an2d)+(and)+an. S = a_1 + \left( a_1+d \right)+ \left(a_1+2d \right) + \ldots + \left(a_n-2d \right) + \left(a_n-d \right) + a_n. Nu kan vi hitta ett uttryck för SS med ett litet knep. Vi vänder på hela summan och adderar sedan ekvationerna term för term. Termen med +d+d kommer då matchas med d-d, så de tar ut varandra. Samma sak händer för övriga termer.

Addera ekvationer
2S=(a1+an)+(a1+d+and)+(a1+2d+an2d)++(a1+an)2S = (a_1+a_n) + \left( a_1+d + a_n-d\right) + \left(a_1+2d +a_n-2d\right) + \ldots + (a_1+a_n)
2S=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)++(a1+an)2S = (a_1+a_n) + \left( a_1 + a_n\right) + \left(a_1 +a_n\right) + \ldots + (a_1+a_n)

Kom nu ihåg att summan hade nn termer från början, och vi har inte lagt till eller tagit bort några. Det finns alltså fortfarande nn termer i summan, och alltså har vi nn st par av a1+ana_1+a_n.

2S=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)++(a1+an)2S = (a_1+a_n) + \left( a_1 + a_n\right) + \left(a_1 +a_n\right) + \ldots + (a_1+a_n)
2S=n(a1+an)2S = n\left( a_1 + a_n\right)
S=n(a1+an)2S = \dfrac{n\left( a_1 + a_n\right)}2

Därifrån kommer formeln för en aritmetisk summa.

Q.E.D.