Bevis

Formeln för en aritmetisk summa

Vi har en aritmetisk talföljd

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n - 2}, a_{n - 1}, a_{n}

och adderar alla dessa termer. Summan kallar vi

S

S = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n}

Eftersom följden är aritmetisk så är steglängden konstant. Vi kan kalla den

d

. Varje tal är alltså

d

större än talet innan, och

d

mindre än talet efter. Med hjälp av detta skriver vi om alla termer utom första och sista.

Element	Omskrivet
$a_{1}$	$a_{1}$
$a_{2}$	$a_{1} + d$
$a_{3}$	$a_{1} + 2 d$
$⋮$	$⋮$
$a_{n - 2}$	$a_{n} - 2 d$
$a_{n - 1}$	$a_{n} - d$
$a_{n}$	$a_{n}$

Vi använder dessa omskrivningar i vår summa:

S = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + \dots + (a_{n} - 2 d) + (a_{n} - d) + a_{n} .

Nu kan vi hitta ett uttryck för

S

med ett litet knep. Vi vänder på hela summan och adderar sedan ekvationerna term för term. Termen med

+ d

kommer då matchas med

- d

, så de tar ut varandra. Samma sak händer för övriga termer.

{S = a_{1} + (a_{1} + d) + (a_{1} + 2 d) + \dots + (a_{n} - 2 d) + (a_{n} - d) + a_{n} S = a_{n} + (a_{n} - d) + (a_{n} - 2 d) + \dots + (a_{1} + 2 d) + (a_{1} + d) + a_{1}

Addera ekvationer

2 S = (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + d + a_{n} - d) + (a_{1} + 2 d + a_{n} - 2 d) + \dots + (a_{1} + a_{n})

SimpTerms

Förenkla termer

2 S = (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + \dots + (a_{1} + a_{n})

Kom nu ihåg att summan hade $n$ termer från början, och vi har inte lagt till eller tagit bort några. Det finns alltså fortfarande $n$ termer i summan, och alltså har vi $n$ st par av $a_{1} + a_{n}$ .

2 S = (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + \dots + (a_{1} + a_{n})

SimpTerms

Förenkla termer

2 S = n (a_{1} + a_{n})

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

S = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}

Därifrån kommer formeln för en aritmetisk summa.

Q.E.D.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}