Prioriteringsregler och avrundning

Teori

Prioriteringsregler

Om en beräkning innehåller flera räknesätt har man kommit överens om prioriteringsregler som styr vad man ska beräkna först. Uttrycket $1+4\cdot 2$ kan t.ex. beräknas till antingen $10$ eller $9$, beroende på om man adderar $1$ med $4$ först eller multiplicerar $4$ och $2$ först. För att veta vad man ska göra först använder man följande prioriteringsregler som brukar förkortas PEDMAS.

Man börjar alltså med att beräkna innehållet i parenteser, följt av tal med exponenter och så vidare. Uttrycket $1+4 \cdot 2$ är därför lika med $1+8=9.$

Exempel

Beräkna med prioriteringsreglerna

Uppgift

Beräkna värdet av $(20+4)/6-2\cdot2+4^2$ utan räknare.

Lösning

Enligt prioriteringsreglerna beräknas parenteser och exponenter först, så vi börjar med det.

$(20+4)/6-2\cdot2+4^2$

Beräkna $20+4$

$24/6-2\cdot2+4^2$

Beräkna potens

$24/6-2\cdot2+16$

Sedan beräknar vi division och multiplikation, och det spelar ingen roll i vilken ordning. Sist tar vi addition och subtraktion och inte heller där spelar ordningen någon roll.

$24/6-2\cdot2+16$

Beräkna kvot

$4-2\cdot2+16$

Multiplicera faktorer

$4-4+16$

Förenkla termer

$16$

Uttryckets värde är alltså 16.

Visa lösning Visa lösning

Digitala verktyg

Parenteser på räknare

Det är särskilt viktigt att tänka på prioriteringsreglerna när man skriver in uttryck på räknaren. Om man exempelvis ska beräkna värdet av uttrycket $\dfrac{100 + 50}{2 + 8}$ behöver man tänka på att skriva in parenteser runt täljaren och nämnaren, som på följande sätt.

Notera att ett bråkstreck på räknaren skrivs med knappen / . Om man skulle skriva in uttrycket utan parenteser kommer räknaren inte förstå att den först ska räkna ihop summan av täljaren och sedan dividera denna med summan av nämnaren. Istället skulle räknaren enligt prioriteringsreglerna addera $100$ till $50/2$ och sedan till $8,$ vilket ger ett annat resultat.

Detta är även något man måste tänka på när man skriver in potenser på räknaren. Om man t.ex. ska skriva $2^{3 \cdot 2}$ måste man sätta en parentes runt multiplikationen för att beräkningen ska ske på rätt sätt.

Skrivs detta utan parentesen beräknas först $2^3$ och resultatet multipliceras sedan med $2.$

Begrepp

Avrundning

Ibland vill man avrunda värden, t.ex. om resultatet har oändligt många decimaler som $0.08333\ldots$

Då är det smidigare att använda ett närliggande värde som 0.08. Det avrundade värdet kallas ibland för närmevärde och det är aldrig exakt, men det kan vara lättare att räkna med. Ett annat exempel är $\pi,$ som ofta avrundas till 3.14. Men det har oändligt många decimaler, så det går inte att använda exakt. Även räknare använder avrundade värden på $\pi$. För att undvika fel och förvirring finns det vissa avrundningsregler man följer.

Regel

Avrundningsregler

Siffran i ett tal som avrundas kallas avrundningssiffra och det är siffran efter avrundningssiffran som bestämmer om talet avrundas uppåt eller nedåt.

Är den $0$–$4$ behålls avrundningssiffran

Är den $5$–$9$ ökas avrundningssiffran med $1$

Om avrundningssiffran är 9 gäller det att se upp när man avrundar uppåt. Då ökas siffran vänster om avrundningssiffran med $1$ och avrundningssiffran ersätts med $0$.

Exempel

Avrunda talet

Uppgift

Avrunda $\frac{2}{3}$ till tre decimaler.

Lösning

Om man slår in $\frac{2}{3}$ på räknaren får man $\dfrac{2}{3}=0.666666\ldots$ Den tredje decimalen (avrundningssiffran) är $6,$ och decimalen efter är också en sexa. Därför avrundar vi uppåt till en sjua och decimalerna efter plockas bort: $\dfrac{2}{3}=0.66666\ldots\approx0.667.$

Visa lösning Visa lösning

Exempel

Gör en lämplig avrundning

Uppgift

Gör en lämplig avrundning för värdena i följande situationer.

• Regina tankar sin lastbil och kvittot visar att hon fyllde tanken med $687.24323$ liter diesel.
• Håkan ska baka $10$ limpor och omvandlar därför ett recept för $30$ limpor genom att dela måtten med $3.$ Han får då att han ska ha $3.666666\ldots$ liter vatten i degen.
• Titti ska ge en injektion stelkrampsvaccin och enligt instruktionerna ska dosen vara $0.00045$ liter.

Lösning

Exempel

Regina

När man tankar så mycket som Regina har gjort spelar förmodligen inte några hundradels liter så stor roll. Det kan därför vara lämpligt att avrunda till hela liter eller möjligen, om man vill vara lite mer exakt, till tiondels liter. Om vi väljer att avrunda till hela liter ser vi att den första decimalen är $2,$ vilket innebär att vi ska avrunda neråt till $687$ liter.

Exempel

Håkan

När det är frågan om flera liter vatten man ska ha i degen spelar några hundradelars liter inte så stor roll, men att avrunda till hela liter är nog lite väl ungefärligt. I det här fallet passar det då bäst att avrunda till tiondels liter, vilket man lätt kan mäta upp med ett decilitermått. Vi tittar alltså på den andra decimalen, som är $6,$ vilket innebär att vi ska avrunda uppåt till $3.7$ liter.

Exempel

Titti

När det gäller läkemedel är det väldigt viktigt med exakta mått eftersom det kan ha allvarliga konsekvenser om man ger en för stor eller för liten dos. I det här fallet bör Titti alltså ge exakt $0.00045$ liter, utan att avrunda.

Visa lösning Visa lösning