{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }} expand_more {{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}
{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}
{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}
{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Jrhoads (Diskussion | bidrag) | Jrhoads (Diskussion | bidrag) (Den här versionen är märkt för översättning) | ||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | =<translate>Varför är derivatan av $e^x$ lika med $e^x$?</translate>= | + | =<translate><!--T:1--> |
| − | <translate>En [[Exponentialfunktion *Wordlist*|exponentialfunktion]] $f(x)=a^x$ har i de flesta fall en [[Derivata *Wordlist*|derivata]] som inte är lika med [[Funktion *Wordlist*|funktionen]] själv. Det finns dock ett undantag, nämligen när [[Bas - potens *Wordlist*|basen]] i funktionsuttrycket är lika med talet [[Talet e *Wordlist*|$e.$]] Man kan visa att funktionen $f(x)=e^x$ har derivatan $f'(x)=e^x$ genom att sätta in en [[Godtycklig *Wordlist*|godtycklig]] exponentialfunktion</translate> | + | Varför är derivatan av $e^x$ lika med $e^x$?</translate>= |
| + | <translate><!--T:2--> | ||
| + | En [[Exponentialfunktion *Wordlist*|exponentialfunktion]] $f(x)=a^x$ har i de flesta fall en [[Derivata *Wordlist*|derivata]] som inte är lika med [[Funktion *Wordlist*|funktionen]] själv. Det finns dock ett undantag, nämligen när [[Bas - potens *Wordlist*|basen]] i funktionsuttrycket är lika med talet [[Talet e *Wordlist*|$e.$]] Man kan visa att funktionen $f(x)=e^x$ har derivatan $f'(x)=e^x$ genom att sätta in en [[Godtycklig *Wordlist*|godtycklig]] exponentialfunktion</translate> | ||
\[ | \[ | ||
f(x)=a^x | f(x)=a^x | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>i [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]] och därefter undersöka vad som händer med derivatan för olika värden på basen $a.$</translate> | + | <translate><!--T:3--> |
| + | i [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]] och därefter undersöka vad som händer med derivatan för olika värden på basen $a.$</translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
| Rad 20: | Rad 23: | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>Derivatan av en godtycklig exponentialfunktion är alltså lika med [[Gränsvärde *Wordlist*|gränsvärdet]] $\lim \limits_{h \to 0} a^x\g\frac{a^h - 1}{h}.$ [[Potens *Wordlist*|Potensen]] $a^x$ påverkas dock inte av att $h$ går mot $0,$ så den kan placeras utanför gränsvärdet:</translate> | + | <translate><!--T:4--> |
| + | Derivatan av en godtycklig exponentialfunktion är alltså lika med [[Gränsvärde *Wordlist*|gränsvärdet]] $\lim \limits_{h \to 0} a^x\g\frac{a^h - 1}{h}.$ [[Potens *Wordlist*|Potensen]] $a^x$ påverkas dock inte av att $h$ går mot $0,$ så den kan placeras utanför gränsvärdet:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
f'(x)=a^x\g \, \displaystyle{\lim_{h\to 0}} \dfrac{a^h - 1}{h}. | f'(x)=a^x\g \, \displaystyle{\lim_{h\to 0}} \dfrac{a^h - 1}{h}. | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Derivatan till $a^x$ är alltså $a^x$ multiplicerat med den konstant man får genom att beräkna gränsvärdet. Det går att bestämma gränsvärdet genom att låta $h \to 0,$ men [[Ändringskvot *Rules*|ändringskvoten]] kommer att bero på exponentialfunktionens bas $a.$ Man kan förstå detta genom att sätta in ett litet $h,$ t.ex. $0.0001,$ i kvoten:</translate> | + | <translate><!--T:5--> |
| + | Derivatan till $a^x$ är alltså $a^x$ multiplicerat med den konstant man får genom att beräkna gränsvärdet. Det går att bestämma gränsvärdet genom att låta $h \to 0,$ men [[Ändringskvot *Rules*|ändringskvoten]] kommer att bero på exponentialfunktionens bas $a.$ Man kan förstå detta genom att sätta in ett litet $h,$ t.ex. $0.0001,$ i kvoten:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
f'(x) \approx a^x \g \dfrac{a^{0.0001} - 1}{0.0001}. | f'(x) \approx a^x \g \dfrac{a^{0.0001} - 1}{0.0001}. | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Det mest praktiska vore om gränsvärdet blev $1.$ I så fall skulle man få $D(a^x)=a^x \g 1,$ dvs. att derivatan skulle bli samma som funktionen. Grafiskt kan detta representeras med att graferna till $f(x)=a^x$ och $f'(x)$ sammanfaller. Med datorns hjälp kan man undersöka för vilket $a$ detta sker. | + | <translate><!--T:6--> |
| + | Det mest praktiska vore om gränsvärdet blev $1.$ I så fall skulle man få $D(a^x)=a^x \g 1,$ dvs. att derivatan skulle bli samma som funktionen. Grafiskt kan detta representeras med att graferna till $f(x)=a^x$ och $f'(x)$ sammanfaller. Med datorns hjälp kan man undersöka för vilket $a$ detta sker. | ||
</translate> | </translate> | ||
| Rad 69: | Rad 75: | ||
<jsxgpre id="sliderFunc-slider"> | <jsxgpre id="sliderFunc-slider"> | ||
var b = mlg.board(mlg.bb.slider(2,3.5),{keepaspectratio:false}); | var b = mlg.board(mlg.bb.slider(2,3.5),{keepaspectratio:false}); | ||
| − | var s = b.slider(1,[Math.E - 2],['e'],{title:{label:'<translate>Välj</translate> ' + 'a'.italics() + '-värde',snapWidth:-1},precision:2}); | + | var s = b.slider(1,[Math.E - 2],['e'],{title:{label:'<translate><!--T:7--> |
| + | Välj</translate> ' + 'a'.italics() + '-värde',snapWidth:-1},precision:2}); | ||
var snapdist=0.02; | var snapdist=0.02; | ||
| Rad 84: | Rad 91: | ||
</jsxgpre> | </jsxgpre> | ||
| − | <translate>För $a =2.72$ ser graferna ut att sammanfalla. Mer exakt är det sökta värdet på $a$ lika med $e=2.718281828\ldots$ dvs. om $f(x)=e^x$ är</translate> | + | <translate><!--T:8--> |
| + | För $a =2.72$ ser graferna ut att sammanfalla. Mer exakt är det sökta värdet på $a$ lika med $e=2.718281828\ldots$ dvs. om $f(x)=e^x$ är</translate> | ||
\[ | \[ | ||
f'(x)=e^x\g \, \displaystyle{\lim_{h\to 0}} \dfrac{e^h - 1}{h}=e^x \g 1 = e^x. | f'(x)=e^x\g \, \displaystyle{\lim_{h\to 0}} \dfrac{e^h - 1}{h}=e^x \g 1 = e^x. | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Anledningen till att just derivatan av $f(x)=e^x$ är lika med sig själv är alltså att gränsvärdet som uppstår då man tillämpar derivatans definition på $f(x)=a^x$ är $1$ endast då basen är $e.$</translate> | + | <translate><!--T:9--> |
| + | Anledningen till att just derivatan av $f(x)=e^x$ är lika med sig själv är alltså att gränsvärdet som uppstår då man tillämpar derivatans definition på $f(x)=a^x$ är $1$ endast då basen är $e.$</translate> | ||
[[Kategori:Bblock]] | [[Kategori:Bblock]] | ||
Versionen från 12 januari 2018 kl. 12.40
Varför är derivatan av ex lika med ex?
En exponentialfunktion f(x)=ax har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag, nämligen när basen i funktionsuttrycket är lika med talet e. Man kan visa att funktionen f(x)=ex har derivatan f′(x)=ex genom att sätta in en godtycklig exponentialfunktionf(x)=ax
i derivatans definition och därefter undersöka vad som händer med derivatan för olika värden på basen a.
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)
\SubstIIii{f(x+h)}{a^{x+h}}{f(x)}{a^x}
f′(x)=h→0limhax+h−ax
\PLoneRev
f′(x)=h→0limhax⋅ah−ax
\DIF
f′(x)=h→0limhax⋅ah−ax⋅1
\BU{a^x}
f′(x)=h→0limhax(ah−1)
\PutNumeratorVRev
f′(x)=h→0lim(ax⋅hah−1)
f′(x)=ax⋅h→0limhah−1.
Derivatan till ax är alltså ax multiplicerat med den konstant man får genom att beräkna gränsvärdet. Det går att bestämma gränsvärdet genom att låta h→0, men ändringskvoten kommer att bero på exponentialfunktionens bas a. Man kan förstå detta genom att sätta in ett litet h, t.ex. 0.0001, i kvoten:
f′(x)≈ax⋅0.0001a0.0001−1.
Det mest praktiska vore om gränsvärdet blev 1. I så fall skulle man få D(ax)=ax⋅1, dvs. att derivatan skulle bli samma som funktionen. Grafiskt kan detta representeras med att graferna till f(x)=ax och f′(x) sammanfaller. Med datorns hjälp kan man undersöka för vilket a detta sker.
f′(x)=ex⋅h→0limheh−1=ex⋅1=ex.
Anledningen till att just derivatan av f(x)=ex är lika med sig själv är alltså att gränsvärdet som uppstår då man tillämpar derivatans definition på f(x)=ax är 1 endast då basen är e.