| |
Rad 4: |
Rad 4: |
| [[Integral *Wordlist*|Integralen]] i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till $f(t)$ och koordinataxlarna upp till den övre gränsen $t=x.$</translate> | | [[Integral *Wordlist*|Integralen]] i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till $f(t)$ och koordinataxlarna upp till den övre gränsen $t=x.$</translate> |
| | | |
− | <jsxgpre id="samband_mellan_derivata_och_integral_misc"> | + | <jsxgpre id="samband_mellan_derivata_och_integral_misc" static=1> |
| var b=mlg.board([-0.5, 3.5, 7.5,-0.5],{desktopSize:'medium'}); | | var b=mlg.board([-0.5, 3.5, 7.5,-0.5],{desktopSize:'medium'}); |
| var xax=b.xaxis(10,0,'t'); | | var xax=b.xaxis(10,0,'t'); |
i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till
f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen
t=x. Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Eftersom områdets area beror på den övre ,
x, kan man definiera en
areafunktion,
som beräknar arean av området mellan
f(t) och
t-axeln från
0 till
x. Denna areafunktion är en till , vilket gör att man kan formulera ett samband mellan primitiva funktioner och integraler. Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen
A(x) för att beräkna arean av ett område under kurvan. Mellan
0 och
x beskrivs arean av integralen
A(x)=∫0xf(t) dt.
Om gränsen flyttas längden
h åt höger kommer den nya gränsen bli
x+h och arean under grafen beskrivs av
A(x+h)=∫0x+hf(t) dt.
Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs.
A(x+h)−A(x).
Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden
h och där höjden är för
f(t) vid
x, dvs.
f(x). Det ger sambandet
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x).
Genom att låta bredden
h gå mot
0 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att
A(x) är en primitiv funktion till
f(x), dvs.
A′(x)=f(x).
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x)
f(x)≈hA(x+h)−A(x)
f(x)=h→0limhA(x+h)−A(x)
Titta nu på högerledet. Det är derivatans definition för funktionen
A(x), dvs.
A′(x):
f(x)=A′(x).
Eftersom integranden
f(x) är derivatan till
A(x), är
A(x) en primitiv funktion till
f(x) dvs.
där
F′(x)=f(x). Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och är användbart när man ska .