Förklaring

Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är en metod för att lösa generella andragradsekvationer. Steget då kvadraten läggs till kan motiveras med ett geometriskt resonemang. I figuren nedan är den gröna arean totalt

x^{2} + 2 x + 2 x = x^{2} + 4 x .

Om arean är

60

a.e. representeras sambandet mellan den okända sidan

x

och arean av ekvationen

x^{2} + 4 x = 60 .

För att lösa den med kvadratkomplettering lägger man till den blå kvadraten med sidan

2

i övre högra hörnet. Den bildar tillsammans med det gröna området en hel kvadrat—man kompletterar kvadraten.

Den totala arean ökar med

2^{2},

så båda led ökar med

2^{2}

:

x^{2} + 4 x + 2^{2} = 60 + 2^{2} .

Men det är ju nu en kvadrat med sidan

x + 2 .

Kvadratens area kan också beskrivas med

(x + 2)^{2},

vilket ger en ekvation man löser genom att dra kvadratroten ur båda led och sedan lösa ut

x

:

(x + 2)^{2} = 60 + 2^{2} .

@@ Rad 2: / Rad 2: @@
 Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering</translate></hbox>
 <translate><!--T:2-->
-[[Kvadratkomplettering *Method*|Kvadratkomplettering]] är en metod för att lösa generella [[Andragradsekvation *Wordlist*|andragradsekvationer]]. Steget då kvadraten läggs till kan motiveras med ett geometriskt resonemang. Den gröna arean nedan är totalt $x^2+2x+2x=x^2+4x.$</translate>
+[[Kvadratkomplettering *Method*|Kvadratkomplettering]] är en metod för att lösa generella [[Andragradsekvation *Wordlist*|andragradsekvationer]]. Steget då kvadraten läggs till kan motiveras med ett geometriskt resonemang. I figuren nedan är den gröna arean totalt $x^2+2x+2x=x^2+4x.$</translate>
-<PGFTikz>
+<jsxgpre id="Geometrisk_tolkning_av_kvadratkomplettering_1" static=1>
-[[File:kvadratkomplettering_geometrisk.svg|center|link=]]
+var b=mlg.board([-1,7,7,-1],{desktopSize:'medium'});
-TAGS:
+//b.xaxis(1,0,'x');
-<PGFTikZPreamble>
+//b.yaxis(1,0,'y');
-</PGFTikZPreamble>
+var p1 = b.node(1,1);
-\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize, scale=0.7]
+var p2 = b.node(1,4);
-\def\s{1.9};
+var p3 = b.node(1,5);
-\def\sII{2.5};
+var p4 = b.node(4,5);
-\pgfmathsetmacro\diff{\sII-\s};
+var p5 = b.node(4,4);
-\coordinate(a) at (0,0);
+var p6 = b.node(5,4);
-\coordinate(b) at (\s,0);
+var p7 = b.node(5,1);
-\coordinate(c) at (\s,\s);
+var p8 = b.node(4,1);
-\coordinate(d) at (0,\s);
+b.polygon([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8]);
-\coordinate(e) at (\sII,0);
+b.segment(p2,p5,{dash:1});
-\coordinate (f) at (\sII,\sII);
+b.segment(p5,p8,{dash:1});
-\coordinate(g) at (0,\sII);
-\fill[\mltiny!30](a)--(e)--++(0,\s)--++(-\diff,0)--++(0,\diff)--(g);
-\draw(d)--(a)--(b);
-\draw[densely dotted](b)--(c)--(d);
-\draw(b)--(e)--++(0,\s)--++(-\diff,0)--++(0,\diff)--(g)--++(0,-\diff);
-\path(a)--(b)node[midway,below=0.25, anchor=base]{$x$};
-\path(a)--(d)node[midway,left]{$x$};
-\path(b)--++(\diff,0)node[midway,below=0.25, anchor=base]{$2$};
-\path(d)--++(0,\diff)node[midway,left]{$2$};
-\path(b)--(d)node[midway]{$x^2$};
-\path(g)--(c)node[midway]{$2x$};
-\path(e)--(c)node[midway]{$2x$};
-\path(f)--(g)node[midway,above=0.2, anchor=base]{$\phantom{x}$};
+var s1=b.path(p1,p2);
-\end{tikzpicture}
+b.segmentText(s1,{name:'x',mathMode:true,distance:0.3});
-</PGFTikz>
+var s2=b.path(p2,p3);
+b.segmentText(s2,{name:'2',mathMode:true,distance:0.3});
+var s3=b.path(p8,p1);
+b.segmentText(s3,{name:'x',mathMode:true,distance:0.3});
+var s4=b.path(p7,p8);
+b.segmentText(s4,{name:'2',mathMode:true,distance:0.3});
+b.txt(2.5,4.5,'2x');
+b.txt(4.5,2.5,'2x');
+b.txt(2.5,2.5,'x^2');
+b.trim();
+</jsxgpre>
 <translate><!--T:3-->
@@ Rad 44: / Rad 43: @@
 För att lösa den med kvadratkomplettering lägger man till den blå kvadraten med sidan $2$ i övre högra hörnet. Den bildar tillsammans med det gröna området en hel kvadrat—man ''kompletterar kvadraten''.</translate>
-<PGFTikz>
+<jsxgpre id="Geometrisk_tolkning_av_kvadratkomplettering_2" static=1>
-[[File:kvadratkomplettering_geometrisk_ekvation.svg|center|link=]]
+var b=mlg.board([-1,7,11,-1],{desktopSize:'medium'});
-TAGS:
+//b.xaxis(1,0,'x');
-<PGFTikZPreamble>
+//b.yaxis(1,0,'y');
-</PGFTikZPreamble>
-\begin{tikzpicture}[font=\scriptsize, scale=0.7]
-\def\s{1.9};
-\def\sII{2.5};
-\pgfmathsetmacro\diff{\sII-\s};
-\coordinate(a) at (0,0);
-\coordinate(b) at (\s,0);
-\coordinate(c) at (\s,\s);
-\coordinate(d) at (0,\s);
-\coordinate(e) at (\sII,0);
-\coordinate (f) at (\sII,\sII);
-\coordinate(g) at (0,\sII);
-\fill[\mlhoy!30](c)rectangle++(\diff,\diff);
-\fill[\mltiny!30](a)--(e)--++(0,\s)--++(-\diff,0)--++(0,\diff)--(g);
-\draw(a)rectangle(f);
-\draw[densely dotted](c)--(\s, \sII);
+var p1 = b.node(1,1);
-\draw[densely dotted](c)--(\sII, \s);
+var p2 = b.node(1,4);
+var p3 = b.node(1,5);
+var p4 = b.node(4,5);
+var p5 = b.node(4,4);
+var p6 = b.node(5,4);
+var p7 = b.node(5,1);
+var p8 = b.node(4,1);
+var p9 = b.node(5,5);
-%\draw(b)--(e)--++(0,\s)--++(-\diff,0)--++(0,\diff)--(g)--++(0,-\diff);
+b.polygon([p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8]);
-%\draw[densely dotted](c)--++(\diff,0);
+b.polygon([p4,p5,p6,p9],{fillcolor:'mlhoy!30'});
-%\draw[densely dotted](c)--++(0,\diff);
-\path(a)--(f)node[midway]{$x^2+4x$};
-\path(c)--(f)node[midway]{$2^2$};
-\path(a)--(e)node[midway, below=0.05]{Area:};
-\path(a)--(e)node[midway, below=0.3]{$x^2+4x+2^2$};
-\path(g)--(f)node[midway,above]{$x+2$};
-\path(a)--(g)node[midway,above,sloped]{$x+2$};
-\path(e)--(f)node[midway, right=0.13]{$=$};
+var s1=b.path(p1,p3);
+b.segmentText(s1,{name:'x+2',mathMode:true,distance:0.4,rotateText:true});
+var s4=b.path(p3,p9);
+b.segmentText(s4,{name:'x+2',mathMode:true,distance:0.4});
-\begin{scope}[shift={(3.5,0)}]
+b.txt(3,3,'x^2+4x');
-\def\s{1.9};
+b.txt(4.5,4.5,'2^2');
-\def\sII{2.5};
+b.txt(3,0.25,'\\text{Area}:x^2+4x+2^2');
-\pgfmathsetmacro\diff{\sII-\s};
-\coordinate(a) at (0,0);
-\coordinate(b) at (\s,0);
-\coordinate(c) at (\s,\s);
-\coordinate(d) at (0,\s);
-\coordinate(e) at (\sII,0);
-\coordinate (f) at (\sII,\sII);
-\coordinate(g) at (0,\sII);
-\fill[\mlhoy!30](c)rectangle++(\diff,\diff);
-\fill[\mltiny!30](a)--(e)--++(0,\s)--++(-\diff,0)--++(0,\diff)--(g);
-\draw(a)rectangle(f);
+var p9 = b.node(6,1);
-\draw[densely dotted](c)--++(\diff,0);
+var p10 = b.node(6,4);
-\draw[densely dotted](c)--++(0,\diff);
+var p11 = b.node(6,5);
-\path(c)--(f)node[midway]{$2^2$};
+var p12 = b.node(9,5);
-\path(a)--(f)node[midway, font=\small]{$60$};
+var p13 = b.node(9,4);
+var p14 = b.node(10,4);
+var p15 = b.node(10,1);
+var p16 = b.node(9,1);
+var p17 = b.node(10,5);
-\path(a)--(e)node[midway, below=0.05]{Area:};
+b.polygon([p9,p10,p11,p12,p13,p14,p15,p16]);
-\path(a)--(e)node[midway, below=0.3]{$\ 60+2^2$};
+b.polygon([p12,p13,p14,p17],{fillcolor:'mlhoy!30'});
-\path(f)--(e)node[midway,above,sloped]{$\phantom{x+2}$};
-\end{scope}
+b.txt(8,3,'60');
-\end{tikzpicture}
+b.txt(9.5,4.5,'2^2');
-</PGFTikz>
+b.txt(8,0.25,'\\text{Area}:60+2^2');
+b.trim();
+</jsxgpre>
 <translate><!--T:4-->

{{ article.displayTitle }}

Versionen från 13 november 2017 kl. 20.47

Förklaring

Geometrisk tolkning av kvadratkomplettering

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}