Bevis

Bevis för randvinkelsatsen

För en randvinkel och en medelpunktsvinkel som spänner upp samma cirkelbåge ger randvinkelsatsen att sambandet mellan dem är

u = 2 v .

cirkel med randvinkel och medelpunktsvinkel

TAGS:

För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.

Det första fallet inträffar när ett av vinkelbenen till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en diameter i cirkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och likbent triangel

TAGS: Triangeln som skapas är likbent eftersom två av benen är radier. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Yttervinkelsatsen ger

u = v + v = 2 v .

I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.

cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel

För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar.

cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar

TAGS: Ser man den inlagda diametern som ett vinkelben både till randvinkeln och medelpunktsvinkeln kan man nu tolka denna nya figur som två exempel av fall 1. Beviset därifrån ger då att

u_{1} = 2 v_{1} och u_{2} = 2 v_{2} .

Den ursprungliga medelpunktsvinkeln

u

är summan av

u_{1}

och

u_{2}

och på samma sätt är

v = v_{1} + v_{2}

. Detta används för att ta fram ett uttryck för

u .

u = u_{1} + u_{2}

\SubstIIii{u_1}{2v_1}{u_2}{2v_2}

u = 2 v_{1} + 2 v_{2}

\BU{2}

u = 2 (v_{1} + v_{2})

\SubstII{v_1 + v_2}{v}

u = 2 v

Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben.

TAGS:

På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga.

två cirklar med randvinklar och medelpunktsvinklar

TAGS: Sambandet från fall 1 kan nu användas igen:

u_{1} = 2 v_{1} och u_{2} = 2 v_{2} .

Vinkeln

v_{1}

(blå) kan nu skrivas som summan av

v_{2}

(röd) och randvinkeln

v

(grön), dvs.

v_{1} = v + v_{2},

vilket betyder att

v = v_{1} - v_{2} .

TAGS: På samma sätt är

u = u_{1} - u_{2} .

Detta används för att bevisa randvinkelsatsen även för detta fall.

u = u_{1} - u_{2}

\SubstIIii{u_1}{2v_1}{u_2}{2v_2}

u = 2 v_{1} - 2 v_{2}

\BU{2}

u = 2 (v_{1} - v_{2})

\SubstII{v_1 - v_2}{v}

u = 2 v

Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.

Q.E.D.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}