{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }} expand_more {{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}
{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}
{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}
{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Jrhoads (Diskussion | bidrag) | Jrhoads (Diskussion | bidrag) (Den här versionen är märkt för översättning) | ||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | <hbox type="h1" iconcolor="proof" iconimg="625"><translate>Bevis för randvinkelsatsen</translate></hbox> | + | <hbox type="h1" iconcolor="proof" iconimg="625"><translate><!--T:1--> |
| − | <T1><translate>För en [[Randvinkel *Wordlist*|randvinkel]] och en [[Medelpunktsvinkel *Wordlist*|medelpunktsvinkel]] som spänner upp samma [[Cirkelbåge *Wordlist*|cirkelbåge]] ger [[Randvinkelsatsen *Rules*|randvinkelsatsen]] att sambandet mellan dem är $u = 2v.$</translate> | + | Bevis för randvinkelsatsen</translate></hbox> |
| + | <T1><translate><!--T:2--> | ||
| + | För en [[Randvinkel *Wordlist*|randvinkel]] och en [[Medelpunktsvinkel *Wordlist*|medelpunktsvinkel]] som spänner upp samma [[Cirkelbåge *Wordlist*|cirkelbåge]] ger [[Randvinkelsatsen *Rules*|randvinkelsatsen]] att sambandet mellan dem är $u = 2v.$</translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
| − | <translate>[[File:Proof_Randvinkelsatsen0.svg|center|link=|alt=cirkel med randvinkel och medelpunktsvinkel]] | + | <translate><!--T:3--> |
| + | [[File:Proof_Randvinkelsatsen0.svg|center|link=|alt=cirkel med randvinkel och medelpunktsvinkel]] | ||
</translate>TAGS: | </translate>TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
| Rad 36: | Rad 39: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
| − | </T1><translate>För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat. | + | </T1><translate><!--T:4--> |
| + | För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat. | ||
<ebox labletitle="Bevis" title="Fall 1"> | <ebox labletitle="Bevis" title="Fall 1"> | ||
Det första fallet inträffar när ett av [[Vinkelben *Wordlist*|vinkelbenen]] till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en [[Diameter *Wordlist*|diameter]] i cirkeln.</translate> | Det första fallet inträffar när ett av [[Vinkelben *Wordlist*|vinkelbenen]] till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en [[Diameter *Wordlist*|diameter]] i cirkeln.</translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
| − | <translate>[[File:Proof_Randvinkelsatsen1.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och likbent triangel]] | + | <translate><!--T:5--> |
| + | [[File:Proof_Randvinkelsatsen1.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och likbent triangel]] | ||
</translate>TAGS: | </translate>TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
| Rad 87: | Rad 92: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
| − | <translate>Triangeln som skapas är [[Likbent triangel *Wordlist*|likbent]] eftersom två av benen är [[Radie *Wordlist*|radier]]. Det betyder att basvinklarna är lika stora. [[Yttervinkelsatsen *Rules*|Yttervinkelsatsen]] ger</translate> | + | <translate><!--T:6--> |
| + | Triangeln som skapas är [[Likbent triangel *Wordlist*|likbent]] eftersom två av benen är [[Radie *Wordlist*|radier]]. Det betyder att basvinklarna är lika stora. [[Yttervinkelsatsen *Rules*|Yttervinkelsatsen]] ger</translate> | ||
\[ | \[ | ||
u = v + v =2v. | u = v + v =2v. | ||
| Rad 93: | Rad 99: | ||
</ebox> | </ebox> | ||
| − | <ebox labletitle="<translate>Bevis</translate>" title="Fall 2"> | + | <ebox labletitle="<translate><!--T:7--> |
| − | <translate>I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.</translate> | + | Bevis</translate>" title="Fall 2"> |
| + | <translate><!--T:8--> | ||
| + | I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.</translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
| − | <translate>[[File:Proof_Randvinkelsatsen2.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel]]</translate> | + | <translate><!--T:9--> |
| + | [[File:Proof_Randvinkelsatsen2.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel]]</translate> | ||
TAGS: | TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
| Rad 140: | Rad 149: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
| − | <translate>För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar. | + | <translate><!--T:10--> |
| + | För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar. | ||
</translate> | </translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
| − | <translate>[[File:Proof_Randvinkelsatsen3.svg|center|link=|alt=cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar]] | + | <translate><!--T:11--> |
| + | [[File:Proof_Randvinkelsatsen3.svg|center|link=|alt=cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar]] | ||
</translate>TAGS: | </translate>TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
| Rad 198: | Rad 209: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
| − | <translate>Ser man den inlagda diametern som ett vinkelben både till randvinkeln och medelpunktsvinkeln kan man nu tolka denna nya figur som två exempel av fall 1. Beviset därifrån ger då att</translate> | + | <translate><!--T:12--> |
| + | Ser man den inlagda diametern som ett vinkelben både till randvinkeln och medelpunktsvinkeln kan man nu tolka denna nya figur som två exempel av fall 1. Beviset därifrån ger då att</translate> | ||
\[ | \[ | ||
| − | u_1 = 2v_1 \quad \text{<translate>och</translate>} \quad u_2 = 2v_2. | + | u_1 = 2v_1 \quad \text{<translate><!--T:13--> |
| + | och</translate>} \quad u_2 = 2v_2. | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Den ursprungliga medelpunktsvinkeln $u$ är summan av $u_1$ och $u_2$ och på samma sätt är $v = v_1 + v_2$. Detta används för att ta fram ett uttryck för $u.$ | + | <translate><!--T:14--> |
| + | Den ursprungliga medelpunktsvinkeln $u$ är summan av $u_1$ och $u_2$ och på samma sätt är $v = v_1 + v_2$. Detta används för att ta fram ett uttryck för $u.$ | ||
</translate><deduct> | </translate><deduct> | ||
u = u_1 + u_2 | u = u_1 + u_2 | ||
| Rad 214: | Rad 228: | ||
</ebox> | </ebox> | ||
| − | <ebox labletitle="<translate>Bevis</translate>" title="Fall 3"> | + | <ebox labletitle="<translate><!--T:15--> |
| − | <translate>Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben. | + | Bevis</translate>" title="Fall 3"> |
| + | <translate><!--T:16--> | ||
| + | Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben. | ||
</translate> | </translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
| − | <translate>[[File:Proof_Randvinkelsatsen4.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel]] | + | <translate><!--T:17--> |
| + | [[File:Proof_Randvinkelsatsen4.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel]] | ||
</translate>TAGS: | </translate>TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
| Rad 259: | Rad 276: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
| − | <translate>På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga. | + | <translate><!--T:18--> |
| + | På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga. | ||
</translate> | </translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
| − | <translate>[[File:Proof_Randvinkelsatsen5.svg|center|link=|alt=två cirklar med randvinklar och medelpunktsvinklar]] | + | <translate><!--T:19--> |
| + | [[File:Proof_Randvinkelsatsen5.svg|center|link=|alt=två cirklar med randvinklar och medelpunktsvinklar]] | ||
</translate>TAGS: | </translate>TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
| Rad 351: | Rad 370: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
| − | <translate>Sambandet från fall 1 kan nu användas igen:</translate> | + | <translate><!--T:20--> |
| + | Sambandet från fall 1 kan nu användas igen:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
| − | u_1 = 2v_1 \quad \text{<translate>och</translate>} \quad u_2 = 2v_2. | + | u_1 = 2v_1 \quad \text{<translate><!--T:21--> |
| + | och</translate>} \quad u_2 = 2v_2. | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Vinkeln $v_1$(blå) kan nu skrivas som summan av $v_2$(röd) och randvinkeln $v$ (grön), dvs. $v_1=v+v_2,$ vilket betyder att $v=v_1-v_2.$ | + | <translate><!--T:22--> |
| + | Vinkeln $v_1$(blå) kan nu skrivas som summan av $v_2$(röd) och randvinkeln $v$ (grön), dvs. $v_1=v+v_2,$ vilket betyder att $v=v_1-v_2.$ | ||
</translate> | </translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
| − | <translate>[[File:proof_randvinkelsatsen_6.svg|center|link=|alt=cirkel med summan av två vinklar]] | + | <translate><!--T:23--> |
| + | [[File:proof_randvinkelsatsen_6.svg|center|link=|alt=cirkel med summan av två vinklar]] | ||
</translate>TAGS: | </translate>TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
| Rad 407: | Rad 430: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
| − | <translate>På samma sätt är $u=u_1-u_2.$ Detta används för att bevisa randvinkelsatsen även för detta fall. | + | <translate><!--T:24--> |
| + | På samma sätt är $u=u_1-u_2.$ Detta används för att bevisa randvinkelsatsen även för detta fall. | ||
</translate> | </translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
| Rad 419: | Rad 443: | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.</translate> | + | <translate><!--T:25--> |
| + | Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.</translate> | ||
<QED/> | <QED/> | ||
Versionen från 3 augusti 2017 kl. 13.31
Bevis
Bevis för randvinkelsatsen
För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.
Det första fallet inträffar när ett av vinkelbenen till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en diameter i cirkeln.
u=v+v=2v.
I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.
För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar.
u1=2v1ochu2=2v2.
Den ursprungliga medelpunktsvinkeln u är summan av u1 och u2 och på samma sätt är v=v1+v2. Detta används för att ta fram ett uttryck för u.u=u1+u2
\SubstIIii{u_1}{2v_1}{u_2}{2v_2}
u=2v1+2v2
\BU{2}
u=2(v1+v2)
\SubstII{v_1 + v_2}{v}
u=2v
Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben.
På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga.
u1=2v1ochu2=2v2.
Vinkeln v1(blå) kan nu skrivas som summan av v2(röd) och randvinkeln v (grön), dvs. v1=v+v2, vilket betyder att v=v1−v2. 
u=u1−u2
\SubstIIii{u_1}{2v_1}{u_2}{2v_2}
u=2v1−2v2
\BU{2}
u=2(v1−v2)
\SubstII{v_1 - v_2}{v}
u=2v
Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.
Q.E.D.