| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Ragnar (Diskussion | bidrag) | Jrhoads (Diskussion | bidrag) (Den här versionen är märkt för översättning) | ||
Rad 4: | Rad 4: | ||
För en [[Randvinkel *Wordlist*|randvinkel]] och en [[Medelpunktsvinkel *Wordlist*|medelpunktsvinkel]] som spänner upp samma [[Cirkelbåge *Wordlist*|cirkelbåge]] ger [[Randvinkelsatsen *Rules*|randvinkelsatsen]] att sambandet mellan dem är $u = 2v.$</translate> | För en [[Randvinkel *Wordlist*|randvinkel]] och en [[Medelpunktsvinkel *Wordlist*|medelpunktsvinkel]] som spänner upp samma [[Cirkelbåge *Wordlist*|cirkelbåge]] ger [[Randvinkelsatsen *Rules*|randvinkelsatsen]] att sambandet mellan dem är $u = 2v.$</translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
− | [[File:<translate>Proof_Randvinkelsatsen0</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med randvinkel och medelpunktsvinkel]] | + | [[File:<translate><!--T:26--> |
+ | Proof_Randvinkelsatsen0</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med randvinkel och medelpunktsvinkel]] | ||
TAGS: | TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
Rad 44: | Rad 45: | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
− | [[File:<translate>Proof_Randvinkelsatsen1</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och likbent triangel]] | + | [[File:<translate><!--T:27--> |
+ | Proof_Randvinkelsatsen1</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och likbent triangel]] | ||
TAGS: | TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
Rad 103: | Rad 105: | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
− | [[File:<translate>Proof_Randvinkelsatsen2</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel]] | + | [[File:<translate><!--T:28--> |
+ | Proof_Randvinkelsatsen2</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel]] | ||
TAGS: | TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
Rad 150: | Rad 153: | ||
</translate> | </translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
− | [[File:<translate>Proof_Randvinkelsatsen3</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar]] | + | [[File:<translate><!--T:29--> |
+ | Proof_Randvinkelsatsen3</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med två medelpunktsvinklar och två randvinklar]] | ||
TAGS: | TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
Rad 230: | Rad 234: | ||
</translate> | </translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
− | [[File:<translate>Proof_Randvinkelsatsen4</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel]] | + | [[File:<translate><!--T:30--> |
+ | Proof_Randvinkelsatsen4</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med medelpunktsvinkel och randvinkel]] | ||
TAGS: | TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
Rad 275: | Rad 280: | ||
</translate> | </translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
− | [[File:<translate>Proof_Randvinkelsatsen5</translate>.svg|center|link=|alt=två cirklar med randvinklar och medelpunktsvinklar]] | + | [[File:<translate><!--T:31--> |
+ | Proof_Randvinkelsatsen5</translate>.svg|center|link=|alt=två cirklar med randvinklar och medelpunktsvinklar]] | ||
TAGS: | TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> | ||
Rad 374: | Rad 380: | ||
</translate> | </translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
− | [[File:<translate>proof_randvinkelsatsen_6</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med summan av två vinklar]] | + | [[File:<translate><!--T:32--> |
+ | proof_randvinkelsatsen_6</translate>.svg|center|link=|alt=cirkel med summan av två vinklar]] | ||
TAGS: | TAGS: | ||
<PGFTikZPreamble> | <PGFTikZPreamble> |
För att bevisa randvinkelsatsen delar man upp den i tre olika fall som bevisas separat.
Det första fallet inträffar när ett av vinkelbenen till randvinkeln går igenom medelpunkten, vilket gör att det går genom ett av vinkelbenen till medelpunktsvinkeln. Detta innebär också att det vinkelbenet utgör en diameter i cirkeln.
I det andra fallet skär inte något av randvinkelns vinkelben något ben till medelpunktsvinkeln.
För att visa randvinkelsatsen för den här situationen ritar man in en diameter från randvinkeln som delar både den och medelpunktsvinkeln i två delvinklar.
\SubstIIii{u_1}{2v_1}{u_2}{2v_2}
\BU{2}
\SubstII{v_1 + v_2}{v}
Det sista fallet som behöver undersökas är när ett av randvinkelns vinkelben skär ett av medelpunktsvinkelns ben.
På samma sätt som i förra fallet ritas en diameter in från randvinkeln. Denna gång delar den dock inte vinklarna, utan skapar nya rand- och medelpunktsvinklar, varav ett par är större än de ursprungliga.
\SubstIIii{u_1}{2v_1}{u_2}{2v_2}
\BU{2}
\SubstII{v_1 - v_2}{v}
Randvinkelsatsen gäller alltså för alla tre fall.