Matematik 5000 4, 2011
M5
Matematik 5000 4, 2011 Visa detaljer
Diagnos 4
Fortsätt till nästa delkapitel

Uppgift 1 Sida 242

Re(z_1) är realdelen av det komplexa talet z_1 = 2+5i. Eftersom 2:an inte har ett i på sig så är 2:an realdelen. Re(z_1) = 2.

Im(z_2) är imaginärdelen av det komplexa talet z_2 = 3-4i. Eftersom - 4 har ett i på sig så är detta realdelen. Im(z_2) = - 4. Notera att i: et självt inte tas med!

z_1 är komplexkonjugatet av z_1. Det hittar vi genom att byta tecken på imaginärdelen. Motsvarande gäller för z_2.
z_1 + z_2
2+5i + 3-4i
2 - 5i + 3 + 4i

Kommutativa lagen för addition

2 + 3 + 4i - 5i
5 - i
Alltså är z_1 + z_2 = 5-i.
|z_2| är absolutbeloppet av z_2. Det hittar vi med formeln $|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)$ som kommer från Pythagoras sats. För talet z_2 = 3-4i är a=3 och b=- 4, så vi sätter in dessa värden.
|z_2| = sqrt(a^2 +b^2)
|z_2| = sqrt(3^2 + ( - 4)^2)

Förenkla potens

|z_2| = sqrt(9+16)
|z_2| = sqrt(25)
|z_2| = 5
z_2 har absolutbeloppet 5, vilket innebär att det komplexa talet z_2 ligger 5 steg från origo.
Vi multiplicerar talen och utvecklar parenteserna.
z_1 * z_2
( 2+5i)( 3-4i)
2* 3 -2* 4i +5i* 3-5i* 4i
6 -8i +15i-20i^2
6 -8i +15i-20(- 1)
6 -8i +15i+20
26+7i
Alltså är z_1* z_2 = 26 + 7i.
Komplexkonjugatet till z_2 hittar vi som tidigare genom att byta tecken på talets imaginärdel, och sedan utvecklar vi parenteserna.
z_1 * z_2
( 2+5i) * (3-4i)
(2+5i) * (3+4i)
2* 3 +2* 4i +5i* 3+ 5i* 4i
6 +8i +15i+ 20i^2
6 +8i +15i- 20
- 14 +23i
Alltså är z_1 * z_2 = - 14 + 23i.