body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Matematik 5000 4 Plus, 2021

M5

Matematik 5000 4 Plus, 2021 Visa detaljer

Blandade övningar 3

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa delkapitel

Uppgift 9 Sida 194

Hitta skärningspunkten som inte ligger i origo. Använd den för att hitta två uttryck som representerar arean för varje område. Sätt uttrycken lika med varandra för att formulera en ekvation, och lös den för k. Använd det k-värdet för att hitta arean.

4/81 a.e.

Låt oss ta en titt på den givna grafen.

Vi får veta att de skuggade områdena har samma area och blir ombedda att hitta detta värde. Börja med att hitta skärningspunkten för båda kurvorna. Detta kan göras genom att sätta båda funktionerna lika med varandra och lösa för x.

x^2 = kx

VL-kx=HL-kx

x^2-kx=0

Bryt ut x

x(x-k)=0

Det ovanstående uttrycket berättar för oss att antingen x=0 eller x-k=0. Från det senare kan vi dra slutsatsen att x=k.

Observera att i intervallet 0 < x < k är kurvan y=kx ovanför y=x^2, så vi kan hitta området för det första området med hjälp av följande integral. A = ∫ _0^k (kx-x^2) dx Å andra sidan är y=x^2 ovanför y=kx i intervallet k < x < 1, så vi använder istället följande integral. Kom ihåg att eftersom båda områdena är lika stora, kan vi skriva att även denna integral är lika med A. A = ∫ _k^1 (x^2-kx) dx Låt oss hitta ett uttryck för varje integral, en åt gången. Vi börjar med att hitta en primitiv funktion till (kx-x^2).

kx-x^2

▼

Bestäm en primitiv funktion

AntiderivativeOne

Bestäm en primitiv funktion

D^(-1)(kx) - D^(-1)(x^2)

D^(- 1)(ax) = ax^2/2

kx^2/2 - D^(-1)(x^2)

AntideriveMonom

D^(- 1) (x^n) = x^(n + 1)/n + 1

kx^2/2 - x^3/3

Använd denna primitiva funktion för att utvärdera integralen.

A = ∫ _0^k (kx-x^2) dx

▼

Beräkna integral

∫_a^b f(x) dx=[F(x)]_a^b

A = [kx^2/2-x^3/3]_0^k

[F(x)]_a^b = F(b)-F(a)

A = (k(k)^2/2-k^3/3) - (k(0)^2/2-0^3/3)

Beräkna potens & produkt

A = k^3/2-k^3/3

Förläng med 3

A = 3k^3/6-k^3/3

Förläng med 2

A = 3k^3/6-2k^3/6

Subtrahera bråk

A = k^3/6

Innan vi använder regler för att hitta primitiva funktionen till nästa integrand, låt oss först undersöka den lite närmare. A = ∫ _k^1 (x^2-kx) dx Observera att integranden i denna integralen är precis lika med integranden i den förra integralen, multiplicerat med (-1). Detta innebär att den primitiva funktionen kommer vara precis lika med den tidigare primitiva funktionen, mupltiplicerat med (-1). Med detta i åtanke kan vi utvärdera integralen.

A = ∫ _k^1 (x^2-kx) dx

▼

Beräkna integral

∫_a^b f(x) dx=[F(x)]_a^b

A = [x^3/3-kx^2/2]_k^1

[F(x)]_a^b = F(b)-F(a)

A = (1^3/3-k(1)^2/2) - (k^3/3-k(k)^2/2)

Beräkna potens & produkt

A = (1/3-k/2) - (k^3/3-k^3/2)

Subtrahera bråk

A= (1/3-k/2) - ( - k^3/6 )

Ta bort parentes & byt tecken

A= 1/3-k/2 +k^3/6

Eftersom vi får veta att områdena för båda regionerna är lika stora kan vi ställa båda uttrycken lika med varandra. Det ger oss en ekvation för k. Låt oss lösa den!

k^3/6 = 1/3-k/2 +k^3/6

VL-k^3/6=HL-k^3/6

0 = 1/3 - k/2

VL+k/2=HL+k/2

k/2 = 1/3

VL * 2=HL* 2

k = 2/3

Nu när vi vet k-värdet kan vi hitta ett exakt värde för A. Vi använder den lättare av våra två formler för A, men eftersom båda uttrycken är lika med varandra så skulle båda ge samma resultat.

A = k^3/6

k= 2/3

A = ( 23)^3/6

▼

Förenkla högerled

(a/b)^c=a^c/b^c

A = 827/6

a/c/b= a/b* c

A = 8/6 * 27

Förkorta med 2

A = 4/3 * 27

Multiplicera faktorer

A = 4/81

Således är arean för varje område 4/81 a.e. (areaenheter).

Delkapitel länkar

Uppgifter