Uppgift 12 Sida 144

Vi ombeds att ge två exempel på funktioner y = A sin(kx) för vilka y'(π) = 2. Låt oss först bestämma derivatan av denna funktion med avseende på x. Vi använder att (sin x)' = cos x. Vi vill välja värden på k och A så att y'(π)=2. Låt oss först ersätta π med x. y'(x)=Akcos (kx) ⇕ y'( π)=Akcos (k π )Vi kommer att välja värden på k och A genom att prova oss fram. Låt oss välja ett värde på k så att vi enkelt kan beräkna cosinus. Till exempel k=1.

y'(π)=Akcos (kπ )

Substitute

k= 1

y'(π)=A( 1)cos (( 1)π )

Neutralelementslagen för multiplikation

y'(π)=Acos (π )

Rewrite

Skriv cos (π ) som - 1

y'(π)=A(- 1)

Observera att om vi sätter A=-2, så får vi y'(π)=2. Det är precis vad vi vill ha!

y'(π)=A(- 1)

Substitute

A= - 2

y'(π)=( -2)(-1)

Multiply

Multiplicera faktorer

y'(π)=2

Vi fann att för k=1 och A=-2, är värdet av derivatan y'(π) lika med 2.

k	A	y(x)=Asin(kx)	y'(π)
k=1	A=- 2	y(x)=- 2sin(x)	y'(π)=2 ✓

Låt oss använda en liknande metod för att hitta en annan funktion y=Asin(kx) för vilken y'(π)=2. Den här gången provar vi med k=2.

y'(π)=Akcos (kπ )

Substitute

k= 2

y'(π)=A( 2)cos (( 2)π )

Rewrite

Skriv cos(2π) som 1

y'(π)=A(2)(1)

Multiply

Multiplicera faktorer

y'(π)=2A

Om vi sätter A=1, får vi y'(π)=2.

y'(π)=2A

Substitute

A= 1

y'(π)=2( 1)

Neutralelementslagen för multiplikation

y'(π)=2

Vi fann en annan funktion y=Asin(kx) för vilken y'(π)=2.

k	A	y(x)=Asin(kx)	y'(π)
k=1	A=- 2	y(x)=- 2sin(x)	y'(π)=2 ✓
k=2	A=1	y(x)=sin(2x)	y'(π)=2 ✓