Vektorer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis vellervˉ. \vec{v} \quad \text{eller} \quad \bar{v}. Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den AB\overrightarrow{AB}, och om den riktas åt andra hållet får den namnet BA.\overrightarrow{BA}.

Begrepp

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas med koordinater, där xx- och yy-koordinaterna anger förändringen i respektive riktning. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkten.

Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
Uppgift

Skriv vektorerna u\vec{u} och v\vec{v} på koordinatform.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Addera vektorer

Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna u=(4,0)\vec{u}=(4,0) och v=(5,0)\vec{v}=(5,0) har samma riktning, så r=u+v\vec{r}=\vec{u}+\vec{v} kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Begrepp

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna "på rad", alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har v,u\vec{v}, \, \vec{u} och z\vec{z} adderats för att bilda resultanten r.\vec{r}.

Byt ordning

Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.


Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande storheter kan tolkas som vektorer och vilka kan tolkas som skalärer?

A. Temperaturen i klassrummet.
B. Volymen juice i ett glas.
C. Din massa.
D. En cyklists hastighet.
E. Kraften du använder för att öppna en dörr.
F. Din position i förhållande till mataffären.
G. Avståndet till skolan.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange vektorerna på koordinatform.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv vektorerna på koordinatform.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka vektorer är likadana?

Exercise741 1.svg
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koordinaterna för vektorerna a,\vec{a}, b\vec{b} och c.\vec{c}. Varje ruta är 1 l.e.


a
Uppgift762 1.svg


b
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita följande vektorer.


a

v=(4,2)\vec{v}=(4,2)

b

w=(5,-3)\vec{w}=(5,\text{-}3)

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita resultanten r\vec{r} till vektorerna u,\vec{u}, v,\vec{v}, och w\vec{w} och bestäm dess koordinater.

Uppgift772 1.svg
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Walter har just förklarat för Jesse att en vektor har både storlek och riktning. Jesses blick faller över en figur som ser ut på följande sätt.

Uppgift788 1.svg

Jesse pekar på den högra vektorn och frågar Walter: "Men Walter, hur vet jag att vektorn 2a2\vec{a} har just den där storleken och riktningen?" Hjälp Walter att förklara detta för Jesse!

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan syns två vektorer, v\vec{v} och u.\vec{u}.

Exercise2413 1.svg
a

Rita resultanten r=v+u.\vec{r}=\vec{v}+\vec{u}.

b

Rita resultanten r=vu\vec{r}=\vec{v}-\vec{u} genom att skriva om subtraktionen vu\vec{v}-\vec{u} som additionen v+(-u).\vec{v}+(\text{-}\vec{u}). Vektorn -u\text{-}\vec{u} har samma längd som vektor u\vec{u} men motsatt riktning.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koordinaterna för r=abc\vec{r}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c} genom att rita resultanten. Använd att abc\vec{a}-\vec{b}-\vec{c} kan skrivas som a+(-b)+(-c)\vec{a}+(\text{-}\vec{b})+(\text{-}\vec{c}) och att en negativ vektor har samma längd, men motsatt riktning, som sin positiva motsvarighet.

Uppgift2414 1.svg
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Mo och Mjälla har utmanat sin pappa Sten på dragkamp. Tillsammans lyckas systrarna dra med samma kraft som sin pappa så att tävlingen befinner sig i "dödläge". Vektorerna i figuren visar med vilken kraft och riktning som de tre familjemedlemmarna drar.

Bestäm koordinatformen för den vektor som visar hur Mjälla drar.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

ABCDEFGH är en regelbunden åttahörning.

Exercise766 1.svg


a

Definera vektorn v\vec{v} som AG.\overrightarrow{AG}. Hur många fler, lika långa vektorer kan du skapa med hjälp av hörnen?

b

Låt u=EF.\vec{u}=\overrightarrow{EF}. Finner du någon identisk vektor till u\vec{u}?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera delvektorer som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp vektorer i en vågrät xx-komposant och en lodrät yy-komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren nedan har vektorn v=(6,4)\vec{v} = (6,4) delats upp i delvektorerna vx=(6,0)\vec{v}_x = (6,0) och vy=(0,4).\vec{v}_y = (0,4).

a

Dela upp vektorn v\vec{v} i komposanter samt ange vektorns och komposanternas koordinater.

b

Vi vet att vektorn u\vec{u} har längden 6.26.2 le, vilket förenklat kan skrivas u=6.2|\vec{u}|=6.2 le. Bestäm koordinaterna för de gröna komposanterna, ux\vec{u}_x och uy.\vec{u}_y. Svara med två decimalers noggrannhet.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}