Vektorer

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis $\vec{v} \quad \text{eller} \quad \bar{v}.$ Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den $\overrightarrow{AB}$, och om den riktas åt andra hållet får den namnet $\overrightarrow{BA}.$

Begrepp

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas med koordinater, där $x$- och $y$-koordinaterna anger förändringen i respektive riktning. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i $x$- och $y$-led mellan start- och slutpunkten.

Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.

Exempel

Skriv vektorerna på koordinatform

Uppgift

Skriv vektorerna $\vec{u}$ och $\vec{v}$ på koordinatform.

Lösning

För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i $x$- och $y$-led mellan start- och slutpunkterna. För $\vec{v}$ noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i $x$-led.

Exempel

Vektor $\vec{u}$

Skillnaden är $4$ längdenheter i $x$-led och 2 i $y$-led. Det innebär att koordinatformen för $\vec{u}$ är $(4,2).$

Exempel

Vektor $\vec{v}$

Skillnaden i $x$-led är $\text{-} 3$ längdenheter och $1$ i $y$-led, så koordinatformen för $\vec{v}$ är $(\text{-} 3,1).$

Visa lösning Visa lösning

Regel

Addera vektorer

Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna $\vec{u}=(4,0)$ och $\vec{v}=(5,0)$ har samma riktning, så $\vec{r}=\vec{u}+\vec{v}$ kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Begrepp

Resultant

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna "på rad", alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har $\vec{v}, \, \vec{u}$ och $\vec{z}$ adderats för att bilda resultanten $\vec{r}.$

Byt ordning

Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.