| |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| − | <hbox type="h1" iconcolor="why"><translate>Hur ska man tolka den andra vinkeln i sinussatsen?</translate></hbox> | + | <hbox type="h1" iconcolor="why"><translate><!--T:1--> |
| − | <translate>När man använder sinussatsen för att bestämma en vinkel i en triangel måste man komma ihåg att det finns två vinklar mellan $0\Deg$ och $180\Deg$ som ger samma sinusvärde. Detta betyder att sinussatsen kan leda fram till två '''olika''' trianglar. Exempelvis kan man använda den för att bestämma vinkeln $B$ i triangeln nedan.</translate> | + | Hur ska man tolka den andra vinkeln i sinussatsen?</translate></hbox> |
| | + | <translate><!--T:2--> |
| | + | När man använder sinussatsen för att bestämma en vinkel i en triangel måste man komma ihåg att det finns två vinklar mellan $0\Deg$ och $180\Deg$ som ger samma sinusvärde. Detta betyder att sinussatsen kan leda fram till två '''olika''' trianglar. Exempelvis kan man använda den för att bestämma vinkeln $B$ i triangeln nedan.</translate> |
| | | | |
| | <jsxgpre id="sinussatsenwhyI_alt_1"> | | <jsxgpre id="sinussatsenwhyI_alt_1"> |
| Rad 28: |
Rad 30: |
| | </jsxgpre> | | </jsxgpre> |
| | | | |
| − | <translate>Ställer man upp satsen och löser ut $B$ med [[Arcusfunktioner *Rules*|arcussinus]] får man en första vinkel, $B_1.$</translate> | + | <translate><!--T:3--> |
| | + | Ställer man upp satsen och löser ut $B$ med [[Arcusfunktioner *Rules*|arcussinus]] får man en första vinkel, $B_1.$</translate> |
| | \begin{aligned} | | \begin{aligned} |
| | B_1=\arcsin\left(\dfrac{\sin(40\Deg)\g 2}{1.5}\right) \approx 59\Deg | | B_1=\arcsin\left(\dfrac{\sin(40\Deg)\g 2}{1.5}\right) \approx 59\Deg |
| | \end{aligned} | | \end{aligned} |
| − | <translate>Men eftersom en vinkel $v$ och $180\Deg - v$ har [[Rules:SinMirror|samma sinusvärde]] finns även en andra vinkel, $B_2.$</translate> | + | <translate><!--T:4--> |
| | + | Men eftersom en vinkel $v$ och $180\Deg - v$ har [[Rules:SinMirror|samma sinusvärde]] finns även en andra vinkel, $B_2.$</translate> |
| | \[ | | \[ |
| | B_2 \approx 180\Deg-59\Deg=121\Deg. | | B_2 \approx 180\Deg-59\Deg=121\Deg. |
| | \] | | \] |
| − | <translate>Detta kan tolkas som att det finns två olika sätt att rita en triangel med vinkeln $40\Deg$ och sidlängderna $2$ och $1.5.$ En med spetsig vinkel, $B_1=59\Deg,$ och en med trubbig vinkel, $B_2=121\Deg.$</translate> | + | <translate><!--T:5--> |
| | + | Detta kan tolkas som att det finns två olika sätt att rita en triangel med vinkeln $40\Deg$ och sidlängderna $2$ och $1.5.$ En med spetsig vinkel, $B_1=59\Deg,$ och en med trubbig vinkel, $B_2=121\Deg.$</translate> |
| | | | |
| | <jsxgpre id="sinussatsenwhyI" static=1> | | <jsxgpre id="sinussatsenwhyI" static=1> |
| Rad 75: |
Rad 80: |
| | | | |
| | <!-- Rent geometriskt går det '''inte alltid''' att bilda två trianglar. Om $A+B_2$ i animationen nedan blir lika med eller större än $180\Deg$ finns "inga grader över" till den mörka triangelns toppvinkel, och då kan ingen alternativ sträcka $a$ ritas vilket innebär att man endast får '''ett''' rimligt svar.--> | | <!-- Rent geometriskt går det '''inte alltid''' att bilda två trianglar. Om $A+B_2$ i animationen nedan blir lika med eller större än $180\Deg$ finns "inga grader över" till den mörka triangelns toppvinkel, och då kan ingen alternativ sträcka $a$ ritas vilket innebär att man endast får '''ett''' rimligt svar.--> |
| − | <translate>Det går alltid att skapa en triangel som innehåller den spetsiga vinkeln $B_1,$ men det är inte alltid möjligt att bilda en med den trubbiga vinkeln $B_2.$</translate> | + | <translate><!--T:6--> |
| | + | Det går alltid att skapa en triangel som innehåller den spetsiga vinkeln $B_1,$ men det är inte alltid möjligt att bilda en med den trubbiga vinkeln $B_2.$</translate> |
| | | | |
| | <jsxgpre id="sinussatsenwhyII_alt_2"> | | <jsxgpre id="sinussatsenwhyII_alt_2"> |
| Rad 198: |
Rad 204: |
| | </jsxgpre> | | </jsxgpre> |
| | | | |
| − | <translate>Ibland blir $B_2$ så stor att den tillsammans med vinkeln $A$ blir större än $180\Deg,$ och då går det inte bilda en triangel eftersom alla trianglar måste ha vinkelsumman $180\Deg.$ Man kan visa att detta sker om vinkeln $B_1$ är mindre än vinkeln $A.$</translate> | + | <translate><!--T:7--> |
| | + | Ibland blir $B_2$ så stor att den tillsammans med vinkeln $A$ blir större än $180\Deg,$ och då går det inte bilda en triangel eftersom alla trianglar måste ha vinkelsumman $180\Deg.$ Man kan visa att detta sker om vinkeln $B_1$ är mindre än vinkeln $A.$</translate> |
| | | | |
| | <!-- Summan $A+B_2$ kommer håller sig mindre än $180\Deg$ så länge som vinkel $B_1$ är större än $A.$ Därav [[Sinussatsen *Rules*|minnesreglen]] "Om första vinkeln som beräknas ($B_1$) är större än den givna vinkeln ($A$) får man två rimliga svar." --> | | <!-- Summan $A+B_2$ kommer håller sig mindre än $180\Deg$ så länge som vinkel $B_1$ är större än $A.$ Därav [[Sinussatsen *Rules*|minnesreglen]] "Om första vinkeln som beräknas ($B_1$) är större än den givna vinkeln ($A$) får man två rimliga svar." --> |
När man använder sinussatsen för att bestämma en vinkel i en triangel måste man komma ihåg att det finns två vinklar mellan
0∘ och
180∘ som ger samma sinusvärde. Detta betyder att sinussatsen kan leda fram till två
olika trianglar. Exempelvis kan man använda den för att bestämma vinkeln
B i triangeln nedan.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Ställer man upp satsen och löser ut
B med arcussinus får man en första vinkel,
B1.
B1=arcsin(1.5sin(40∘)⋅2)≈59∘
Men eftersom en vinkel
v och
180∘−v har finns även en andra vinkel,
B2.
B2≈180∘−59∘=121∘.
Detta kan tolkas som att det finns två olika sätt att rita en triangel med vinkeln
40∘ och sidlängderna
2 och
1.5. En med spetsig vinkel,
B1=59∘, och en med trubbig vinkel,
B2=121∘. Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Det går alltid att skapa en triangel som innehåller den spetsiga vinkeln B1, men det är inte alltid möjligt att bilda en med den trubbiga vinkeln B2.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Ibland blir B2 så stor att den tillsammans med vinkeln A blir större än 180∘, och då går det inte bilda en triangel eftersom alla trianglar måste ha vinkelsumman 180∘. Man kan visa att detta sker om vinkeln B1 är mindre än vinkeln A.