{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }} expand_more {{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}
{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Jrhoads (Diskussion | bidrag) | Jrhoads (Diskussion | bidrag) (Den här versionen är märkt för översättning) | ||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | =<translate>Hur härleds deriveringsregeln för potensfunktioner?</translate>= | + | =<translate><!--T:1--> |
| − | <translate>För [[Potensfunktion *Wordlist*|potensfunktioner]] gäller följande [[Derivatan av en potensfunktion *Rules*|deriveringsregel]].</translate> | + | Hur härleds deriveringsregeln för potensfunktioner?</translate>= |
| + | <translate><!--T:2--> | ||
| + | För [[Potensfunktion *Wordlist*|potensfunktioner]] gäller följande [[Derivatan av en potensfunktion *Rules*|deriveringsregel]].</translate> | ||
<eqbox> | <eqbox> | ||
\DeriveMonom | \DeriveMonom | ||
</eqbox> | </eqbox> | ||
| − | <translate>Denna regel gäller för alla konstanter $n,$ men har ett ganska invecklat bevis om den ska visas generellt. Därför gäller följande härledning bara för exponenter $n$ som är positiva heltal, men kan utvidgas till att gälla för alla $n.$ Man sätter in $f(x) = x^n$ i [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]]:</translate> | + | <translate><!--T:3--> |
| + | Denna regel gäller för alla konstanter $n,$ men har ett ganska invecklat bevis om den ska visas generellt. Därför gäller följande härledning bara för exponenter $n$ som är positiva heltal, men kan utvidgas till att gälla för alla $n.$ Man sätter in $f(x) = x^n$ i [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]]:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^n - x^n}{h}. | f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^n - x^n}{h}. | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Att utveckla $(x+n)^n$ kommer att resultera i ett långt och krångligt uttryck som kommer att innehålla fler termer ju större $n$ är. Man behöver dock bara titta på några av dessa för att kunna bestämma [[Gränsvärde *Wordlist*|gränsvärdet]]. Först skriver man om $(x+n)^n$ som en multiplikation av $n$ stycken parenteser:</translate> | + | <translate><!--T:4--> |
| + | Att utveckla $(x+n)^n$ kommer att resultera i ett långt och krångligt uttryck som kommer att innehålla fler termer ju större $n$ är. Man behöver dock bara titta på några av dessa för att kunna bestämma [[Gränsvärde *Wordlist*|gränsvärdet]]. Först skriver man om $(x+n)^n$ som en multiplikation av $n$ stycken parenteser:</translate> | ||
\[ | \[ | ||
(x+h)(x+h)(x+h)\ldots | (x+h)(x+h)(x+h)\ldots | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>När man multiplicerar ihop dessa parenteser kommer varje term i den första parentesen multipliceras med alla i den andra parentesen, tredje parentesen och så vidare. När alla $x$ multipliceras med varandra får man termen $x^n.$</translate> | + | <translate><!--T:5--> |
| + | När man multiplicerar ihop dessa parenteser kommer varje term i den första parentesen multipliceras med alla i den andra parentesen, tredje parentesen och så vidare. När alla $x$ multipliceras med varandra får man termen $x^n.$</translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
| − | <translate>[[File:derivatan_av_en_potensfunktion_2b.svg|center|link=|alt=multiplikation av binom x+h]]</translate> | + | <translate><!--T:6--> |
| + | [[File:derivatan_av_en_potensfunktion_2b.svg|center|link=|alt=multiplikation av binom x+h]]</translate> | ||
TAGS: | TAGS: | ||
| Rad 31: | Rad 37: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
| − | <translate>Sedan multipliceras $h$ från den första parentesen med $x$ från de resterande $n-1$ parenteser, vilket ger termen $h \g x^{n - 1}.$</translate> | + | <translate><!--T:7--> |
| + | Sedan multipliceras $h$ från den första parentesen med $x$ från de resterande $n-1$ parenteser, vilket ger termen $h \g x^{n - 1}.$</translate> | ||
<PGFTikz> | <PGFTikz> | ||
| − | <translate>[[File:derivatan_av_en_potensfunktion_3b.svg|center|link=|alt=multiplikation av binom x+h]]</translate> | + | <translate><!--T:8--> |
| + | [[File:derivatan_av_en_potensfunktion_3b.svg|center|link=|alt=multiplikation av binom x+h]]</translate> | ||
TAGS: | TAGS: | ||
| Rad 49: | Rad 57: | ||
</PGFTikz> | </PGFTikz> | ||
| − | <translate>Man kan få en likadan term om man multiplicerar $h$ från den andra parentesen med $x$ från alla de andra, och på samma sätt för $h$ från den tredje parentesen ända upp till den $n$:te parentesen. Då får man totalt $n$ termer på formen $h \g x^{n - 1},$ vilket kan skrivas $n \g h \g x^{n - 1}.$ Resten av termerna man får av att multiplicera ihop parenteserna kommer att ha minst två $h$ multiplicerade med varandra, det vill säga</translate> | + | <translate><!--T:9--> |
| + | Man kan få en likadan term om man multiplicerar $h$ från den andra parentesen med $x$ från alla de andra, och på samma sätt för $h$ från den tredje parentesen ända upp till den $n$:te parentesen. Då får man totalt $n$ termer på formen $h \g x^{n - 1},$ vilket kan skrivas $n \g h \g x^{n - 1}.$ Resten av termerna man får av att multiplicera ihop parenteserna kommer att ha minst två $h$ multiplicerade med varandra, det vill säga</translate> | ||
\[ | \[ | ||
| − | h^2 \g x^{n - 2}, \quad h^3 \g x^{n - 3} \quad \text{<translate>\osv</translate>} | + | h^2 \g x^{n - 2}, \quad h^3 \g x^{n - 3} \quad \text{<translate><!--T:10--> |
| + | \osv</translate>} | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Utvecklar man $(x + h)^n$ får man alltså $x^n,$ $nhx^{n-1}$ och en stor mängd termer med $h^2$ eller högre exponent. Man kan skriva detta som</translate> | + | <translate><!--T:11--> |
| + | Utvecklar man $(x + h)^n$ får man alltså $x^n,$ $nhx^{n-1}$ och en stor mängd termer med $h^2$ eller högre exponent. Man kan skriva detta som</translate> | ||
\[ | \[ | ||
(x+h)^n = x^n + nhx^{n-1} + \mathcal{O}\left(h^2\right), | (x+h)^n = x^n + nhx^{n-1} + \mathcal{O}\left(h^2\right), | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>där $\mathcal{O}\left(h^2\right)$ representerar alla termer med $h^2$ eller högre exponent. Man kan nu sätta in detta i derivatans definition och förenkla.</translate> | + | <translate><!--T:12--> |
| + | där $\mathcal{O}\left(h^2\right)$ representerar alla termer med $h^2$ eller högre exponent. Man kan nu sätta in detta i derivatans definition och förenkla.</translate> | ||
<deduct> | <deduct> | ||
\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^n - x^n}{h} | \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(x+h)^n - x^n}{h} | ||
| Rad 69: | Rad 81: | ||
\lim \limits_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \dfrac{\mathcal{O}\left(h^2\right)}{h} \right) | \lim \limits_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \dfrac{\mathcal{O}\left(h^2\right)}{h} \right) | ||
</deduct> | </deduct> | ||
| − | <translate>$\mathcal{O}\left(h^2\right)$ innehåller bara termer med $h^2$ eller högre exponent som alla kan divideras med $h,$ och när de divideras sänks alla exponenter till $h$ med 1. Alla termer kommer dock fortfarande att innehålla minst en faktor $h,$ så man kan skriva divisionen som</translate> | + | <translate><!--T:13--> |
| + | $\mathcal{O}\left(h^2\right)$ innehåller bara termer med $h^2$ eller högre exponent som alla kan divideras med $h,$ och när de divideras sänks alla exponenter till $h$ med 1. Alla termer kommer dock fortfarande att innehålla minst en faktor $h,$ så man kan skriva divisionen som</translate> | ||
\[ | \[ | ||
\dfrac{\mathcal{O}\left(h^2\right)}{h} = \mathcal{O}(h), | \dfrac{\mathcal{O}\left(h^2\right)}{h} = \mathcal{O}(h), | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>där $\mathcal{O}(h)$ är en summa av termer som alla innehåller faktorn $h.$ Då får man</translate> | + | <translate><!--T:14--> |
| + | där $\mathcal{O}(h)$ är en summa av termer som alla innehåller faktorn $h.$ Då får man</translate> | ||
\[ | \[ | ||
\lim \limits_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \dfrac{\mathcal{O}\left(h^2\right)}{h} \right) = \lim \limits_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \mathcal{O}(h) \right). | \lim \limits_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \dfrac{\mathcal{O}\left(h^2\right)}{h} \right) = \lim \limits_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \mathcal{O}(h) \right). | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Den första termen i gränsvärdet innehåller inget $h,$ så den kommer inte påverkas av att $h$ går mot $0.$ Den andra termen, $\mathcal{O}(h),$ kommer däremot att försvinna helt eftersom alla termer den representerar innehåller minst en faktor $h.$ När $h$ går mot $0$ kommer därför alla dessa termer gå mot $0$ och $\mathcal{O}(h)$ försvinner. Man får</translate> | + | <translate><!--T:15--> |
| + | Den första termen i gränsvärdet innehåller inget $h,$ så den kommer inte påverkas av att $h$ går mot $0.$ Den andra termen, $\mathcal{O}(h),$ kommer däremot att försvinna helt eftersom alla termer den representerar innehåller minst en faktor $h.$ När $h$ går mot $0$ kommer därför alla dessa termer gå mot $0$ och $\mathcal{O}(h)$ försvinner. Man får</translate> | ||
\[ | \[ | ||
\lim_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \mathcal{O}(h) \right) = nx^{n-1}. | \lim_{h \to 0}\left( nx^{n-1} + \mathcal{O}(h) \right) = nx^{n-1}. | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>Detta betyder att</translate> | + | <translate><!--T:16--> |
| + | Detta betyder att</translate> | ||
\[ | \[ | ||
f'(x) = nx^{n-1} | f'(x) = nx^{n-1} | ||
\] | \] | ||
| − | <translate>när $n$ är ett positivt heltal.</translate> | + | <translate><!--T:17--> |
| + | när $n$ är ett positivt heltal.</translate> | ||
[[Kategori:Bblock]] | [[Kategori:Bblock]] | ||
Versionen från 30 januari 2018 kl. 14.10
Hur härleds deriveringsregeln för potensfunktioner?
För potensfunktioner gäller följande deriveringsregel.
D(xn)=nxn−1
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limh(x+h)n−xn.
Att utveckla (x+n)n kommer att resultera i ett långt och krångligt uttryck som kommer att innehålla fler termer ju större n är. Man behöver dock bara titta på några av dessa för att kunna bestämma gränsvärdet. Först skriver man om (x+n)n som en multiplikation av n stycken parenteser:
(x+h)(x+h)(x+h)…
När man multiplicerar ihop dessa parenteser kommer varje term i den första parentesen multipliceras med alla i den andra parentesen, tredje parentesen och så vidare. När alla x multipliceras med varandra får man termen xn. 
Sedan multipliceras h från den första parentesen med x från de resterande n−1 parenteser, vilket ger termen h⋅xn−1.
h2⋅xn−2,h3⋅xn−3osv.
Utvecklar man (x+h)n får man alltså xn, nhxn−1 och en stor mängd termer med h2 eller högre exponent. Man kan skriva detta som
(x+h)n=xn+nhxn−1+O(h2),
där O(h2) representerar alla termer med h2 eller högre exponent. Man kan nu sätta in detta i derivatans definition och förenkla.
h→0limh(x+h)n−xn
\SubstII{(x+h)^n}{x^n + nhx^{n-1} + \mathcal{O}\left(h^2\right)}
h→0limhxn+nhxn−1+O(h2)−xn
\FT
h→0limhnhxn−1+O(h2)
\AddFracRev
h→0lim(hnhxn−1+hO(h2))
\FK
h→0lim(nxn−1+hO(h2))
hO(h2)=O(h),
där O(h) är en summa av termer som alla innehåller faktorn h. Då får man
h→0lim(nxn−1+hO(h2))=h→0lim(nxn−1+O(h)).
Den första termen i gränsvärdet innehåller inget h, så den kommer inte påverkas av att h går mot 0. Den andra termen, O(h), kommer däremot att försvinna helt eftersom alla termer den representerar innehåller minst en faktor h. När h går mot 0 kommer därför alla dessa termer gå mot 0 och O(h) försvinner. Man får
h→0lim(nxn−1+O(h))=nxn−1.
Detta betyder att f′(x)=nxn−1
när n är ett positivt heltal.