| |
| Rad 133: |
Rad 133: |
| | f(x) =\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h} | | f(x) =\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{A(x+h)-A(x)}{h} |
| | </deduct> | | </deduct> |
| − | Titta nu på högerledet. Det gränsvärdet är ju derivatans definition för funktionen $A(x),$ dvs. $A'(x)$ dvs. | + | Titta nu på högerledet. Det gränsvärdet är ju [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]] för funktionen $A(x),$ dvs. $A'(x)$ dvs. |
| | \[ | | \[ |
| | f(x)=A'(x). | | f(x)=A'(x). |
| Rad 143: |
Rad 143: |
| | där $F'(x)=f(x).$ Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och [[Derivata *Wordlist*|derivata]] är användbart när man ska [[Beräkna integral med primitiv funktion *Method*|beräkna integraler algebraiskt]]. | | där $F'(x)=f(x).$ Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och [[Derivata *Wordlist*|derivata]] är användbart när man ska [[Beräkna integral med primitiv funktion *Method*|beräkna integraler algebraiskt]]. |
| | </ebox> | | </ebox> |
| − | <!--
| |
| − | Mellan begreppen [[Derivata *Wordlist*|derivata]] och [[Integral *Wordlist*|integral]] finns följande samband. Sambandet säger att derivatan av en [[Primitiv funktion *Wordlist*|primitiv funktion]] $F(x)$ är lika med funktionen $f(x),$ och att detta är ekvivalent med att integralen av funktionen $f(x)$ är lika med en primitiv funktion $F(x).$ Detta är användbart om man behöver bestämma en primitiv funktion när man redan känner till funktionen, eller tvärsom.
| |
| | | | |
| − | <PGFTikz>
| |
| − | [[File:samband_mellan_derivata_och_integral_1.svg|center|link=|alt=samband mellan integral och derivata]]
| |
| − | TAGS:
| |
| − | <PGFTikZPreamble>
| |
| − |
| |
| − | </PGFTikZPreamble>
| |
| − | \begin{tikzpicture}[font=\scriptsize]
| |
| − | \draw [Infobox] (-2.4,0.8) rectangle++ (4.8,0.8);
| |
| − | \node at (0,1.18){$F'(x)=f(x)\ \Longleftrightarrow \ \int f(x)\text{ d}x=F(x)$};
| |
| − | \end{tikzpicture}
| |
| − | </PGFTikz>
| |
| − | -->
| |
| | | | |
| | [[Kategori:Rules]] | | [[Kategori:Rules]] |
Integralen i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till
f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen
t=x. Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Eftersom områdets area beror på den övre integrationsgränsen,
x, kan man definiera en
areafunktion,
som beräknar arean av området mellan
f(t) och
t-axeln från
0 till
x. Denna areafunktion är en primitiv funktion till integranden, vilket gör att man kan formulera ett samband mellan primitiva funktioner och integraler. Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen
A(x) för att beräkna arean av ett godtyckligt område under kurvan. Mellan
0 och
x beskrivs arean av integralen
A(x)=∫0xf(t) dt.
Om gränsen flyttas längden
h åt höger kommer den nya gränsen bli
x+h och arean under grafen beskrivs av
A(x+h)=∫0x+hf(t) dt.
Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs.
A(x+h)−A(x).
Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden
h och där höjden är funktionsvärdet för
f(t) vid
x, dvs.
f(x). Det ger sambandet
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x).
Genom att låta bredden
h gå mot
0 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att
A(x) är en primitiv funktion till
f(x), dvs.
A′(x)=f(x).
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x)
f(x)≈hA(x+h)−A(x)
f(x)=h→0limhA(x+h)−A(x)
Titta nu på högerledet. Det gränsvärdet är ju derivatans definition för funktionen
A(x), dvs.
A′(x) dvs.
f(x)=A′(x).
Detta betyder att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden
f:
där
F′(x)=f(x). Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.
