| |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| | <hbox type="h1" iconcolor="rules">Samband mellan derivata och integral</hbox> | | <hbox type="h1" iconcolor="rules">Samband mellan derivata och integral</hbox> |
| − | En integral kan tolkas som en area. T.ex. kan | + | En [[Integral *Wordlist*|integral]] kan tolkas som en area. T.ex. kan |
| | \[ | | \[ |
| | \IntLineUpMono{0}{5}{f(t)}{t} | | \IntLineUpMono{0}{5}{f(t)}{t} |
| Rad 15: |
Rad 15: |
| | b.text(2.5,1.6,'\\displaystyle A= \\int_0^5f(t)\\, \\text{d}t',{fontsize:1.5}); | | b.text(2.5,1.6,'\\displaystyle A= \\int_0^5f(t)\\, \\text{d}t',{fontsize:1.5}); |
| | </jsxgpre> | | </jsxgpre> |
| − | Genom att ändra på den övre gränsen kommer områdets area att förändras. För en given funktion $f$ kommer arean på området mellan koordinataxlarna och $f(t)$ '''enbart''' att bero på den övre integrationsgränsen. Genom att låta den vara $x$ kan man definiera en ''areafunktion'', | + | Genom att ändra på den övre gränsen kommer områdets area att förändras. För en given funktion $f$ kommer arean på området mellan koordinataxlarna och $f(t)$ '''enbart''' att bero på den [[Övre integrationsgräns *Wordlist*|övre integrationsgränsen]]. Genom att låta den vara $x$ kan man definiera en ''areafunktion'', |
| | \[ | | \[ |
| | A(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} | | A(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} |
| | \] | | \] |
| − | som beräknar arean av området mellan $f(t)$ och $t$-axeln mellan $0$ och $x.$ Med hjälp av areaberäkningar och derivatans definition kan man visa att | + | som beräknar arean av området mellan $f(t)$ och $t$-axeln mellan $0$ och $x.$ Med hjälp av areaberäkningar och [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]] kan man visa att |
| | \[ | | \[ |
| | A(x)=F(x) \quad \text{där} \quad F'(x)=f(x), | | A(x)=F(x) \quad \text{där} \quad F'(x)=f(x), |
| | \] | | \] |
| − | dvs. att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden. | + | dvs. att areafunktionen är en [[Primitiv funktion *Wordlist*|primitiv funktion]] till [[Integrand *Wordlist*|integranden]]. |
| − | <!--Om man bestämmer en [[Primitiv funktion *Wordlist*|primitiv funktion]] kan man få tillbaka funktionen genom att [[Misc:Derivera funktioner|derivera]]. Detta resonemang kan överföras på [[Integral *Wordlist*|integraler]].
| + | <!-- |
| | <PGFTikz> | | <PGFTikz> |
| | [[File:samband_mellan_derivata_och_integral_1.svg|center|link=|alt=En integral]] | | [[File:samband_mellan_derivata_och_integral_1.svg|center|link=|alt=En integral]] |
| Rad 63: |
Rad 63: |
| | </PGFTikz> | | </PGFTikz> |
| | | | |
| − | Om funktionen $F(x)$ definieras som integralen av en funktion $f(t)$ från $0$ till $x$ är nämligen '''derivatan av integralen''', $F'(x),$ lika med $f(x).$-->
| + | --> |
| − | | |
| | <ebox title="$F(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t \quad \text{om} \quad F'(x)=f(x)$" labletitle="Regel"> | | <ebox title="$F(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t \quad \text{om} \quad F'(x)=f(x)$" labletitle="Regel"> |
| | Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen $A(x)$ för att beräkna integralen: | | Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen $A(x)$ för att beräkna integralen: |
| Rad 166: |
Rad 165: |
| | </PGFTikz> | | </PGFTikz> |
| | | | |
| − | Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden $h$ och där höjden är funktionsvärdet för $f(t)$ vid $x,$ dvs. $f(x).$ Det ger sambandet | + | Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden $h$ och där höjden är [[Funktionsvärde *Wordlist*|funktionsvärdet]] för $f(t)$ vid $x,$ dvs. $f(x).$ Det ger sambandet |
| | \[ | | \[ |
| | f(x)\g h \approx A(x+h)-A(x). | | f(x)\g h \approx A(x+h)-A(x). |
| Rad 185: |
Rad 184: |
| | A(x)=F(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} | | A(x)=F(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} |
| | \] | | \] |
| − | där $F'(x)=f(x).$ Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt. | + | där $F'(x)=f(x).$ Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och [[Derivata *Wordlist*|derivata]] är användbart när man ska [[Beräkna integral med primitiv funktion *Method*|beräkna integraler algebraiskt]]. |
| | </ebox> | | </ebox> |
| | <!-- | | <!-- |
En integral kan tolkas som en area. T.ex. kan
tolkas som arean av området mellan kurvan till
f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen
t=5. Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Genom att ändra på den övre gränsen kommer områdets area att förändras. För en given funktion
f kommer arean på området mellan koordinataxlarna och
f(t) enbart att bero på den övre integrationsgränsen. Genom att låta den vara
x kan man definiera en
areafunktion,
som beräknar arean av området mellan
f(t) och
t-axeln mellan
0 och
x. Med hjälp av areaberäkningar och derivatans definition kan man visa att
A(x)=F(x)da¨rF′(x)=f(x),
dvs. att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden. Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen
A(x) för att beräkna integralen:
A(x)=∫0xf(t) dt.
Om gränsen flyttas längden
h åt höger kommer den nya gränsen bli
x+h och arean under grafen beskrivs av
A(x+h)=∫0x+hf(t) dt.
Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs.
A(x+h)−A(x).
Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden
h och där höjden är funktionsvärdet för
f(t) vid
x, dvs.
f(x). Det ger sambandet
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x).
Genom att låta bredden
h gå mot
0 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att
A(x) är en primitiv funktion till
f(x), dvs.
A′(x)=f(x).
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x)
f(x)≈hA(x+h)−A(x)
f(x)=h→0limhA(x+h)−A(x)
f(x)=A′(x)
Detta betyder att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden
f dvs.
där
F′(x)=f(x). Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.
