Maria is (Diskussion | bidrag) | |
| Rad 101: |
Rad 101: |
| | ymin=-1.25, | | ymin=-1.25, |
| | ymax=4.5, | | ymax=4.5, |
| − | xtick={5,6}, xticklabels={$x$,}, | + | xtick={5,6}, xticklabels={,,}, |
| | ytick={0}, | | ytick={0}, |
| | disabledatascaling, | | disabledatascaling, |
| Rad 110: |
Rad 110: |
| | | | |
| | \end{axis} | | \end{axis} |
| − | \node[font=\tiny] at (2.15,0.08){$x\hspace{-1pt}+\hspace{-1pt}h$}; | + | %\node[font=\tiny] at (2.15,0.08){$x\hspace{-1pt}+\hspace{-1pt}h$}; |
| | %\node[font=\tiny,scale=0.9] at (1,-0.5){$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\text{d}t$}; | | %\node[font=\tiny,scale=0.9] at (1,-0.5){$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\text{d}t$}; |
| | \node[font=\tiny] at (2.3,1){$f(t)$}; | | \node[font=\tiny] at (2.3,1){$f(t)$}; |
| | \node(n)[scale=0.8,font=\tiny,draw=black!60,inner sep=1.5pt,,fill=yellow!15, rounded corners=2pt] at (1.6,1.4){$A(x\hspace{-1pt}+\hspace{-1pt}h)\hspace{-1pt}-\hspace{-1pt}A(x)$}; | | \node(n)[scale=0.8,font=\tiny,draw=black!60,inner sep=1.5pt,,fill=yellow!15, rounded corners=2pt] at (1.6,1.4){$A(x\hspace{-1pt}+\hspace{-1pt}h)\hspace{-1pt}-\hspace{-1pt}A(x)$}; |
| | \draw[black!60](n.340) to (1.85,0.7); | | \draw[black!60](n.340) to (1.85,0.7); |
| | + | \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=1pt}] (1.97,0.15)--++(-0.27,0)node[midway,below,font=\tiny]{$h$}; |
| | \end{scope} | | \end{scope} |
| | \end{tikzpicture} | | \end{tikzpicture} |
Integralen i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till
f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen
t=x. Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Eftersom områdets area beror på den övre integrationsgränsen,
x, kan man definiera en
areafunktion,
som beräknar arean av området mellan
f(t) och
t-axeln från
0 till
x. Denna areafunktion är en primitiv funktion till integranden, vilket gör att man kan formulera ett samband mellan primitiva funktioner och integraler. Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen
A(x) för att beräkna integralen:
A(x)=∫0xf(t) dt.
Om gränsen flyttas längden
h åt höger kommer den nya gränsen bli
x+h och arean under grafen beskrivs av
A(x+h)=∫0x+hf(t) dt.
Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs.
A(x+h)−A(x).
Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden
h och där höjden är funktionsvärdet för
f(t) vid
x, dvs.
f(x). Det ger sambandet
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x).
Genom att låta bredden
h gå mot
0 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att
A(x) är en primitiv funktion till
f(x), dvs.
A′(x)=f(x).
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x)
f(x)≈hA(x+h)−A(x)
f(x)=h→0limhA(x+h)−A(x)
f(x)=A′(x)
Detta betyder att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden
f dvs.
där
F′(x)=f(x). Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.
