Maria is (Diskussion | bidrag) | Maria is (Diskussion | bidrag) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| | <hbox type="h1" iconcolor="rules">Samband mellan derivata och integral</hbox> | | <hbox type="h1" iconcolor="rules">Samband mellan derivata och integral</hbox> |
| − | Integralen | + | Integralen i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till $f(t)$ och koordinataxlarna upp till den övre gränsen $t=x.$ |
| − | \[
| |
| − | \IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t}
| |
| − | \]
| |
| − | kan tolkas som arean av området mellan kurvan till $f(t)$ och koordinataxlarna upp till den övre gränsen $t=x.$ | |
| | <jsxgpre id="samband_mellan_derivata_och_integral_misc"> | | <jsxgpre id="samband_mellan_derivata_och_integral_misc"> |
| | var b=mlg.board([-0.5, 3.5, 7.5,-0.5],{desktopSize:'medium'}); | | var b=mlg.board([-0.5, 3.5, 7.5,-0.5],{desktopSize:'medium'}); |
| Rad 15: |
Rad 11: |
| | b.text(2.5,1.6,'\\displaystyle A= \\int_0^xf(t)\\, \\text{d}t',{fontsize:1.5}); | | b.text(2.5,1.6,'\\displaystyle A= \\int_0^xf(t)\\, \\text{d}t',{fontsize:1.5}); |
| | </jsxgpre> | | </jsxgpre> |
| − | Man kan definiera detta som en ''areafunktion'',
| + | |
| − | \[
| |
| − | A(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t}
| |
| − | \]
| |
| − | som beräknar arean av området mellan $f(t)$ och $t$-axeln mellan $0$ och $x.$ Denna areafunktionen är en [[Primitiv funktion *Wordlist*|primitiv funktion]] till [[Integrand *Wordlist*|integranden]].
| |
| − | <!--
| |
| | <PGFTikz> | | <PGFTikz> |
| | [[File:samband_mellan_derivata_och_integral_1.svg|center|link=|alt=En integral]] | | [[File:samband_mellan_derivata_och_integral_1.svg|center|link=|alt=En integral]] |
| Rad 59: |
Rad 50: |
| | </PGFTikz> | | </PGFTikz> |
| | | | |
| − | --> | + | Man kan definiera detta som en ''areafunktion'', |
| | + | \[ |
| | + | A(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} |
| | + | \] |
| | + | som beräknar arean av området mellan $f(t)$ och $t$-axeln mellan $0$ och $x.$ Denna areafunktionen är en [[Primitiv funktion *Wordlist*|primitiv funktion]] till [[Integrand *Wordlist*|integranden]], vilket gör att man kan formulera ett samband mellan en primitiv funktion och dess derivata. |
| | + | |
| | + | |
| | + | |
| | <ebox title="$F(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t \quad \text{om} \quad F'(x)=f(x)$" labletitle="Regel"> | | <ebox title="$F(x)=\displaystyle{\int_0^x} f(t)\text{ d}t \quad \text{om} \quad F'(x)=f(x)$" labletitle="Regel"> |
| | Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen $A(x)$ för att beräkna integralen: | | Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen $A(x)$ för att beräkna integralen: |
Integralen i figuren kan tolkas som arean av området mellan kurvan till
f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen
t=x. Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Man kan definiera detta som en
areafunktion,
som beräknar arean av området mellan
f(t) och
t-axeln mellan
0 och
x. Denna areafunktionen är en primitiv funktion till integranden, vilket gör att man kan formulera ett samband mellan en primitiv funktion och dess derivata.
Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen
A(x) för att beräkna integralen:
A(x)=∫0xf(t) dt.
Om gränsen flyttas längden
h åt höger kommer den nya gränsen bli
x+h och arean under grafen beskrivs av
A(x+h)=∫0x+hf(t) dt.
Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs.
A(x+h)−A(x).
Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden
h och där höjden är funktionsvärdet för
f(t) vid
x, dvs.
f(x). Det ger sambandet
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x).
Genom att låta bredden
h gå mot
0 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att
A(x) är en primitiv funktion till
f(x), dvs.
A′(x)=f(x).
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x)
f(x)≈hA(x+h)−A(x)
f(x)=h→0limhA(x+h)−A(x)
f(x)=A′(x)
Detta betyder att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden
f dvs.
där
F′(x)=f(x). Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.
