Maria is (Diskussion | bidrag) | Maria is (Diskussion | bidrag) |
| Rad 1: |
Rad 1: |
| | <hbox type="h1" iconcolor="rules">Samband mellan derivata och integral</hbox> | | <hbox type="h1" iconcolor="rules">Samband mellan derivata och integral</hbox> |
| − | T.ex. kan
| + | Integralen |
| | \[ | | \[ |
| | \IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} | | \IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} |
| | \] | | \] |
| − | tolkas som arean av området mellan kurvan till $f(t)$ och koordinataxlarna upp till den övre gränsen $t=5.$ | + | kan tolkas som arean av området mellan kurvan till $f(t)$ och koordinataxlarna upp till den övre gränsen $t=x.$ |
| − | <jsxgpre id="samband_mellan_derivata_och_integral_rules_2"> | + | <jsxgpre id="samband_mellan_derivata_och_integral_misc"> |
| | var b=mlg.board([-0.5, 3.5, 7.5,-0.5],{desktopSize:'medium'}); | | var b=mlg.board([-0.5, 3.5, 7.5,-0.5],{desktopSize:'medium'}); |
| | var xax=b.xaxis(10,0,'t') | | var xax=b.xaxis(10,0,'t') |
| | var yax=b.yaxis(10,0,'y'); | | var yax=b.yaxis(10,0,'y'); |
| − | b.ticksX(xax,x) | + | b.txt(5,-0.2,'x'); |
| | var f = b.func('0.4*sin(0.7*x)+2.5'); | | var f = b.func('0.4*sin(0.7*x)+2.5'); |
| − | b.legend(f,6,'f(t)'); | + | b.legend(f,6,'f(t)'); |
| | b.integral(f,0,5); | | b.integral(f,0,5); |
| | b.text(2.5,1.6,'\\displaystyle A= \\int_0^xf(t)\\, \\text{d}t',{fontsize:1.5}); | | b.text(2.5,1.6,'\\displaystyle A= \\int_0^xf(t)\\, \\text{d}t',{fontsize:1.5}); |
| | </jsxgpre> | | </jsxgpre> |
| − | Genom att ändra på den övre gränsen kommer områdets area att förändras. För en given funktion $f$ kommer arean på området mellan koordinataxlarna och $f(t)$ '''enbart''' att bero på den [[Övre integrationsgräns *Wordlist*|övre integrationsgränsen]]. Genom att låta den vara $x$ kan man definiera en ''areafunktion'',
| + | Man kan definiera detta som en ''areafunktion'', |
| | \[ | | \[ |
| | A(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} | | A(x)=\IntLineUpMono{0}{x}{f(t)}{t} |
| | \] | | \] |
| − | som beräknar arean av området mellan $f(t)$ och $t$-axeln mellan $0$ och $x.$ Med hjälp av areaberäkningar och [[Derivatans definition *Rules*|derivatans definition]] kan man visa att | + | som beräknar arean av området mellan $f(t)$ och $t$-axeln mellan $0$ och $x.$ Denna areafunktionen är en [[Primitiv funktion *Wordlist*|primitiv funktion]] till [[Integrand *Wordlist*|integranden]]. |
| − | \[
| |
| − | A(x)=F(x) \quad \text{där} \quad F'(x)=f(x),
| |
| − | \]
| |
| − | dvs. att areafunktionen är en [[Primitiv funktion *Wordlist*|primitiv funktion]] till [[Integrand *Wordlist*|integranden]].
| |
| | <!-- | | <!-- |
| | <PGFTikz> | | <PGFTikz> |
Integralen
kan tolkas som arean av området mellan kurvan till
f(t) och koordinataxlarna upp till den övre gränsen
t=x. Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Man kan definiera detta som en
areafunktion,
som beräknar arean av området mellan
f(t) och
t-axeln mellan
0 och
x. Denna areafunktionen är en primitiv funktion till integranden. Man kan motivera sambandet genom att använda areafunktionen
A(x) för att beräkna integralen:
A(x)=∫0xf(t) dt.
Om gränsen flyttas längden
h åt höger kommer den nya gränsen bli
x+h och arean under grafen beskrivs av
A(x+h)=∫0x+hf(t) dt.
Den lilla extra arean är då skillnaden mellan areorna, dvs.
A(x+h)−A(x).
Men den extra arean kan också approximeras med arean av en rektangel som har bredden
h och där höjden är funktionsvärdet för
f(t) vid
x, dvs.
f(x). Det ger sambandet
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x).
Genom att låta bredden
h gå mot
0 kommer vänsterledet att bli lika med arean som beskrivs i högerledet. Sedan kan man utnyttja derivatans definition för att visa att
A(x) är en primitiv funktion till
f(x), dvs.
A′(x)=f(x).
f(x)⋅h≈A(x+h)−A(x)
f(x)≈hA(x+h)−A(x)
f(x)=h→0limhA(x+h)−A(x)
f(x)=A′(x)
Detta betyder att areafunktionen är en primitiv funktion till integranden
f dvs.
där
F′(x)=f(x). Detta samband mellan integraler, primitiva funktioner och derivata är användbart när man ska beräkna integraler algebraiskt.
