Dashboard

Årskurs 8 Visa detaljer

3. Volym och begränsningsarea Åk 8

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 8 /

Kapitel 3

Volym och begränsningsarea Åk 8

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	13 sidor teori
	27 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Volym och begränsningsarea Åk 8

Sida av 13

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Geometriska kroppar
Rätblock
Volymen av ett rätblock
Begränsningsarea

Förkunskaper

Teori

Geometri i tre dimensioner

När vi arbetar med former i matematik börjar vi ofta med tvådimensionella figurer som månghörningar och cirklar. Dessa figurer har två dimensioner och sträcker sig i två riktningar.

Två dimensioner

Tvådimensionella geometriska kroppar utvidgar sig i två riktningar.

Men vad händer om vi adderar en tredje dimension? Då får vi tredimensionella former, som kallas geometriska kroppar.

Tre dimensioner

Dessa kroppar utvidgar sig i tre riktningar.

Geometriska kroppar

Det finns flera olika typer av geometriska kroppar, och några av dem har speciella namn. Vi ska nu se på några exempel.

Exempel

Hitta former i mörkret

Axel är i källaren i sitt hus men det finns inget ljus. Med hjälp av en ficklampa ser Axel tre kroppar på en hylla.

Vad heter varje fast kropp? Motivera ditt svar.

Det första kroppen har en polygonal bas och dess sidoytor är trianglar som möts i en gemensam punkt. Därför är det en pyramid.

När alla ytor möts i en gemensam topp och består av trianglar, kallas kroppen en pyramid.

Det andra kroppen har rektangulära baser och sidoytorna är rektanglar. Därför är det ett rätblock.

När baserna är rektanglar och sidoytorna också är rektanglar, är figuren ett rätblock.

Det tredje kroppen har cirkulära baser och sidoytan är böjd. Därför är det en cylinder.

En kropp med två cirkulära baser och en böjd sidoyta är en cylinder.

Svar: Den första kroppen är en pyramid, den andra kroppen är ett rätblock och den tredje kroppen är en cylinder.

Teori

Rätblock

En tredimensionell som ser ut som en rektangel kallas för ett rätblock.

Rätblockens egnskaper

Det har tre dimensioner: längd, bredd och höjd.
Alla vinklar mellan sidoytorna är räta vinklar (90^(∘)).
Ytan som rätblocket står på kallas för basytan.
Alla sidor (ytor) på ett rätblock är rektanglar.
Ett rätblock har 6 sidoytor, 12 kanter och 8 hörn.

Ett exempel på ett rätblock är en vanlig kartong.

Kub

Om alla kanter på ett rätblock är lika långa, är sidorna kvadrater och rätblocket kallas för en kub. En sådan form har lika långa kanter och alla ytor är lika stora.

En tärning är ett exempel på en kub.

Teori

Volym

När vi talar om volymen av en kropp menar vi hur stor plats den tar upp eller hur mycket kroppen rymmer.

Fyll kuben med vatten

För att beräkna volymen av en kropp börjar vi ofta med en kub där alla kanter är 1cm långa.

Kom ihåg kubik

En sådan kub har en volym på 1cm^3, vilket kallas kubikcentimeter. Vi kan beräkna dess volym så här:

1cm* 1cm* 1cm = 1cm^3

Eftersom en kropp har tre dimensioner (längd, bredd och höjd), mäts volymen i kubik, det vill säga en enhet upphöjd till tre, i detta fall är måtten beskrivna i kubikcentimeter (cm^3).

Observera dock att beroende på vilket enhetsmått man använder så skulle det lika gärna kunna mätas i kubikmillimeter (ml^3) eller kubikmeter (m^3), men just i detta fall så var kuben inte så stor så det räckte med att mäta dess volym i kubikcentimeter.

Exempel: Att beräkna volymen av ett rätblock

Betrakta ett rätblock med basytan 6cm* 2 cm = 12cm^2 och 4cm hög. På denna yta kan vi placera 12 kuber med en volym på 1cm^3 vardera. Eftersom rätblockets höjd är 4cm får det totalt plats 12 * 4 kuber = 48 kuber med volymen 1cm^3.

Rätblockets volym är alltså 48cm^3.

Formel: Volym av ett rätblock

Volymen (V) beräknas genom att vi multiplicerar basytans area (B) med höjden (h).

V = B * h

Teori

Begränsningsarea

När vi viker ut en kartong i form av ett rätblock, får vi en plan figur som består av sex rektanglar.

Om vi lägger ihop areorna för alla dessa rektanglar, får vi kartongens begränsningsarea. Det är den totala ytan som syns när vi betraktar kartongen utifrån.

Illustration

Vika figurer

När man viker ut en kub eller ett rätblock får man en plan figur med sex ytor. Men om man viker ihop en plan figur med sex ytor blir det inte alltid en kub eller ett rätblock. Vilken av de två figurerna kan vikas till en kub?

Figur I

Figur II

Vik figur I

Klicka på knappen för att vika figur I.

Vik figur II

Klicka på knappen för att vika figur II.

I figur II överlappar två ytor varandra, och därför blir det inte en kub.

Exempel

Beräkna det totala antalet höbalar

En bonde gjorde en hög av hösbalar i form av ett rätblock, där varje hösbal är en kub med sidan 1 meter vars volym är 1m^3.

Hur många höbalar finns det i högen?

l_(höbal) = 1m

V_(höbal) = 1m^3

Högen: 6m lång, 3m bred, 3m hög.

Börja med att skriva ner det du vet.

Basytan:

B = 6m * 3m = 18 m^2

Basytan är rektangelformen på bottenytan.

Volymen:

V=B * h = 18 m^2 * 3m =

=54 m^3

Volymen av ett rätblock är basytan gånger höjden.

Antal höbalar:

V/V_(höbal) = 54 m^3/1 m^3 = 54

Dela högen volym med volymen av en höbal för att se hur många som ryms i högen.

Svar: Det finns 54 höbalar i högen.

Bonden täckte höstacken med två presenningar: en för toppen och en för resten. Den första presenningen har en yta på 18m^2. Vad är ytan på den andra presenningen?

l = 6m, b = 3m, h = 3m

Den övre presenningen har en yta på 18 m^2.

Börja med att skriva ner det du vet.

Ytan som ska täckas:

Yta = 2* A_(fram) + 2* A_(sida)

Presenningen ska täcka fyra sidor av högen: fram, bak, höger och vänster. Motsatta sidor har samma area.

Framsidorna:

A_(fram) = 6 m * 3 m= 18m^2

Framsidan och baksidan är rektanglar med måtten 6m och 3m.

Sidoytorna:

A_(sida) = 3 m * 3 m = 9m^2

Varje sidoyta är en rektangel med måtten 3m och 3m.

Yta = (2* 18 + 2* 9)m^2 = 54m^2

Sätt in areorna i uttrycket för den totala ytan.

Svar: Den andra presenningen måste ha minst 54m^2 i yta.

Övning

Beräkning av volym eller begränsningsarea av ett rätblock

Teori

Längd, area och volym

När vi mäter olika storheter i matematiken, använder vi begreppen längd, area och volym. Dessa begrepp beskriver egenskaper hos olika geometriska objekt.

Längden av en sträcka.
Arean av en yta.
Volymen av en kropp.

För att förstå skillnaden mellan dessa begrepp kan vi titta på några exempel.

Längd

En sträcka har en dimension. Det betyder att den bara har en längd, som vi kan ange i enheten centimeter (1cm). En linje på ett papper har en längd. Om linjen är 12cm lång, har den en sträcka på 12cm.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Area

En yta har två dimensioner. Om ytan är begränsad har den en area, som vi kan ange i enheten kvadratcentimeter (1cm^2). En rektangel har en längd på 10cm och en bredd på 7cm. Dess area är 10cm * 7cm = 70 cm^2.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Volym

En kropp har tre dimensioner. Den har en volym som vi kan ange i enheten kubikcentimeter (1cm^3). En rätblock med längden 10cm, bredden 8cm och höjden 8cm har en volym på 10cm * 8cm * 8cm = 640cm^3.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Enheternas förhållande till varandra

Vi kan också visa hur olika enheter förhåller sig till varandra. Till exempel kan vi se att 1dm^3 (kubikdecimeter) är lika med 1 000cm^3. Det beror på att 1dm^3 motsvarar en kropp som kan delas in i 10 * 10 * 10 = 1 000 mindre kuber med volymen 1cm^3.

På samma sätt kan vi visa att 1m^3 = 1 000dm^3 och 1cm^3 = 1 000mm^3.

Teori

Enheter för volym

Volym är ett mått på hur mycket plats något tar upp i rymden. Det kan uttryckas i olika enheter, som kubikmeter (m^3), kubikdecimeter (dm^3), kubikcentimeter (cm^3) och kubikmillimeter (mm^3).

Enhet	Motsvarande enhet
1m^3	1 000 dm^3
1 dm^3	1 000 cm^3
1 cm^3	1 000 mm^3

Dessutom används enheter som liter (l), deciliter (dl), centiliter (cl) och milliliter (ml) för att uttrycka volymer i vardagliga sammanhang.

Till exempel kan en juiceförpackning ha en volym på 5cm * 10cm * 20cm = 1 000 cm^3. Det är lika med 1dm^3. Eftersom 1dm^3 motsvarar 1 liter, kan vi säga att juiceförpackningen rymmer 1 liter juice.

Kom ihåg omvandlingar

Vi vet att 1dm^3 motsvarar 1 000cm^3 och att 1 liter är lika med 1 000ml. Det betyder att:

1dm^3 = 1 liter

1cm^3 = 1 ml

Dessa omvandlingar är viktiga att känna till för att kunna räkna med volymer på olika sätt.

Exempel

Konvertering mellan volymenheter

En mjölkbonde beräknade vattnet som användes för bevattning och daglig mjölkproduktion i juni.

a Bonden använde 5 kubikmeter vatten den månaden. Hjälp bonden att konvertera denna mängd till liter.

V = 5m^3

Börja med att skriva ner det du vet.

1 m^3 = 1 000 l

En kubikmeter innehåller 1 000 liter.

5 m^3 = 5 * 1 000 l = 5 000 l

Multiplicera med omvandlingsfaktorn.

Svar: Bonden använde 5 000 liter vatten.

b Bondens kor gav cirka 45 liter mjölk per dag. Omvandla denna mängd till kubikcentimeter.

V = 45 l per dag

Börja med att skriva ner det du vet.

1 l = 1 000 cm^3

En liter motsvarar 1 000 kubikcentimeter.

45 l = 45 * 1 000 cm^3 = 45 000 cm^3

Multiplicera med omvandlingsfaktorn.

Svar: Korena producerade 45 000cm^3 mjölk varje dag.

Exempel

Byte av vatten i akvariet

Måtten på det följande rektangulära akvariet är 120 centimeter högt, 200 centimeter långt och 80 centimeter brett.

Det kommer att fyllas med 15-liters vattenhinkar. Hur många hinkar behövs för att fylla akvariet helt?

l = 200cm, b = 80cm, h = 120cm

Börja med att skriva ner det du vet.

Basytan:
B=200 cm * 80 cm = 16 000cm^2

Basytan är rektangelformen på bottenytan.

Volymen:
V = 16 000 cm^2 * 120 cm=

Volymen av ett rätblock är basytan gånger höjden.

=1 920 000 cm^3

1 920 000cm^3 = 1 920l

Omvandla volymen till liter. 1 000cm^3 = 1l.

1 920 l/15 l = 128

Dela volymen av akvariet med 15 för att bestämma antalet 15-litershinkar.

Svar: 128 hinkar behövs för att fylla akvariet helt.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Volym och begränsningsarea Åk 8

Uppgift 2.1

Tänk på följande berättelser. Bestäm om "begränsningsarea" eller "volym" är mer lämpligt.

En fabrik som tillverkar kassaskåp målar utsidan av varje kassaskåp med en specialfärg. De vill använda den optimala mängden färg för varje kassaskåp. Vilken information behövs för att bestämma denna mängd?

En bonde har en stor silo för att lagra säd. Han vill veta hur mycket säd silon kan rymma för att kunna planera sin skörd. Vilken information behöver han?

<row> <cell left="true" role="sol"> Fabriken vill måla ytorna. </cell> <cell right="true" role="exp"> Kommer fabriken att måla kassaskåpets ytor, eller kommer den att fylla kassaskåpet? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: Fabriken behöver känna till begränsningsarea. </cell> <cell right="true" role="exp"> Begränsningsarea avser den totala yttre arean av ett objekt. Volym avser det totala utrymmet inuti objektet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: Jordbrukaren behöver veta silots volym. </cell> <cell right="true" role="exp"> Kornet kommer att lagras i silot, så silots kapacitet behövs. </cell> </row>

Avgör om det givna påståendet alltid, ibland eller aldrig är sant.

Ett prisma har 2 basytor och 5 sidoytor.

<row> <cell left="true" role="sol"> Ett triangulärt prisma har 3 laterala ytor, en för varje sida av basen. </cell> <cell right="true" role="exp"> Ett prisma är en kropp med två likadana polygoner som basytor. Dessa basytor är sedan sammankopplade med rektangulära sidoytor. Hur många sidoytor har ett prisma med triangulära baser? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Ett prisma med fyrhörda baser har 4 sidoytor, en för varje sida av basen. </cell> <cell right="true" role="exp"> Hur många sidoytor har ett prisma med fyrhörda baser? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Ett prisma med pentagonala baser har 5 sidoytor, en för varje sida av basen. </cell> <cell right="true" role="exp"> Hur många sidoytor har ett prisma med pentagonala baser? </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ett prisma ibland har 2 basytor och 5 sidoytor. </cell> </row>

Bestäm begränsningsarean för det triangulära prismat.

<row> <cell left="true" role="sol"> Basen på triangeln: 16m
Triangelns sidor: 10m
Höjden på triangeln: 6m
Höjden på prismat: 9m </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Två av sidoytorna har arean 16* 6/2m^2 = 48m^2
Två av sidoytorna har arean 10* 9 m^2 = 90m^2
En av sidoytorna har arean 16* 9 m^2 = 144m^2 </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Prismats bas är en triangel. Du kan beräkna dess area med formeln A = b* h/2. De laterala ytorna är rektanglar. Arean av en rektangel är produkten av dess dimensioner.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Begränsningsarean:
(2 * 48+2 * 90 + 144)m^2 = 420m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Begränsningsarean är summan av areorna för alla kroppens ytor. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den totala arean av det triangulära prismat är 420 kvadratmeter. </cell> </row>

Behållaren är delvis fylld med enhetskubar. Hur många enhetskubar får plats i behållaren? Förklara din resonemang.

<row> <cell role="sol"> Antal kuber som får plats från vänster till höger: 9 kuber
Basens längd: 9 enheter </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Du kan placera kuber på botten av behållaren i 9 rader från vänster till höger. Därför är basens längd 9 enheter, eftersom varje enhetskub har en sidlängd på 1 enhet.

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Antal kuber som får plats från fram till bak: 7 kuber
Basens bredd: 7 enheter </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Du kan placera kuber på botten av behållaren i 7 rader från fram till bak, därför är basens bredd 7 enheter.

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Antal kuber som får plats från golv till tak: 5kuber
Prismats höjd: 5 enheter </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Fem kuber kan staplas från golv till tak. Det betyder att behållarens höjd är 5 enheter.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal kuber som täcker botten: 9* 7 = 63 </cell> <cell right="true" role="exp"> På botten av behållaren kan du antingen placera 9 kuber sida vid sida i 7 rader, eller 7 kuber från fram till bak i 9 rader. I båda fallen är det totala antalet kuber på botten 9 * 7 = 63 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Totalt antal kuber som får plats i behållaren: 5 * 63 = 315 </cell> <cell right="true" role="exp"> De 63 kuberna som täcker botten kan staplas uppåt i 5 lager. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B * h
V = 9 * 7 * 5 kubikenheter = 315 kubikenheter
V = 315 enhetskubar </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan också kontrollera ditt svar genom att använda formeln för prismans volym. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Behållaren kan fyllas med 315 enhetskubar. </cell> </row>

Följande prisma består av kuber med lika stora kantlängder. Området av den skuggade ytan är 96 kvadratcentimeter. Vad är volymen av den rektangulära prisman?

<row> <cell left="true" role="sol"> Arean av den skuggade ytan: 96cm^2
Antalet rutor i den skuggade ytan: 6 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Arean av varje kvadrat är 96/6cm^2 = 16cm^2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom den skuggade ytan på prismat består av 6 kvadrater, dividerar du dess area med 6 för att hitta arean av varje kvadrat. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Sidlängden för varje kvadrat är 4cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom arean av varje kvadrat är 16cm^2, och 4* 4=16, är sidlängden för varje kvadrat 4cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Prismat har en höjd på 3* 4cm = 12cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Betrakta den skuggade ytan som basen. Höjden som hör till denna bas är 3 gånger sidlängden på de små kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = B* h
V = 96* 12cm^3 = 1 152cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Volymen av ett prisma är produkten av basarean och höjden. Sätt in B=96cm^2 och h=12cm. </cell> </row>

Konvertera de givna volymerna till de angivna volymenheterna.

2 500 liter=? m^3

0,5 liter=? cl

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 500l = 2 500dm^3= </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd det faktum att en liter är lika med en kubikdecimeter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =2 500dm^3 = 2,5m^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 1 000dm^3 = 1m^3, så är 2 500dm^3 = 2,5m^3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 0,5l = 0,5* 100cl = 50cl </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 1 liter = 10 dl och 1 dl = 10 cl, är 1 liter = 100 cl. </cell> </row>

Skriv de givna volymerna i liter.

3 m^3

1 400 ml

700 cm^3

<row> <cell left="true" role="sol"> 3m^3 = 3 000dm^3= </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 1m^3 = 1 000dm^3 så är 3m^3 = 3 000dm^3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =3 000l </cell> <cell right="true" role="exp"> Kom ihåg att 1dm^3 = 1liter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: 1 400ml = 1,4l </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 1 000ml är lika med 1l, så är 1 400ml lika med 1,4l. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: 700cm^3 = 0,7l </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 1 000cm^3 = 1liter så är 500cm^3 = 0,5 liter. Det innebär att 700cm^3 = 0,7 liter. </cell> </row>

Ordna följande volymer från minst till störst. 750liter 0,9 m^3 150dm^3

<row> <cell left="true" role="sol"> V_1 = 750l
V_2 = 0,9 m^3
V_3 = 150 dm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_2 = 0,9m^3 = 900l </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 1 m^3 = 1 000 dm^3 och 1 dm^3 = 1 liter, så är 1 m^3 = 1 000 liter. Därför är 0,9 m^3 = 900 liter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V_3 = 150dm^3 = 150l </cell> <cell right="true" role="exp"> Kom ihåg att 1 dm^3 = 1 liter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Från minst till störst blir:

V_3 = 150l = 150dm^3
V_1 = 750l
V_2 = 900l = 0,9m^3

</cell> <cell right="true" role="exp"> Nu när du vet volymerna i liter kan du ordna dem från minst till störst. </cell> </row>

Beräkna volymen. Svara i kubikcentimeter.

<row> <cell left="true" role="sol"> l = 2dm
b = 8cm
h = 15cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> l = 2 dm = 20cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Se till att alla mått har samma längdenhet. För att göra det behöver du omvandla 2dm till cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> B = 20 * 8 cm^2 = 160cm^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Basytans mått är 20 cm på längden och 8 cm på bredden. Arean av basytan fås genom att multiplicera dess mått. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = 160 * 15cm^3 = 2 400cm^3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formeln V = B * h. </cell> </row>

Volym och begränsningsarea Åk 8

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan