body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ toc.name }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ stepNode.name }}

{{ 'ml-toc-proceed' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

( Ma 1c , Ma 1b ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ ability.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Vinkel

En vinkel mäter en vridning och har ofta enheten grader. Vinkeln $0^{\circ}$ innebär ingen vridning alls och $36 0^{\circ}$ motsvarar ett helt varv.

Spetsig vinkel och annan vinkel

Vinklar kan ges namn som trubbig eller spetsig baserat på hur stora de är, men de kan även ges namn baserat på hur de förhåller sig till varandra. Exempel på den sortens vinklar är sidovinklar, vertikalvinklar, likbelägna vinklar och alternatvinklar.

Beroende på storleken ges vinklar olika namn, och i intervallet $0^{\circ} < v \leq 18 0^{\circ}$ delas de upp i fyra kategorier: spetsiga, räta, trubbiga och raka. En rak vinkel är detsamma som ett halvt varv.

Hur stora är vinklarna?

fullscreen

Bestäm vinklarnas storlek.

Visa Lösning

Vinklarna bildar tillsammans en rak vinkel, så summan av dem är $18 0^{\circ}$ . Det betyder att $6 x + 8 x + 4 x = 18 0^{\circ}$ .

6 x + 8 x + 4 x = 18 0^{\circ}

Förenkla termer

18 x = 18 0^{\circ}

$VL / 18 = HL / 18$

x = 1 0^{\circ}

$x$ är alltså lika med $1 0^{\circ}$ . Det använder vi för att bestämma vinklarna.

Vinkel	Uttryck	Beräkning	$=$
Grön	$6 x$	$6 \cdot 1 0^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
Blå	$8 x$	$8 \cdot 1 0^{\circ}$	$8 0^{\circ}$
Röd	$4 x$	$4 \cdot 1 0^{\circ}$	$4 0^{\circ}$

Vinklarnas storlek är alltså $6 0^{\circ}$ , $8 0^{\circ}$ och $4 0^{\circ}$ .

Begrepp

Triangel

En triangel är en polygon med tre hörn, sammanbundna av tre raka sidor. Vinkelsumman är alltid $18 0^{\circ} .$ Vissa sorters trianglar förekommer ofta och har därför fått egna namn.

Rätvinklig triangel: En vinkel är $9 0^{\circ}$ .
Liksidig triangel: Alla sidor är lika långa.
Likbent triangel: Två sidor är lika långa.

När man räknar ut arean av en triangel använder man basen och höjden. Med triangelns bas menar man någon av sidorna, oftast den som är ritad horisontellt, och med höjden menar man det rätvinkliga avståndet från basen till motstående hörn.

Vad är höjden i en triangel?

fullscreen

Markera höjden $h$ i triangeln $△ A B C$ när basen utgörs av sidan $A B,$ $A C$ respektive $B C .$

Visa Lösning

Vi går igenom fallen ett i taget.

Exempel

Basen är $A B$

Vi drar höjden från

C

vinkelrät mot basen som i nedanstående figur.

Exempel

Basen är $A C$

Vi roterar triangeln så att

A C

ligger horisontellt. Höjden förhåller sig som sagt alltid vinkelrätt mot basen så om

A C

utgör bas mäts höjden till B utanför triangeln som i figuren nedan.

Exempel

Basen är $B C$

Vi roterar triangeln igen så att

B C

ligger horisontellt och drar höjden från

A

mot basen. På samma sätt som när

A C

var bas mäts höjden utanför triangeln.

Hur stor är tredje vinkeln i triangeln?

fullscreen

Vad är vinkeln vid hörn $C$ ?

Visa Lösning

Vinkel $A$ är $5 6^{\circ}$ och vinkeln $B$ är rät, det vill säga $9 0^{\circ}$ . Summan av vinklarna $A,$ $B$ och $C$ ska vara lika med vinkelsumman för en triangel: $18 0^{\circ} .$ Detta bildar en ekvation, som man kan lösa med t.ex. balansmetoden.

5 6^{\circ} + 9 0^{\circ} + C = 18 0^{\circ}

Förenkla termer

14 6^{\circ} + C = 18 0^{\circ}

$VL - 14 6^{\circ} = HL - 14 6^{\circ}$

C = 3 4^{\circ}

Vinkeln vid hörn $C$ är alltså $3 4^{\circ}$ .

Regel

Pythagoras sats

Om en triangel är rätvinklig gäller Pythagoras sats, som anger sambandet mellan de tre sidornas längder. Den längsta sidan i triangeln, hypotenusan, betecknas oftast med c och de två andra sidorna, som kallas kateter, med a och b.

Pythagoras sats384.svg

Enligt Pythagoras sats gäller att summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten av hypotenusan.

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

I en triangel man vet är rätvinklig, kan satsen användas för att beräkna en okänd sida. Men satsen innebär också att om Pythagoras sats gäller, då är triangeln rätvinklig. Därför kan man även använda satsen för att avgöra om en triangel är rätvinklig, ifall man vet

a,

b

och

c .

Bestäm okänd sida i en rätvinklig triangel

fullscreen

Bestäm den okända sidan i triangeln. Längderna är angivna i cm.

Visa Lösning

Vi har fått längderna för de två katetrarna i triangeln, alltså

a

och

b

i Pythagoras sats:

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

Den okända sidan,

x

, är hypotenusan och betecknas av

c

i satsen. Vi sätter in de kända sidorna och löser ut

x

.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

5^{2} + 1 2^{2} = x^{2}

Beräkna potens

25 + 144 = x^{2}

Förenkla termer

169 = x^{2}

Omarrangera ekvation

x^{2} = 169

$VL = HL$

x = \pm 169

Beräkna rot

x = \pm 13

$x > 0$

x = 13

Hypotenusan $x$ är alltså 13 cm lång. Vi fick ett negativt resultat också, men eftersom det är en längd vi är ute efter måste den vara positiv.

Är triangeln rätvinklig?

fullscreen

Triangeln nedan har sidlängderna $33$ cm, $55$ cm och $65$ cm. Är den rätvinklig?

Visa Lösning

En av vinklarna i figuren ser ut att vara $9 0^{\circ}$ , men det är omöjligt att veta säkert utan beräkningar. Pythagoras sats gäller bara för rätvinkliga trianglar, vilket innebär att man kan använda den för att avgöra om en triangel är rätvinklig eller ej. Sätter vi in sidlängderna i $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , där $a$ och $b$ är de två kortare sidorna $33$ cm och $55$ cm och $c$ är den längsta sidan $65$ cm, kommer likheten bara att gälla om triangeln är rätvinklig.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

3 3^{2} + 5 5^{2} = ? 6 5^{2}

Beräkna potens

1089 + 3025 = ? 4225

Förenkla termer

4114 \neq = 4225

Likheten stämmer inte, vilket innebär att triangeln inte är rätvinklig.

Regel

Notation inom geometri

Geometri innehåller en hel del speciella tecken och symboler som är bra att känna till.

Notation

Trianglar:

△

En triangel kan betecknas med symbolen $△$ följt av bokstäverna vid dess hörn. Triangeln nedan benämns alltså $△ A B C$ . En viss sida i en triangel kan anges med sidans start- och slutpunkt, t.ex. sidan mellan hörn $A$ och $B$ kallas $A B .$

Notation

Vinklar:

\land

eller

∠

För att namnge en vinkel används tecknet $\land$ eller ibland $∠$ , följt av en bokstav. Exempelvis kan den röda vinkeln i triangeln betecknas $\land B .$

Om en linje dras från $\land B$ mot sidan $A C$ delas vinkel $B$ i två mindre vinklar. Nu är det inte längre entydigt vad som är $\land B$ . Menar man den blå vinkeln som bildades i figuren nedan kallar man den $\land A B D$ : man utgår ifrån hörn $A$ , följer vinkelbenet mot $B$ och sedan till hörn $D .$ På motsvarande sätt kan man kalla hela den röda vinkeln för $\land A B C$ och den gröna $\land D B C$ .

Notation

Lika stora sidor eller vinklar: |, || eller |||

Är två eller fler sidor lika stora kan man markera att de är det med ett streck genom sidornas mittpunkter. Finns det fler sidor som är lika stora markeras dessa med två streck, nästa med tre osv. Samma notation används för att markera vinklar som är lika stora. I figuren är den blå och gröna triangeln likbenta vilket innebär att två sidor och basvinklarna i respektive triangel är lika.

{{ grade.displayTitle }}