Dashboard

Årskurs 7 Visa detaljer

3. Vinklar Åk 7

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 7 /

Kapitel 3

Vinklar Åk 7

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	13 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Vinklar Åk 7

Sida av 13

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Vinkel
Hel Vinkel
Rak Vinkel
Rät Vinkel
Spetsig Vinkel
Trubbig Vinkel
Gradskiva
Mäta en vinkel
Sidovinklar
Vertikalvinklar

Förkunskaper

Längd och skala

Utforska

Klara, färdiga, gå! Tidmätning med vinklar

Många tränare använder stoppur för att utvärdera en idrottares prestation. När startknappen trycks ned börjar sekundvisaren att rotera och bildar då en vinkel mot sin startposition. En rotation kan mätas i grader. Ett helt varv motsvarar 360^(∘), alltså 360 grader. Notera att ett helt varv av sekundvisaren innebär att en minut har gått.

Olika vinklar bildas när sekundvisaren roterar. Om man skulle dela in vinklar i olika grupper baserat på hur stora de är, vilka namn skulle då grupperna kunna få?

Teori

Vinklar

För att beskriva en vridning kan vi använda oss av en vinkel. En vinkel skapas genom två strålar som möts i en punkt, som kallas vinkelspetsen. Dessa strålar kallas för vinkelben. Storleken på vridningen mäts i grader och bestämmer hur stor vinkeln är.

Vinkeln ABC bildas av två strålar, BC och BA, som båda kallas för vinkelben. Strålarna delar startpunkt, nämligen punkt B, som också är vinkelspetsen.

Det finns flera olika typer av vinklar beroende på deras mått.

Spetsig vinkel

En spetsig vinkel är en vinkel som är större än 0^(∘) men mindre än 90^(∘). Till exempel, en vinkel på 45^(∘) är en spetsig vinkel.

Rät vinkel

Rät vinkel är en vinkel vars värde är exakt 90^(∘). En rät vinkel markeras ofta med en hake.

Trubbig vinkel

Trubbig vinkel är en vinkel som är större än 90^(∘) men mindre än 180^(∘). Till exempel, en vinkel på 135^(∘) är en trubbig vinkel.

Rak vinkel

Rak vinkel är en vinkel vars värde är exakt 180^(∘).

Geometriska symboler

Symbolen ∧ används för att beteckna vinklar inom geometri.

Exempel

Sista lektionstimmen

Elias har sin sista lektion. Han kollar på klockan i början av lektionen och den är elva.

a När Elias kollar på klockan igen är den 11.15. Hur många grader har minutvisaren roterat sedan Elias först tittade på klockan?

Början: 11.00 → minutvisaren vid 12
Slut: 11.15 → minutvisaren vid 3

Börja med att skriva ner det du vet.

Tid som gått: 15min

Tidsintervallet mellan 11.00 och 11.15 är 15 minuter.

1 minut = 6 ^(∘)

Ett helt varv är 360^(∘). Delat på 60 minuter ger 6^(∘) per minut.

15 * 6^(∘) = 90^(∘)

Multiplicera minuterna med grader per minut.

Svar: Att minutvisaren har roterat 90^(∘).

b Några minuter senare tittar Elias på klockan igen. Den är nu 11.45. Hur många grader har minutvisaren roterat sedan Elias senast kollade klockan?

Början: 11.15 → minutvisaren vid 3
Slut: 11.45 → minutvisaren vid 9

Börja med att skriva ner det du vet.

Tid som gått: 30min

Mellan 11.15 och 11.45 har det gått en halvtimme.

1 minut = 6 ^(∘)

Ett helt varv är 360^(∘). Delat på 60 minuter ger 6^(∘) per minut.

30 * 6^(∘) = 180^(∘)

Multiplicera 30 med 6 ^(∘). Resultatet är en rak vinkel.

Svar: Att minutvisaren har roterat 180 ^(∘).

Exempel

Olika tidszoner

På olika sidor av jorden har städer olika tidszoner. Till exempel, när klockan är 13.00 i Paris är den 7.00 i New York. Ett diagram visar klockor från olika städer.

Ordna städerna efter storleken på de markerade vinklarna från minst till störst.

Regel: 1 timsteg = 30^(∘)

En urtavla har 12 lika stora delar: 360 ^(∘)/12 = 30 ^(∘). Ett timsteg är avståndet mellan två timsiffror.

Klocka	Vinkel i grader
New York	5 * 30^(∘) = 150 ^(∘)
Los Angeles	4 * 30^(∘) = 120 ^(∘)
Bogotá	6 * 30^(∘) = 180 ^(∘)
Paris	1 * 30^(∘) = 30 ^(∘)
Sydney	3 * 30^(∘) = 90 ^(∘)
Kairo	2 * 30^(∘) = 60 ^(∘)

Räkna hur många timsteg den markerade vinkeln omfattar — det vill säga hur många timsteg det är mellan vinkelns två sidor. Exempel: Paris omfattar 1 timsteg. Multiplicera antalet timsteg med 30^(∘) för att få vinkelmåttet.

Svar: Paris, Kairo, Sydney, Los Angeles, New York, Bogotá

Övning

Vinklar på en klocka

När tiden går bildar klockans visare olika vinklar. Din uppgift är att dela in dessa vinklar i rätt kategorier genom att uppskatta deras storlek.

En klocka där vinkeln mellan minutvisaren och timvisaren är markerad.

Teori

Gradskiva

En gradskiva är ett verktyg som används för att mäta och rita vinklar. Gradskivan består av en halv cirkel och en rak kant. Den rundade delen är markerad i grader från 0^(∘) till 180^(∘). Denna mätskala används för att beskriva storleken av vinklar.

Markeringen i mitten vid den raka kanten ska placeras precis vid vinkelns spets. På samma sätt ska den räta linjen på gradskivan läggas längs med en av vinkelns sidor.

En vinkel som mäts med hjälp av en gradskiva

Gradskivor används också för att mäta och rita vinklar i verkligheten. Snickare använder dem till exempel ibland för att mäta vinklar när de ska såga i trä, så att bitarna passar ihop. Arkitekter använder dem ofta för att rita och kontrollera vinklar i olika designer och ritningar.

Teori

Mätning av en vinkel med en gradskiva

Gradskivan är ett användbart verktyg för att mäta vinklar noggrant, vilket ofta är viktigt när man ska lösa olika geometriska problem.

Det går att mäta vilken vinkel som helst med hjälp av följande process.

Placera gradskivan rätt

Placera gradskivan så att vinkelns spets hamnar precis vid mittmarkeringen. Vrid sedan gradskivan så att baslinjen ligger längs med en av vinkelns sidor.

Läs av värdet

Notera i vilken riktning vinkeln är orienterad, antingen medurs eller moturs. I detta exempel ska vinkeln mätas moturs med den inre skalan, eftersom vinkelns sida som hamnar på nollmarkeringen är på höger sida av gradskivan.

Läs sedan av vinkeln på gradskivan där den andra vinkelns sida korsar den inre skalan. I det här fallet hamnar den andra vinkelns sida på 145 på den inre skalan, vilket betyder att vinkeln är 145^(∘).

Observera att om gradskivan i stället placeras så att den andra vinkelns sida ligger längs med baslinjen ska vinkeln mätas medurs med den yttre skalan. Resultatet blir detsamma oavsett hur man mäter.

Övning

Mäta vinklar med gradskiva

Mät storleken på vinkeln med hjälp av en gradskiva. För enkelhetens skull är alla vinklar multiplar av 5. I det här fallet kommer räta vinklar inte att ritas med en hake utan med runda vinkelbågar.

Mät hur stor vinkeln är. Gradskivan kan roteras genom att dra i den blå pricken på vänster sida.

Teori

Sidovinklar och vertikalvinklar

När två vinklar ligger sida vid sida längs en rät linje och delar en gemensam vinkelben, kallas de för sidovinklar. Deras summa är alltid 180^(∘), vilket kan kontrolleras i följande applet.

Applikation som visar två vinklar som har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, inte överlappar, och vars summa är 180 grader

När två linjer skär varandra bildas fyra vinklar. De vinklar som står mitt emot varandra kallas för vertikalvinklar. En viktig egenskap hos vertikalvinklar är att de alltid är lika stora. Följande applet illustrerar denna egenskap.

Två sträckor som korsar varandra, och fyra vinklar som bildas i korsningen

Exempel

Vinklar som bildas av tre korsande linjer

Tre linjer korsar varandra och bildar åtta vinklar.

a Identifiera alla vertikalvinkelpar.

Vertikalvinklar ligger mitt emot varandra i samma korsning.

Vertikalvinklar bildas när två linjer korsar varandra. De ligger mitt emot varandra och är alltid lika stora. Varje korsning innehåller två par vertikalvinklar.

Övre korsningen:

a och f
c och g

Nedre korsningen:

b och e
d och h

Svar: a och f; c och g; b och e; d och h

Eftersom linjerna korsar varandra på två ställen finns fyra vertikalvinkelpar totalt.

b Vilka av följande par av vinklar är sidovinklar?

a och b, a och c, a och g, c och g, e och h

Sidovinklar delar ett vinkelben och bildar tillsammans 180^(∘).

Sidovinklar uppstår när två vinklar ligger intill varandra längs samma linje. De delar ett vinkelben och tillsammans utgör de en rak vinkel, alltså 180^(∘). Om vinklarna ligger på samma sida av en linje men inte delar vinkelben är de inte sidovinklar.

Undersök de givna paren:

a och b → Nej
a och c → Ja
a och g → Ja
c och g → Nej
e och h → Ja

Svar: a och c; a och g; e och h

Dessa par ligger intill varandra längs samma linje och uppfyller villkoret för sidovinklar.

Exempel

Vinklar vid vägskälet

Två tunnelbanelinjer, en blå och en purpurfärgad, korsar varandra vid ett vägskäl. Några vinklar är markerade vid korsningen.

Vad är måtten på vinklarna a och b?

a + 40^(∘) = 180^(∘)

a och 40^(∘) ligger intill varandra på den purpurfärgade linjen och bildar en rak linje, så de är sidovinklar.

a = 140^(∘)

b = 40^(∘)

b är vertikal vinkel till 40^(∘) vid korsningen mellan den blå och den purpurfärgade linjen.

Svar: a=140^(∘), b=40^(∘)

Övning

Beräkna värdet av x i vinkeln

För varje given vinkel, beräkna värdet av x.

Ett slumpmässigt par av vertikala, komplementära eller supplementära vinklar. Storleken på en av vinklarna är given och storleken på den andra efterfrågas.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Vinklar Åk 7

Uppgift 3.1

Beskriv hur du skulle använda en gradskiva för att mäta den visade vinkeln.

<row> <cell left="true" role="sol"> En vinkel vars mått är större än 180^(∘). </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

</cell> </row> <row> <cell role="exp"> Mät den inre vinkeln mellan strålarna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 360^(∘) - 60^(∘) = 300^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera måttet på den inre vinkeln från 360^(∘). </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Mät den inre vinkeln mellan strålarna och subtrahera sedan dess mått från 360^(∘). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> En vinkel vars mått är större än 180^(∘). </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

</cell> </row> <row> <cell role="exp"> Utvidga en av vinkelns sidor.
En rak vinkel kommer att bildas. Låt a vara den andra vinkeln. </cell> </row>

</cell> </row> <row> <cell role="exp"> Mät vinkeln a med en gradskiva. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 180^(∘) + 120^(∘) = 300^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg till vinkelmåtten. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Utvidga en av vinkelns sidor för att dela den ursprungliga vinkeln i två vinklar — en rak vinkel och en vinkel med mått mindre än 180^(∘). Mät den andra vinkelns mått med en gradskiva. Lägg till vinkelmåtten. </cell> </row>

På följande urtavlor är vinklar markerade mellan minut- och timvisarna.

Ordna städerna utifrån hur stora vinklarna är, från störst till minst.

<row> <cell left="true" role="sol"> Regel: 1 timsteg = 30^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> En urtavla har 12 lika stora delar: 360 ^(∘)/12 = 30 ^(∘) Ett timsteg är avståndet mellan två timsiffror. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal timsteg:
Madrid: 2
Sydney: 6
Lissabon: 3
Miami: 4
Kiev: 1 </cell> <cell right="true" role="exp"> Räkna hur många timsteg den markerade vinkeln spänner över (avståndet i timsteg mellan vinkelns två sidor). Exempel: Kiev omfattar 1 timsteg. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Vinkel i grader:
Madrid: 2 * 30^(∘) = 60^(∘)
Sydney: 6 * 30^(∘) = 180^(∘)
Lissabon: 3 * 30^(∘) = 90^(∘)
Miami: 4 * 30^(∘) = 120^(∘)
Kiev: 1 * 30^(∘) = 30^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera antalet timsteg med 30^(∘) för att få vinkelmåttet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar:
Sydney
Miami
Lissabon
Madrid
Kiev </cell> </row>

Tänk dig en väggklocka.

Vid vilka av följande tider bildar klockans visare en rät vinkel?

Vid vilka av följande tider bildar klockans visare en spetsig vinkel?

<row> <cell left="true" role="sol"> Tider:

3,00
6,00
9,00
11,00
12,30

</cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Regel: 1 timsteg =30^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> En urtavla har 12 lika stora delar: 360^(∘)/12 = 30^(∘). Ett timsteg är avståndet mellan två timsiffror. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal timsteg:
3,00 → 3
6,00 → 6
9,00 → 3
11,00 → 1
12,30 → 5,5 </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Räkna hur många timsteg den markerade vinkeln spänner över (avståndet i timsteg mellan vinkelns två sidor).

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Vinkel i grader:
3,00 → 3 * 30^(∘) = 90^(∘)
6,00 → 6 * 30^(∘) = 180^(∘)
9,00 → 3 * 30^(∘) = 90^(∘)
11,00 → 1 * 30^(∘) = 30^(∘)
12,30 → 5,5 * 30^(∘) = 165^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera antalet timsteg med 30^(∘) för att få vinkelmåttet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Klockans visare bildar räta vinklar när klockan är 3,00 och 9,00. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Tider:

2,00
5,00
6,00
8,00
11,00

</cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Antal timsteg:
2,00 → 2
5,00 → 5
6,00 → 6
8,00 → 4
11,00 → 1 </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Räkna hur många timsteg den markerade vinkeln spänner över (avståndet i timsteg mellan vinkelns två sidor).

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Vinkel i grader:
2,00 → 2 * 30^(∘) = 60^(∘)
5,00 → 5 * 30^(∘) = 150^(∘)
6,00 → 6 * 30^(∘) = 180^(∘)
8,00 → 4 * 30^(∘) = 120^(∘)
11,00 → 1 * 30^(∘) = 30^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera antalet timsteg med 30^(∘) för att få vinkelmåttet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Klockans visare bildar spetsiga vinklar när klockan är 2,00 och 11,00. </cell> </row>

Två spetsiga vinklar läggs ihop. Vilken typ(er) av vinkel(vinklar) bildar de? Förklara din resonemang.

<row> <cell left="true" role="sol"> a &= 20^(∘) + b &= 30^(∘) a+b &= 50^(∘) → spetsig </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg till två spetsiga vinklar med mått mindre än eller lika med 30^(∘) och klassificera summan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a &= 20^(∘) + b &= 70^(∘) a+b &= 90^(∘) → rät </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg till två vinklar vars summa är 90^(∘) och klassificera summan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a &= 50^(∘) + b &= 70^(∘) a+b &= 120^(∘) → trubbig </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg till två spetsiga vinklar med mått större än eller lika med 50^(∘) och klassificera summan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a och b kan inte bilda en rak vinkel. </cell> <cell right="true" role="exp"> Summan av två spetsiga vinklar är alltid mindre än 180^(∘). </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Summan av två spetsiga vinklar kan bilda en spetsig vinkel, en rät vinkel eller en trubbig vinkel. </cell> </row>

När en ljusstråle träffar en spegel, reflekteras ljuset. Infallsvinkeln är vinkeln vid vilken ljuset träffar spegeln, och reflektionsvinkeln är vinkeln vid vilken ljuset reflekteras. Infallsvinkeln och reflektionsvinkeln har samma mått.

I diagrammet är a=106^(∘). Bestäm reflektionsvinkeln och x.

<row> <cell left="true" role="sol"> Infallsvinkeln och reflektionsvinkeln har samma mått.
a=106^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Infallsvinkeln + reflektionsvinkeln = a </cell> <cell right="true" role="exp"> Infallsvinkeln och reflektionsvinkeln bildar tillsammans vinkel a. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Infallsvinkeln + reflektionsvinkeln &= a reflektionsvinkeln + reflektionsvinkeln &= 106^(∘) 2reflektionsvinkeln &= 106^(∘) reflektionsvinkeln &= 53^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationen för reflektionsvinkeln. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> reflektionsvinkeln + x = 90^(∘) </cell> </row> <row> <cell role="exp"> Reflektionsvinkeln och x bildar tillsammans en rät vinkel.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> reflektionsvinkeln + x &= 90^(∘) 53^(∘) + x &= 90^(∘) x &= 37^(∘) </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Reflektionsvinkeln är 53^(∘) och x=37^(∘). </cell> </row>

Vinklarna a och b är sidovinklar. Måttet av a är fyra mer än tre gånger måttet av b. Hitta måttet av varje vinkel.

a = 3b+4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Måttet av a är fyra mer än tre gånger måttet av b. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a+b=180^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Vinklarna a och b är sidovinklar. Måtten på sidovinklar adderas till 180^(∘). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3b+4 + b = 180^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in a=3b+4 i den tidigare ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a &= (3b+4)^(∘) a &= (3(44)+4)^(∘) a &= (132 + 4)^(∘) a &= 136^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in värdet på b i a=3b+4. </cell> </row>

Klassificera vinklarna som uppstår genom att dra en stråle i inre delen av trubbig vinkel. Inkludera alla möjligheter och förklara din resonemang.

Om en 75^(∘)-vinkel ritas inuti en 160^(∘)-vinkel erhålls två spetsiga vinklar (75^(∘) och 85^(∘)). </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Rita en godtycklig trubbig vinkel. Till exempel, rita en vinkel med ett mått på 160^(∘).
Rita en godtycklig stråle inuti den trubbiga vinkeln. Till exempel, rita en stråle som bildar en 75^(∘)-vinkel med en av sidorna.
Klassificera vinklarna. </cell> </row>

Om en 90^(∘)-vinkel ritas inuti en 160^(∘)-vinkel erhålls en rät vinkel och en spetsig vinkel (90^(∘) och 70^(∘)). </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Rita en godtycklig stråle inuti den trubbiga vinkeln. Till exempel, rita en stråle som bildar en 90^(∘)-vinkel med en av sidorna.
Klassificera vinklarna. </cell> </row>

Om en 40^(∘)-vinkel ritas inuti en 160^(∘)-vinkel erhålls en spetsig vinkel och en trubbig vinkel (40^(∘) och 120^(∘)). </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Rita en godtycklig stråle inuti den trubbiga vinkeln. Till exempel, rita en stråle som bildar en 40^(∘)-vinkel med en av sidorna.
Klassificera vinklarna. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Att rita en stråle inuti en trubbig vinkel kan bilda:

Ett par spetsiga vinklar.
En spetsig och en rät vinkel.
En spetsig och en trubbig vinkel.

</cell> </row>

Klockan visar 5,20. Hitta vinkelmåttet för visarna på en klocka vid 5,20.

<row> <cell role="sol"> Regel: 1 timsteg = 30^(∘) </cell> </row> <row> <cell role="exp"> En urtavla har 12 lika stora delar: 360^(∘)/12 = 30^(∘). Ett timsteg är avståndet mellan två timsiffror.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Den extra rörelsen hos timvisaren: 20/60 = 1/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Timvisaren rör sig från en siffra till nästa på 60 minuter.
Klockan 5,20 har det gått 20 minuter sedan 5,00.
Dela 20 med 60 för att ta reda på hur långt timvisaren har flyttat sig mellan 5 och 6. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Den extra rörelsen hos timvisaren: 1/3* 30^(∘) = 30^(∘)/3 = 10^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera bråket som timvisaren har flyttat med 30^(∘) för att få vinkeln mellan 5 och timvisarens aktuella position. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> 10^(∘) + 30^(∘) = 40^(∘) </cell> </row> <row> <cell role="exp"> Lägg till den tidigare beräknade vinkeln med 30^(∘) för att få vinkeln mellan visarna på klockan.

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Vinkeln som bildas av klockans visare är 40^(∘). </cell> </row>

Vinklar Åk 7

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≤

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan