Dashboard

Årskurs 7 Visa detaljer

3. Vinklar Åk 7

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 7 /

Kapitel 3

Vinklar Åk 7

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	13 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Vinklar Åk 7

Sida av 13

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Vinkel
Hel Vinkel
Rak Vinkel
Rät Vinkel
Spetsig Vinkel
Trubbig Vinkel
Gradskiva
Mäta en vinkel
Sidovinklar
Vertikalvinklar

Förkunskaper

Längd och skala

Utforska

Klara, färdiga, gå! Tidmätning med vinklar

Många tränare använder stoppur för att utvärdera en idrottares prestation. När startknappen trycks ned börjar sekundvisaren att rotera och bildar då en vinkel mot sin startposition. En rotation kan mätas i grader. Ett helt varv motsvarar 360^(∘), alltså 360 grader. Notera att ett helt varv av sekundvisaren innebär att en minut har gått.

Olika vinklar bildas när sekundvisaren roterar. Om man skulle dela in vinklar i olika grupper baserat på hur stora de är, vilka namn skulle då grupperna kunna få?

Teori

Vinklar

För att beskriva en vridning kan vi använda oss av en vinkel. En vinkel skapas genom två strålar som möts i en punkt, som kallas vinkelspetsen. Dessa strålar kallas för vinkelben. Storleken på vridningen mäts i grader och bestämmer hur stor vinkeln är.

Vinkeln ABC bildas av två strålar, BC och BA, som båda kallas för vinkelben. Strålarna delar startpunkt, nämligen punkt B, som också är vinkelspetsen.

Det finns flera olika typer av vinklar beroende på deras mått.

Spetsig vinkel

En spetsig vinkel är en vinkel som är större än 0^(∘) men mindre än 90^(∘). Till exempel, en vinkel på 45^(∘) är en spetsig vinkel.

Rät vinkel

Rät vinkel är en vinkel vars värde är exakt 90^(∘). En rät vinkel markeras ofta med en hake.

Trubbig vinkel

Trubbig vinkel är en vinkel som är större än 90^(∘) men mindre än 180^(∘). Till exempel, en vinkel på 135^(∘) är en trubbig vinkel.

Rak vinkel

Rak vinkel är en vinkel vars värde är exakt 180^(∘).

Geometriska symboler

Symbolen ∧ används för att beteckna vinklar inom geometri.

Exempel

Sista lektionstimmen

Elias har sin sista lektion. Han kollar på klockan i början av lektionen och den är elva.

a När Elias kollar på klockan igen är den 11.15. Hur många grader har minutvisaren roterat sedan Elias först tittade på klockan?

Början: 11.00 → minutvisaren vid 12
Slut: 11.15 → minutvisaren vid 3

Börja med att skriva ner det du vet.

Tid som gått: 15min

Tidsintervallet mellan 11.00 och 11.15 är 15 minuter.

1 minut = 6 ^(∘)

Ett helt varv är 360^(∘). Delat på 60 minuter ger 6^(∘) per minut.

15 * 6^(∘) = 90^(∘)

Multiplicera minuterna med grader per minut.

Svar: Att minutvisaren har roterat 90^(∘).

b Några minuter senare tittar Elias på klockan igen. Den är nu 11.45. Hur många grader har minutvisaren roterat sedan Elias senast kollade klockan?

Början: 11.15 → minutvisaren vid 3
Slut: 11.45 → minutvisaren vid 9

Börja med att skriva ner det du vet.

Tid som gått: 30min

Mellan 11.15 och 11.45 har det gått en halvtimme.

1 minut = 6 ^(∘)

Ett helt varv är 360^(∘). Delat på 60 minuter ger 6^(∘) per minut.

30 * 6^(∘) = 180^(∘)

Multiplicera 30 med 6 ^(∘). Resultatet är en rak vinkel.

Svar: Att minutvisaren har roterat 180 ^(∘).

Exempel

Olika tidszoner

På olika sidor av jorden har städer olika tidszoner. Till exempel, när klockan är 13.00 i Paris är den 7.00 i New York. Ett diagram visar klockor från olika städer.

Ordna städerna efter storleken på de markerade vinklarna från minst till störst.

Regel: 1 timsteg = 30^(∘)

En urtavla har 12 lika stora delar: 360 ^(∘)/12 = 30 ^(∘). Ett timsteg är avståndet mellan två timsiffror.

Klocka	Vinkel i grader
New York	5 * 30^(∘) = 150 ^(∘)
Los Angeles	4 * 30^(∘) = 120 ^(∘)
Bogotá	6 * 30^(∘) = 180 ^(∘)
Paris	1 * 30^(∘) = 30 ^(∘)
Sydney	3 * 30^(∘) = 90 ^(∘)
Kairo	2 * 30^(∘) = 60 ^(∘)

Räkna hur många timsteg den markerade vinkeln omfattar — det vill säga hur många timsteg det är mellan vinkelns två sidor. Exempel: Paris omfattar 1 timsteg. Multiplicera antalet timsteg med 30^(∘) för att få vinkelmåttet.

Svar: Paris, Kairo, Sydney, Los Angeles, New York, Bogotá

Övning

Vinklar på en klocka

När tiden går bildar klockans visare olika vinklar. Din uppgift är att dela in dessa vinklar i rätt kategorier genom att uppskatta deras storlek.

En klocka där vinkeln mellan minutvisaren och timvisaren är markerad.

Teori

Gradskiva

En gradskiva är ett verktyg som används för att mäta och rita vinklar. Gradskivan består av en halv cirkel och en rak kant. Den rundade delen är markerad i grader från 0^(∘) till 180^(∘). Denna mätskala används för att beskriva storleken av vinklar.

Markeringen i mitten vid den raka kanten ska placeras precis vid vinkelns spets. På samma sätt ska den räta linjen på gradskivan läggas längs med en av vinkelns sidor.

En vinkel som mäts med hjälp av en gradskiva

Gradskivor används också för att mäta och rita vinklar i verkligheten. Snickare använder dem till exempel ibland för att mäta vinklar när de ska såga i trä, så att bitarna passar ihop. Arkitekter använder dem ofta för att rita och kontrollera vinklar i olika designer och ritningar.

Teori

Mätning av en vinkel med en gradskiva

Gradskivan är ett användbart verktyg för att mäta vinklar noggrant, vilket ofta är viktigt när man ska lösa olika geometriska problem.

Det går att mäta vilken vinkel som helst med hjälp av följande process.

Placera gradskivan rätt

Placera gradskivan så att vinkelns spets hamnar precis vid mittmarkeringen. Vrid sedan gradskivan så att baslinjen ligger längs med en av vinkelns sidor.

Läs av värdet

Notera i vilken riktning vinkeln är orienterad, antingen medurs eller moturs. I detta exempel ska vinkeln mätas moturs med den inre skalan, eftersom vinkelns sida som hamnar på nollmarkeringen är på höger sida av gradskivan.

Läs sedan av vinkeln på gradskivan där den andra vinkelns sida korsar den inre skalan. I det här fallet hamnar den andra vinkelns sida på 145 på den inre skalan, vilket betyder att vinkeln är 145^(∘).

Observera att om gradskivan i stället placeras så att den andra vinkelns sida ligger längs med baslinjen ska vinkeln mätas medurs med den yttre skalan. Resultatet blir detsamma oavsett hur man mäter.

Övning

Mäta vinklar med gradskiva

Mät storleken på vinkeln med hjälp av en gradskiva. För enkelhetens skull är alla vinklar multiplar av 5. I det här fallet kommer räta vinklar inte att ritas med en hake utan med runda vinkelbågar.

Mät hur stor vinkeln är. Gradskivan kan roteras genom att dra i den blå pricken på vänster sida.

Teori

Sidovinklar och vertikalvinklar

När två vinklar ligger sida vid sida längs en rät linje och delar en gemensam vinkelben, kallas de för sidovinklar. Deras summa är alltid 180^(∘), vilket kan kontrolleras i följande applet.

Applikation som visar två vinklar som har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, inte överlappar, och vars summa är 180 grader

När två linjer skär varandra bildas fyra vinklar. De vinklar som står mitt emot varandra kallas för vertikalvinklar. En viktig egenskap hos vertikalvinklar är att de alltid är lika stora. Följande applet illustrerar denna egenskap.

Två sträckor som korsar varandra, och fyra vinklar som bildas i korsningen

Exempel

Vinklar som bildas av tre korsande linjer

Tre linjer korsar varandra och bildar åtta vinklar.

a Identifiera alla vertikalvinkelpar.

Vertikalvinklar ligger mitt emot varandra i samma korsning.

Vertikalvinklar bildas när två linjer korsar varandra. De ligger mitt emot varandra och är alltid lika stora. Varje korsning innehåller två par vertikalvinklar.

Övre korsningen:

a och f
c och g

Nedre korsningen:

b och e
d och h

Svar: a och f; c och g; b och e; d och h

Eftersom linjerna korsar varandra på två ställen finns fyra vertikalvinkelpar totalt.

b Vilka av följande par av vinklar är sidovinklar?

a och b, a och c, a och g, c och g, e och h

Sidovinklar delar ett vinkelben och bildar tillsammans 180^(∘).

Sidovinklar uppstår när två vinklar ligger intill varandra längs samma linje. De delar ett vinkelben och tillsammans utgör de en rak vinkel, alltså 180^(∘). Om vinklarna ligger på samma sida av en linje men inte delar vinkelben är de inte sidovinklar.

Undersök de givna paren:

a och b → Nej
a och c → Ja
a och g → Ja
c och g → Nej
e och h → Ja

Svar: a och c; a och g; e och h

Dessa par ligger intill varandra längs samma linje och uppfyller villkoret för sidovinklar.

Exempel

Vinklar vid vägskälet

Två tunnelbanelinjer, en blå och en purpurfärgad, korsar varandra vid ett vägskäl. Några vinklar är markerade vid korsningen.

Vad är måtten på vinklarna a och b?

a + 40^(∘) = 180^(∘)

a och 40^(∘) ligger intill varandra på den purpurfärgade linjen och bildar en rak linje, så de är sidovinklar.

a = 140^(∘)

b = 40^(∘)

b är vertikal vinkel till 40^(∘) vid korsningen mellan den blå och den purpurfärgade linjen.

Svar: a=140^(∘), b=40^(∘)

Övning

Beräkna värdet av x i vinkeln

För varje given vinkel, beräkna värdet av x.

Ett slumpmässigt par av vertikala, komplementära eller supplementära vinklar. Storleken på en av vinklarna är given och storleken på den andra efterfrågas.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Vinklar Åk 7

Uppgift 2.1

Bestäm vilka typer av vinklar som finns i följande bilder.

<row> <cell role="sol"> c → rät vinkel </cell> </row> <row> <cell role="exp"> Rät vinklar markeras med hake.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> &b < 90^(∘) & ⇓ &b → spetsig vinkel </cell> <cell right="true" role="exp"> Sidorna på b är mindre öppna än sidorna på c. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 90^(∘) < & a < 180^(∘) &⇓ a →& trubbig vinkel </cell> <cell right="true" role="exp"> Sidorna på a är mer öppna än sidorna på c men de bildar inte en rak linje. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar:
a → Trubbig
b → Spetsig
c → Rät </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> a → rät vinkel </cell> </row> <row> <cell role="exp"> Rät vinklar markeras med hake.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> &b < 90^(∘) & ⇓ &b → spetsig vinkel </cell> <cell right="true" role="exp"> Sidorna på b är mindre öppna än sidorna på a. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 90^(∘) < & c < 180^(∘) &⇓ c →& trubbig vinkel </cell> <cell right="true" role="exp"> Sidorna på c är mer öppna än sidorna på a men de bildar inte en rak linje. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar:
a → Rät
b → Spetsig
c → Trubbig </cell> </row>

Skriv klart följande mening.

Summan av två spetsiga vinklar är en trubbig vinkel.

<row> <cell left="true" role="sol"> u &= 15^(∘) + v &= 30^(∘) u+v &= 45^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Tänk på två vinklar med mått mindre än 40^(∘). Lägg sedan till måtten. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Summan är en spetsig vinkel. </cell> <cell right="true" role="exp"> Klassificera summan utifrån måttet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> w &= 70^(∘) + s &= 80^(∘) w+s &= 150^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Betrakta två vinklar med mått större än 50^(∘). Lägg sedan till måtten. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Summan är en trubbig vinkel. </cell> <cell right="true" role="exp"> Klassificera summan utifrån måttet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Om båda vinklarna är mindre än 40^(∘), kommer deras summa att vara mindre än 90^(∘) (spetsig) och om båda vinklarna är större än 50^(∘), kommer deras summa att vara större än 100^(∘) (trubbig).
Därför är summan av två spetsiga vinklar ibland en trubbig vinkel. </cell> </row>

Två vinklar a och b är vertikalvinklar. Om deras mått summeras till 90^(∘), hur stort är b?

<row> <cell left="true" role="sol"> a och b är vertikalvinklar.
a+b=90^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a = b </cell> <cell right="true" role="exp"> Vertikalvinklar har samma mått. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> b+b &= 90^(∘) 2b &= 90^(∘) b &= 45^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in i ekvationen. </cell> </row>

Klassificera vinklarna a och b som sidovinklar eller vertikalvinklar. Motivera ditt svar.

<row> <cell role="sol"> Svar: Vinklarna a och b är sidovinklar. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Vinklarna a och b bildar en rak linje och delar en sida.

</cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Vinklarna a och b är vertikalvinklar. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Vinklarna a och b ligger på motsatta sidor av korsningen mellan två linjer.

</cell> </row>

Vinklarna t och u är vertikalvinklar, och vinklarna v och w är sidovinklar.

Vinkeln u är 63^(∘). Hur stor är vinkeln t?

Vinkeln v är 70^(∘). Hur stor är vinkeln w?

<row> <cell left="true" role="sol"> Vinklarna t och u är vertikalvinklar.
u = 63^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> t = u </cell> <cell right="true" role="exp"> Vertikalvinklar är lika stora. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Vinklarna v och w är sidovinklar.
v=70^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> v+w = 180^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Sidovinklar summerar till 180^(∘). </cell> </row>

Hitta värdet på variabeln i varje bild. Motivera ditt svar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Vinklarna är sidovinklar. </cell> <cell right="true" role="exp"> Klassificera vinklarna utifrån deras positioner.
Vinklarna har en gemensam sida och bildar en rak linje. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3x+120^(∘) = 180^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Sidovinklar adderas till 180^(∘). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3x + 120^(∘) &= 180^(∘) 3x &= 60^(∘) x &= 20^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Vinklarna är vertikalvinklar. </cell> <cell right="true" role="exp"> Klassificera vinklarna utifrån deras positioner.
Vinklarna ligger på motsatta sidor om korsningen mellan två linjer. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 7z = 105^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Vertikalvinklar är lika stora. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 7z &= 105^(∘) z &= 15^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationen. </cell> </row>

Fyll i följande påståenden med alltid, ibland, eller aldrig.

Om a och b adderar 90^(∘), då är både a och b spetsiga.

Om c och d adderar 180^(∘), då är både c och d räta vinklar.

<row> <cell left="true" role="sol"> a+b= 90^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a< 90^(∘) och b< 90^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Varje vinkel måste vara mindre än deras summa. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Vinklarna a och b är båda spetsiga vinklar. </cell> <cell right="true" role="exp"> Klassificera vinklarna utifrån deras mått. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Om a och b adderar 90^(∘), då är både a och b alltid spetsiga. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> c+d = 180^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> c &= 90^(∘) + d &= 90^(∘) c + d &= 180^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Antag att c och d är räta vinklar. Lägg till dem. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> c &= 100^(∘) + d &= 80^(∘) c + d &= 180^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> Hitta ett annat par vinkelmått vars summa är 180^(∘). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> c och d är båda trubbiga vinklar. </cell> <cell right="true" role="exp"> Klassificera detta sista par av vinklar. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Om c och d adderar 180^(∘), då är både c och d ibland räta vinklar. </cell> </row>

En ljusstråle träffar vattnet och reflekteras. Vinkeln vid vilken ljusstrålen träffar vattnet är lika med vinkeln vid vilken ljusstrålen reflekteras från vattnet.

Vad är måttet på vinkeln vid vilken ljusstrålen reflekteras från vattnet?

<row> <cell left="true" role="sol"> x^(∘) + 90^(∘) + x^(∘) = 180^(∘) </cell> <cell right="true" role="exp"> De tre markerade vinklarna bildar en rak linje. Då adderas deras mått till 180^(∘). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x^(∘) +90^(∘) +x^(∘) &= 180^(∘) 2x^(∘) + 90^(∘) &= 180^(∘) 2x^(∘) &= 90^(∘) x&=45 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Vinkeln vid vilken ljusstrålen reflekteras från vattnet är 45^(∘). </cell> </row>

Vinklar Åk 7

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≤

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan