Vektorer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis vellervˉ. \vec{v} \quad \text{eller} \quad \bar{v}. Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den AB\overrightarrow{AB}, och om den riktas åt andra hållet får den namnet BA.\overrightarrow{BA}.

Begrepp

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas med koordinater, där xx- och yy-koordinaterna anger förändringen i respektive riktning. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkten.

Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
Uppgift

Skriv vektorerna u\vec{u} och v\vec{v} på koordinatform.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Parallellförflyttning av vektorer

När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater eftersom ändringen i xx- och yy-led inte beror på var vektorn är. Exempelvis beskrivs alla vektorer i figuren av v=(3,3).\vec{v}=(3,3).

Parallellförflytta

Parallellförflyttas vektorn så att startpunkten hamnar i origo kommer slutpunkten att få samma koordinater som själva vektorn.
Begrepp

Komposant

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera "delvektorer" som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät xx-komposant och en lodrät yy-komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn v=(6,4)\vec{v} = (6,4) delats upp i komposanterna vx=(6,0)\vec{v}_x = (6,0) och vy=(0,4).\vec{v}_y = (0,4).

Uppgift

Dela upp vektorn v\vec{v} i komposanter.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Längden av en vektor

Längden av en vektor v\vec{v} brukar skrivas v,|\vec{v}|, vilket utläses normen eller absolutbeloppet av v.\vec{v}. Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.

xx- och yy-komposanten av vektorn v=(a,b)\vec{v}= (a,b) har ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där v\vec{v} är hypotenusan. Längden för kateterna är aa och bb, och Pythagoras sats ger då (a,b)2=a2+b2. |(a,b)|^2 = a^2 + b^2. Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva bortser man från den negativa roten.

(a,b)=a2+b2|(a,b)| = \sqrt{a^2 + b^2}

Uppgift

Vad är längden av vektorerna u\vec{u} och v\vec{v} ?

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande storheter kan tolkas som vektorer och vilka kan tolkas som skalärer?

A. Temperaturen i klassrummet.
B. Volymen juice i ett glas.
C. Din massa.
D. En cyklists hastighet.
E. Kraften du använder för att öppna en dörr.
F. Din position i förhållande till mataffären.
G. Avståndet till skolan.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange vektorerna på koordinatform.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka vektorer är likadana?

Exercise741 1.svg
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv vektorerna på koordinatform.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad kan beskrivas med en vektor respektive skalär?


a

Kostnaden för en bil

b

Vinden

c

Sveriges befolkning

d

En flygresa mellan Stockholm och Köpenhamn

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koordinaterna för vektorerna a,\vec{a}, b\vec{b} och c.\vec{c}. Varje ruta är 1 l.e.


a
Uppgift762 1.svg


b
1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita följande vektorer.


a

v=(4,2)\vec{v}=(4,2)

b

w=(5,-3)\vec{w}=(5,\text{-}3)

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna längden av följande vektorer. Svara både exakt och med två decimalers noggrannhet.


a

v=(-4,7)\vec{v}=(\text{-}4,7)

b

u=(-8,-5)\vec{u}=(\text{-}8,\text{-}5)

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I nedanstående koordinatsystem har vektorn v\vec v ritats.


a

Rita komposanter vx\vec v_x och vy\vec v_y för vektorn, dvs. vektorns vågräta och lodräta komposant.

b

Vilken längd har vx\vec v_x och vy?\vec v_y?

c

Vilka är komposanternas koordinater?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vektorerna u\vec{u}, v\vec{v}, w\vec{w} och z\vec{z} är inritade i en cirkel.

Exercise759 1.svg


Avgör om följande påstående är sanna eller falska.


a

u=v|\vec{u}|=|\vec{v}|

b

u=v\vec{u}=\vec{v}

c

z=u\vec{z}=\vec{u}

d

w=2z|\vec{w}|=2|\vec{z}|

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vektorerna w=(5,72)\vec{w}=(5,\sqrt{72}) och u=(-4,y)\vec{u}=(\text{-}4,y) är lika långa. Bestäm y.y.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi vet att u=6.2|\vec{u}|=6.2 le. Bestäm koordinaterna för de gröna komposanterna, ux\vec{u}_x och uy.\vec{u}_y. Svara med två decimalers noggrannhet.

Exercise763 1.svg
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

ABCDEFGH är en regelbunden åttahörning.

Exercise766 1.svg


a

Definera vektorn v\vec{v} som AG.\overrightarrow{AG}. Hur många fler, lika långa vektorer kan du skapa med hjälp av hörnen?

b

Låt u=EF.\vec{u}=\overrightarrow{EF}. Finner du någon identisk vektor till u\vec{u}?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Om man ska dela upp en vektor v\vec{v} i två komposanter, och man känner till den ena, går det alltid att hitta den andra genom att dra en vektor från den kända komposantens slutpunkt till originalvektorns slutpunkt. Nedan visas detta för vågräta och lodräta vektorer.

Uppgift947 1.svg

Denna vektor k2\vec{k}_2 kan sedan flyttas så att den har sin startpunkt på samma ställe som originalvektorn.

Uppgift947 1 2.svg

Oftast använder man komposanter som är vågräta eller lodräta, men den här metoden går även bra att använda för att hitta komposanter i valfria riktningar. Med hjälp av den givna komposanten k1\vec{k}_1 för vektorn v\vec{v} i figuren nedan, bestäm den andra komposanten.

Uppgift947 2.svg
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd ett rutat papper där varje ruta motsvarar en längdenhet i de tre första uppgifterna.


a

Rita a=(4,3)\vec{a}=(4,3) och dess vinkelräta komposanter axochay. \vec{a}_x \quad \text{och} \quad \vec{a}_y.

b

Rita b=(2,-3)\vec{b}=(2,\text{-}3) och dess vinkelräta komposanter bxochby. \vec{b}_x \quad \text{och} \quad \vec{b}_y.

c

Rita vektorn c,\vec{c}, vars vinkelräta komposanter utgörs av ax\vec{a}_x och by.\vec{b}_y. Vad har ax,\vec{a}_x, by\vec{b}_y och c\vec{c} för koordinater?

d

Bestäm, utan att rita, koordinaterna för vektorn d\vec{d} om du vet att dess vinkelräta komposanter är dx=(7.54,0)ochdy=(0,-38.1). \vec{d}_x=(7.54,0) \quad \text{och} \quad \vec{d}_y=(0,\text{-} 38.1).

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du vet att vektorn u=(a23,b2) \vec{u}=\left(\dfrac{a^2}{3},b^2\right) har vinkeln 4545^\circ mot horisontalplanet. Du vet även att vektorn v=(2a,b)\vec{v}=(2a,b) har längden 13\sqrt{13} le. Bestäm v\vec{v}:s koordinater exakt om du vet att aa och bb är större än noll.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två jetplan flyger på samma höjd. I nedanstående radarbild representerar vektorerna flygplanens hastighet. Flygtornet försöker kontakta piloterna och varna dem att de kommer krascha om inte någon ändrar kurs. Tyvärr har flygplanens radio slutat fungera och de kan inte kommunicera med flygtornet.

Exercise760 1.svg

Flygledaren Ove gör ett par snabba beräkningar baserat på radarbilden och konstaterar att planen inte kommer krascha. Har Ove rätt?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}