Trigonometri - arcusfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om man känner till förhållandet mellan två sidor i en rätvinklig triangel, dvs. sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för en vinkel, kan man använda arcusfunktionerna för att beräkna denna vinkel. En vanlig arcusfunktion är arcussinus (arcsin), vilken kan ses som motsats till sinus.

Arccusfunktione 1.svg

På samma sätt är arcuscosinus (arccos) motsats till cosinus och arcustangens (arctan) motsats till tangens. Man kan alltså gå fram och tillbaka mellan en vinkel och motsvarande tangens-, sinus- och cosinusvärde. Detta illustreras nedan med några cosinusvärden.

Välj cosinusvärde:
0.710.71

0.50.5

0.170.17

I vissa fall, bland annat på flera räknare, skrivs arcusfunktionerna tan-1,\tan^{\text{-}1}, sin-1\sin^{\text{-}1} och cos-1.\cos^{\text{-}1}. Dessa ska alltså inte tolkas som potenser.

Eftersom beräkningar med de trigonometriska arcusfunktionerna ger vinklar som resultat är det bra att kontrollera om räknaren är inställd på radianer eller grader. För att beräkna en vinkel med arctan trycker man på knappen TAN-1^{\text{-}1} (2nd + TAN). Första parentesen skrivs ut automatiskt och efter den skriver man tangensvärdet som man vill räkna ut vinkeln för.

TI-beräkning som visar arcustangens
Knapparna SIN-1^{\text{-}1} (2nd + SIN) och COS-1^{\text{-}1} (2nd + COS) fungerar på motsvarande sätt för arcsin och arccos.
Uppgift


Bestäm vinkeln vv och u.u.

Skills Bestam vinkel med hjalp av en arcusfunktion1.svg
Lösning

Vi börjar med att beräkna vv. I uppgiften har vi fått längderna för två av triangelns sidor: hypotenusan och kateten längst bort från vinkeln vv, alltså den motstående kateten för vv. Vi kommer ihåg att man kan beräkna sinusvärdet för en vinkel med sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa. \sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}. Sinusvärdet för vv är alltså 1116.\frac{11}{16}. Om vi vet sinusvärdet för en vinkel kan vi använda arcsin\arcsin för att räkna ut själva vinkeln.

sin(v)=1116\sin(v) = \dfrac{11}{16}
v=arcsin(1116)v = \arcsin\left(\dfrac{11}{16}\right)

När vi ska slå in högerledet på räknaren använder vi SIN-1^{\text{-}1} (2nd + SIN), vilket är samma sak som arcsin. Glöm inte att kontrollera att räknaren är inställd på grader och inte radianer.

TI-räknare som visar arcussinus

Vinkeln vv är alltså ungefär 4343^\circ. Nu skulle vi kunna använda v,v, samt det faktum att vinkelsumman i en triangel är 180,180^\circ, för att räkna ut u,u, men det går också bra med arcuscosinus. De kända sidorna är då hypotenusan och den närliggande kateten. Definitionen för cosinus är cos(u)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa, \cos\left(u\right)=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}, vilket ger cosinusvärdet 1116.\frac{11}{16}. Vi beräknar vilken vinkel det motsvarar med hjälp av räknarens COS-1^{\text{-}1}-knapp (2nd + COS).

cos(u)=1116\cos(u) = \dfrac{11}{16}
u=arccos(1116)u = \arccos\left(\dfrac{11}{16}\right)
u=46.56746344u = 46.56746344\ldots^\circ
Avrunda till närmaste heltal
u47u \approx 47^\circ

Vinkel uu är alltså ungefär 4747^\circ.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}