Topptriangel- och transversalsatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Parallelltransversal

En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.

Transversal som skär två linjer utan rät vinkel

En parallelltransversal är parallell med någon av sidorna inuti en geometrisk figur. I triangeln är DEDE en parallelltransversal eftersom den är parallell med basen.

Parallelltransversal i triangel
Regel

Topptriangelsatsen

Om man drar en parallelltransversal i en triangel skapas en topptriangel.

Topptriangelsatsen säger att denna topptriangel är likformig med den stora triangeln. Av likformigheten följer att förhållandet mellan trianglarnas motsvarande sidor är samma.

Topptriangel som visar topptriangelsatsen

Förhållandet mellan baserna är alltså samma som mellan de vänstra respektive högra sidorna.

DEAB=CDAC=CEBC\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{CE}{BC}

Satsen kan bevisas genom att använda att transversalen är parallell med en av sidorna.
Uppgift

Sidan DEDE är en parallelltransversal. Bestäm längden av sträckan CDCD och svara med en decimal. Måtten är i cm.

Triangel med parallelltransversal
Visa lösning Visa lösning
Regel

Transversalsatsen

En parallelltransversal i en triangel delar två av sidorna i delsträckor. I triangeln har parallelltransversalen DEDE ritats in och bildat delsträckorna AD,AD, CD,CD, CECE och BE.BE.

Triangel med parallelltransversal

Enligt transversalsatsen är förhållandet mellan delsträckorna på ena sidan samma som för delsträckorna på den andra sidan.

CDAD=CEBE\dfrac{CD}{AD} = \dfrac{CE}{BE}

Satsen kan bevisas med hjälp av topptriangelsatsen.
Uppgift
Sträckan DEDE är en parallelltransversal. Bestäm längden av CECE och svara med en decimal.
Triangel med parallelltransversal och kända delsträckor
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I trianglarna har parallelltransversaler ritats in. Bestäm de okända sidorna. Längder är angivna i cm.

a
Triangel med parallelltransversal och topptriangel


b
Triangel med parallelltransversal och topptriangel
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I trianglarna har parallelltransversaler ritats in. Bestäm de okända sidorna och svara med en decimal. Längder är angivna i meter.

a
Triangel med parallelltransversal och topptriangel


b
Triangel med parallelltransversal och topptriangel
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna de okända sträckorna om du vet att transversalerna i figurerna är parallelltransversaler. Längderna är angivna i cm.

a
Triangel med parallelltransversal
b
Triangel med parallelltransversal
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna de okända sträckorna i följande trianglar. Måtten är i cm.


a
Triangel med parallelltransversal
b
Triangel med parallelltransversal
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En fotbollsspelare skjuter en hörna snett inåt spelplanen till en forward som är placerad som i figuren. Med hjälp av de givna måtten som är i meter, bestäm forwardens avstånd dd från kortlinjen.

Fotbollsplan med topptriangel
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de okända sidorna. Mått i mm.


a
Triangel med topptriangel


b
Triangel med topptriangel


c
Triangel med topptriangel
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Erik ska hugga ner en julgran. Innan han gör det vill han veta om den går in i hans lägenhet. Hjälp Erik att ta reda på detta om du vet att takhöjden i lägenheten är 2.42.4 meter och att Erik är 180180 cm lång.

man och julgran som bildar en rätvinklig triangel
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I alpina VM 20052005 vann Anja Pärson tävlingen i Super-G i en bana som förenklat kan beskrivas av figuren nedan. Banan startar på höjden 23352335 meter över havet (möh) och har en fallhöjd på 590590 meter.

Triangel som delas med en transversal i en topptriangel

Pontus står vid en liftstation en bit upp i banan och tittar på tävlingen. Hans höjdmätare visar att han är på 20002000 meters höjd över havet. På en skylt vid liftstationen står det att liften går 11321132 meter upp till startområdet, se figuren. Hur långt har tävlingsåkarna kvar att åka ner till målet när de passerar Pontus?

Nationella provet VT05 MaB
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I triangeln ABCABC har sträckan DEDE ritats in.

Triangel med transversal som skapar en topptriangel
a

Visa att DEDE är en parallelltransversal.

b

Bestäm sträckan x.x.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lina och Sara är ute och seglar i en båt som de har lånat. De seglar mot en bro och börjar fundera på om masten är för hög för att båten ska kunna passera under bron. För att kunna bestämma mastens höjd gör de några mätningar.

Segelbåt

Lina och Sara mäter avståndet från mastens fot och rakt ut mot akterstaget och finner att det är 4.504.50 m. Sedan mäter de avståndet från masten till akterstaget 0.800.80 m högre upp och parallellt med första mätningen. Det avståndet är 4.204.20 m. Se figur. Använd de mätningar som Lina och Sara har gjort och bestäm mastens höjd.

Nationella provet Ma 2b/2c ( Bedömningsexempel)
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm sidan xx i triangeln om DEDE är en parallelltransversal.

Triangel med parallelltransversal
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sträckan DEDE är en parallelltransversal. Bestäm arean av triangeln ABC.ABC.

Triangel och topptriangel med höjd
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ABC\triangle ABC ritas en transversal DEDE som är parallell med sidan ABAB. Transversalen delar BCBC i förhållandet 22:33. Beräkna kvoten DEAB.\frac{DE}{AB}.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ABC \triangle ABC har två parallelltransversaler ritats, en heldragen DEDE och en streckad FGFG. Den heldragna transversalen delar in ABC\triangle ABC i samma förhållande som den streckade transversalen delar in DEC\triangle DEC. Bestäm x.x.

Triangel med två parallelltransversaler
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I kvadraten ABCDABCD med sidan ss finns triangeln AEBAEB inritad på ett sådant sätt att triangelns sidor AEAE och EBEB delar sidan DCDC i tre lika stora delar. Visa att omkretsen av triangeln AEBAEB är s(10+1).s(\sqrt{10}+1). Glöm inte att motivera alla antaganden du gör.

Triangel som delar bas med kvadrat
3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den blå triangelns hörn FF ligger på sträckan ACAC:s mittpunkt, och DEDE är parallelltransversal till AC.AC. Visa att y=8x5.y=\frac{8x}{5}.

Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En halvcirkel har skrivits in i en rätvinklig triangel så att cirkelns diameter ligger längs hypotenusan och cirkelranden tangerar kateterna. Beräkna sträckan x.x. Avstånden är angivna i cm.

Halvcirkel inskriven i en rätvinklig triangel
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}