Topptriangel- och transversalsatsen

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Parallelltransversal

En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.

Transversal som skär två linjer utan rät vinkel

En parallelltransversal är parallell med någon av sidorna inuti en geometrisk figur. I triangeln är DEDE en parallelltransversal eftersom den är parallell med basen.

Parallelltransversal i triangel
Regel

Topptriangelsatsen

Om man drar en parallelltransversal i en triangel skapas en topptriangel.

Topptriangelsatsen säger att denna topptriangel är likformig med den stora triangeln. Av likformigheten följer att förhållandet mellan trianglarnas motsvarande sidor är samma.

Topptriangel som visar topptriangelsatsen

Förhållandet mellan baserna är alltså samma som mellan de vänstra respektive högra sidorna.

DEAB=CDAC=CEBC\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{CE}{BC}

Satsen kan bevisas genom att använda att transversalen är parallell med en av sidorna.
Uppgift

Sidan DEDE är en parallelltransversal. Bestäm längden av sträckan CDCD och svara med en decimal. Måtten är i cm.

Triangel med parallelltransversal
Lösning

Vi kallar sträckan CDCD för x.x. Eftersom DEDE är en parallelltransversal är topptriangeln CDECDE likformig med triangeln ABC.ABC.

Triangel med topptriangel

För likformiga trianglar är förhållandet mellan motsvarande sidor lika stort. Det betyder att vi kan ställa upp ekvationen 1.253=xx+2.5. \dfrac{1.25}{3}=\dfrac{x}{x+2.5}. Vi löser sedan ekvationen.

1.253=xx+2.5\dfrac{1.25}{3}=\dfrac{x}{x+2.5}
1.25(x+2.5)=3x1.25(x+2.5)=3\cdot x
1.25x+1.252.5=3x1.25\cdot x+1.25\cdot 2.5=3\cdot x
1.25x+3.125=3x1.25x+3.125=3x
3.125=1.75x3.125=1.75 x
1.75x=3.1251.75 x=3.125
x=3.1251.75x=\dfrac{3.125}{1.75}
x=1.78571x=1.78571\ldots
x1.8x\approx 1.8

Sträckan CDCD är cirka 1.8 cm.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Transversalsatsen

En parallelltransversal i en triangel delar två av sidorna i delsträckor. I triangeln har parallelltransversalen DEDE ritats in och bildat delsträckorna AD,AD, CD,CD, CECE och BE.BE.

Triangel med parallelltransversal

Enligt transversalsatsen är förhållandet mellan delsträckorna på ena sidan samma som för delsträckorna på den andra sidan.

CDAD=CEBE\dfrac{CD}{AD} = \dfrac{CE}{BE}

Satsen kan bevisas med hjälp av topptriangelsatsen.
Uppgift
Sträckan DEDE är en parallelltransversal. Bestäm längden av CECE och svara med en decimal.
Triangel med parallelltransversal och kända delsträckor
Lösning

Vi kallar den okända sidan CECE för x.x. Eftersom DEDE är en parallelltransversal delas den nedre och övre sidan i samma förhållande.

Triangel med parallelltransversal och kända delsträckor

Om vi delar xx med 1010 blir alltså kvoten samma som om vi delar 44 med 1212: x10=412. \dfrac{x}{10}=\dfrac{4}{12}. Nu löser vi ut x.x.

x10=412\dfrac{x}{10}=\dfrac{4}{12}
x=4012x =\dfrac{40}{12}
x=3.33333x =3.33333 \ldots
x3.3x \approx 3.3

Sträckan CECE är alltså cirka 3.33.3 le.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}