Tolka integraler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Förklaring

Integraler som modeller

Integraler kan användas i många verkliga situationer där värden varierar. Det kan handla om att beräkna

  • körsträckan för en bil som ändrar sin hastighet,
  • area eller volym för föremål med olika bredd på olika ställen,
  • energi förbrukad av en lampa med varierande effekt (dvs. en dimmer).

Den vanliga formeln för att beräkna körsträcka är s=vt s = vt, där vv är bilens fart och tt tiden den kör. Men om bilen kör olika fort vid olika tidpunkter bör farten beskrivas som en funktion av tiden, v(t)v(t). Då beräknas körsträckan mellan tidpunkterna t1t_1 och t2t_2 istället med integralen s=t1t2v(t)dt. s = \displaystyle{\int_{t_1}^{t_2}} v(t) \, \text{d}t.

Man kan tänka på detta som samma formel s=vts = vt, fast upprepad oändligt många gånger. Under ett oändligt kort tidsintervall dtt hinner farten inte ändras. Då är hastigheten v(t)v(t) konstant, så bilen färdas sträckan v(t)dtv(t)\,\text dt på den tiden. Integralen summerar alla sådana delsträckor mellan t1t_1 och t2t_2, och på så sätt beräknas den totala sträckan.
Regel

Sträcka, hastighet och acceleration

Sambandet mellan sträcka, hastighet och acceleration är en väldigt vanlig tillämpning av integraler. Derivatan av sträcka är hastighet, och därför är sträcka integralen av hastighet. På samma sätt kan hastighet deriveras till acceleration, vilket innebär att hastighet beräknas som integralen av acceleration.

samband sträcka hastighet acceleration

På samma sätt kan man utvidga den här kopplingen mellan derivata och integral i ett allmänt fall, för någon funktion f(x).f(x).

samband derivata och integral
Tolkningen av en integral varierar från fall till fall, men en derivata beskriver en förändringshastighet och på motsvarande sätt kan en integral tolkas som en sammanlagd förändring. Om man har en modell för hur något förändras (t.ex. antal födslar per dag) kan man, med hjälp av integraler, beräkna hur mycket som förändrats (antal nyfödda på ett år).
Regel

Enhet för integral

Som hjälp för att tolka en integral i ett verkligt sammanhang kan man använda integralens enhet. Den hittar man genom att multiplicera enheterna på koordinataxlarna.

Regel

En bestämd integral kan tolkas som arean under en kurva. En sådan integral kan approximeras med en Riemannsumma, där arean under grafen delats in i staplar. Arean av en stapel är produkten av avståndet i xx-led och yy-led: ΔxΔy. \Delta x \cdot \Delta y. Om man har enheterxx- och yy-axeln, kommer integralens enhet därför att vara produkten av dessa. Om enheterna t.ex. är meter per sekund (m/s) och sekund (s) kommer stapelns bredd ha enheten s och stapelns höjd m/s.

Arean, som i det här fallet är integralen, kommer då att få enheten sms.\text{s}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}. Förenklas uttrycket får man enheten meter (m).

Metod

Lösa problem med integraler

Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen f(t)=0.5t0.002t2, f(t)=0.5t-0.002t^2, där tt är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och f(t)f(t) är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första 3030 sekunderna med en integral.

1

Bestäm integrationsgränser

Man ska beräkna sträckan under de 3030 första sekunderna dvs. på intervallet 0300-30 sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är 00 och 30.30.

2

Ställ upp integralen

Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten 55 m/s innebär t.ex. att sträckan ökar med 55 meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de 3030 första sekunderna ges då av 030(0.5t0.002t2)dt. \int_0^{30}\left(0.5t-0.002t^2\right)\, \text dt.

3

Beräkna integralen
För att beräkna integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till f(t).f(t).
f(t)=0.5t0.002t2f(t)=0.5t-0.002t^2
F(t)=D-1(0.5t)D-1(0.002t2)F(t)=D^{\text{-}1}(0.5t)-D^{\text{-}1}\left(0.002t^2\right)
F(t)=0.5t22D-1(0.002t2)F(t)=\dfrac{0.5t^2}{2}-D^{\text{-}1}\left(0.002t^2\right)
F(t)=0.5t220.002t33F(t)=\dfrac{0.5t^2}{2}-\dfrac{0.002t^3}{3}
Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.
030(0.5t0.002t2)dt\displaystyle\int_{0}^{30}\left(0.5t-0.002t^2 \right) \, \text d t
[0.5t220.002t33]030\left[\dfrac{0.5t^2}{2}-\dfrac{0.002t^3}{3}\right]_0^{30}
[F(t)]030=F(30)F(0)\left[F(t)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{30}}=F\left({\color{#0000FF}{30}}\right)-F\left({\color{#009600}{0}}\right)
0.530220.0023033(0.50220.002033)\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{30}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#0000FF}{30}}^3}{3}-\left(\dfrac{0.5\cdot{\color{#009600}{0}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#009600}{0}}^3}{3}\right)
0.530220.0023033\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{30}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#0000FF}{30}}^3}{3}
0.590020.002270003\dfrac{0.5\cdot900}{2}-\dfrac{0.002\cdot27\,000}{3}
0.54500.00290000.5\cdot450-0.002\cdot9000
22518225-18
207207
Integralens värde är 207.207.

4

Besvara frågan i uppgiften

Eftersom integralens värde är 207207 hinner cyklisten alltså 207 meter 207 \text{ meter} under de 3030 första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut. f(t)f(t) har enheten m/s och tt har enheten s. Det betyder att integralen får enheten mss=m. \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \text{s}=\text{m}.

Uppgift

När Cassandra duschar varierar vattenflödet v(x)v(x) liter/min ur duschmunstycket enligt funktionen v(x)=-0.025x2+0.25x+12, v(x)=\text{-}0.025x^2+0.25x+12, där xx är antal minuter efter att hon vridit på vattnet. En dag testar hon att sätta i proppen i badkaret innan hon börjar duscha för att se hur mycket varmvatten hon gör av med. Om hon duschar i en kvart, hur många liter vatten bör då finnas i badkaret?

Lösning

Vi vill här summera en volym under en tid, vilket innebär att vi troligen kan lösa problemet med en integral.

Bestäm gränserna

Hon duschar i en kvart, dvs. i 1515 minuter. Den undre integrationsgränsen är därför x=0x=0 och den övre är x=15.x=15.

Ställ upp integralen

Funktionen v(x)v(x) beskriver hur många liter per minut som lämnar munstycket, och vi vill beräkna den totala volymen vatten som Cassandra gör av med. Eftersom flödeshastigheten förändras över tid kan vi integrera v(x)v(x) över denna tid för att hitta volymen: 015(-0.025x2+0.25x+12)dx. \displaystyle \int_0^{15} \left(\text{-}0.025x^2+0.25x+12 \right) \text{d}x.

Beräkna integralen

Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till v(x).v(x).
v(x)=-0.025x2+0.25x+12v(x)=\text{-}0.025x^2+0.25x+12
V(x)=D-1(-0.025x2)+D-1(0.25x)+D-1(12)V(x)=D ^{\text{-}1}\left(\text{-}0.025x^2\right)+D ^{\text{-}1}\left(0.25x\right)+D ^{\text{-}1}\left(12\right)
V(x)=-0.025x33+D-1(0.25x)+D-1(12)V(x)=\dfrac{\text{-}0.025x^3}{3}+D ^{\text{-}1}\left(0.25x\right)+D ^{\text{-}1}\left(12\right)
V(x)=-0.025x33+0.25x22+D-1(12)V(x)=\dfrac{\text{-}0.025x^3}{3}+\dfrac{0.25x^2}{2}+D ^{\text{-}1}(12)
V(x)=-0.025x33+0.25x22+12xV(x)=\dfrac{\text{-}0.025x^3}{3}+\dfrac{0.25x^2}{2}+12x
Nu kan vi använda integralkalkylens huvudsats för att beräkna integralen.
015-0.025x2+0.25x+12dx\displaystyle\int_{0}^{15}\text{-}0.025x^2+0.25x+12 \, \text d x
[-0.025x33+0.25x22+12x]015\left[\dfrac{\text{-}0.025x^3}{3}+\dfrac{0.25x^2}{2}+12x\right]_0^{15}
[V(x)]015=V(15)V(0)\left[V(x)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{15}}=V\left({\color{#0000FF}{15}}\right)-V\left({\color{#009600}{0}}\right)
-0.0251533+0.251522+1215(-0.025033+0.25022+120)\dfrac{\text{-}0.025\cdot{\color{#0000FF}{15}}^3}{3}+\dfrac{0.25\cdot{\color{#0000FF}{15}}^2}{2}+12\cdot{\color{#0000FF}{15}}-\left(\dfrac{\text{-}0.025\cdot{\color{#009600}{0}}^3}{3}+\dfrac{0.25\cdot{\color{#009600}{0}}^2}{2}+12\cdot{\color{#009600}{0}}\right)
-0.0251533+0.251522+1215\dfrac{\text{-}0.025\cdot15^3}{3}+\dfrac{0.25\cdot15^2}{2}+12\cdot15
180180

Besvara frågan i uppgiften

Integralen har värdet 180.180. Eftersom v(x)v(x) har enheten liter/min och xx har enheten minuter kommer integralen att få enheten literminuterminuter=liter.\frac{\text{liter}}{\text{minuter}} \cdot \text{minuter} = \text{liter}. Cassandra gör alltså av med 180 liter 180\text{ liter} vatten när hon duschat i 1515 minuter. Eftersom ett normalstort badkar rymmer ungefär 150150 liter behöver hon dra ur proppen om hon inte vill att badkaret ska svämma över.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}