Tolka integraler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Förklaring

Integraler som modeller

Integraler kan användas i många verkliga situationer där värden varierar. Det kan handla om att beräkna

  • körsträckan för en bil som ändrar sin hastighet,
  • area eller volym för föremål med olika bredd på olika ställen,
  • energi förbrukad av en lampa med varierande effekt (dvs. en dimmer).

Den vanliga formeln för att beräkna körsträcka är s=vt s = vt, där vv är bilens fart och tt tiden den kör. Men om bilen kör olika fort vid olika tidpunkter bör farten beskrivas som en funktion av tiden, v(t)v(t). Då beräknas körsträckan mellan tidpunkterna t1t_1 och t2t_2 istället med integralen s=t1t2v(t)dt. s = \displaystyle{\int_{t_1}^{t_2}} v(t) \, \text{d}t.

Man kan tänka på detta som samma formel s=vts = vt, fast upprepad oändligt många gånger. Under ett oändligt kort tidsintervall dtt hinner farten inte ändras. Då är hastigheten v(t)v(t) konstant, så bilen färdas sträckan v(t)dtv(t)\,\text dt på den tiden. Integralen summerar alla sådana delsträckor mellan t1t_1 och t2t_2, och på så sätt beräknas den totala sträckan.
Regel

Sträcka, hastighet och acceleration

Sambandet mellan sträcka, hastighet och acceleration är en väldigt vanlig tillämpning av integraler. Derivatan av sträcka är hastighet, och därför är sträcka integralen av hastighet. På samma sätt kan hastighet deriveras till acceleration, vilket innebär att hastighet beräknas som integralen av acceleration.

samband sträcka hastighet acceleration

På samma sätt kan man utvidga den här kopplingen mellan derivata och integral i ett allmänt fall, för någon funktion f(x).f(x).

samband derivata och integral
Tolkningen av en integral varierar från fall till fall, men en derivata beskriver en förändringshastighet och på motsvarande sätt kan en integral tolkas som en sammanlagd förändring. Om man har en modell för hur något förändras (t.ex. antal födslar per dag) kan man, med hjälp av integraler, beräkna hur mycket som förändrats (antal nyfödda på ett år).
Regel

Enhet för integral

Som hjälp för att tolka en integral i ett verkligt sammanhang kan man använda integralens enhet. Den hittar man genom att multiplicera enheterna på koordinataxlarna.

Regel

Metod

Lösa problem med integraler

Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen f(t)=0.5t0.002t2, f(t)=0.5t-0.002t^2, där tt är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och f(t)f(t) är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första 3030 sekunderna med en integral.

Man ska beräkna sträckan under de 3030 första sekunderna dvs. på intervallet 0300-30 sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är 00 och 30.30.

Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten 55 m/s innebär t.ex. att sträckan ökar med 55 meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de 3030 första sekunderna ges då av 030(0.5t0.002t2)dt. \int_0^{30}\left(0.5t-0.002t^2\right)\, \text dt.

För att beräkna integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till f(t).f(t).

f(t)=0.5t0.002t2f(t)=0.5t-0.002t^2
F(t)=D-1(0.5t)D-1(0.002t2)F(t)=D^{\text{-}1}(0.5t)-D^{\text{-}1}\left(0.002t^2\right)
F(t)=0.5t22D-1(0.002t2)F(t)=\dfrac{0.5t^2}{2}-D^{\text{-}1}\left(0.002t^2\right)
F(t)=0.5t220.002t33F(t)=\dfrac{0.5t^2}{2}-\dfrac{0.002t^3}{3}

Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.

030(0.5t0.002t2)dt\displaystyle\int_{0}^{30}\left(0.5t-0.002t^2 \right) \, \text d t
[0.5t220.002t33]030\left[\dfrac{0.5t^2}{2}-\dfrac{0.002t^3}{3}\right]_0^{30}
[F(t)]030=F(30)F(0)\left[F(t)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{30}}=F\left({\color{#0000FF}{30}}\right)-F\left({\color{#009600}{0}}\right)
0.530220.0023033(0.50220.002033)\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{30}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#0000FF}{30}}^3}{3}-\left(\dfrac{0.5\cdot{\color{#009600}{0}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#009600}{0}}^3}{3}\right)
0.530220.0023033\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{30}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#0000FF}{30}}^3}{3}
0.590020.002270003\dfrac{0.5\cdot900}{2}-\dfrac{0.002\cdot27\,000}{3}
0.54500.00290000.5\cdot450-0.002\cdot9000
22518225-18
207207

Integralens värde är 207.207.

Eftersom integralens värde är 207207 hinner cyklisten alltså 207 meter 207 \text{ meter} under de 3030 första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut. f(t)f(t) har enheten m/s och tt har enheten s. Det betyder att integralen får enheten mss=m. \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \text{s}=\text{m}.

Uppgift

När Cassandra duschar varierar vattenflödet v(x)v(x) liter/min ur duschmunstycket enligt funktionen v(x)=-0.025x2+0.25x+12, v(x)=\text{-}0.025x^2+0.25x+12, där xx är antal minuter efter att hon vridit på vattnet. En dag testar hon att sätta i proppen i badkaret innan hon börjar duscha för att se hur mycket varmvatten hon gör av med. Om hon duschar i en kvart, hur många liter vatten bör då finnas i badkaret?

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När man lämnar blod flödar det med hastigheten 0.30.3 dl/min. Xander, som ska lämna blod i morgon, är lite rädd. Hans storebror Philip, som har lämnat blod flera gånger och är väldigt duktig på matte, försöker lugna Xander genom att ställa upp en integral som beskriver vad som händer när man lämnar blod: 0150.3dt=4.5. \int_0^{15} 0.3 \, \mathrm{d}t=4.5.

a

Hur mycket blod ska Xander ge?

b

Hur lång tid tar blodgivningen?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hastigheten vv för ett plan som ska lyfta kan beskrivas med funktionen v(t)=5t m/sv(t)=5t \text{ m/s} där tt är tiden i sekunder. Starten tar 1515 sekunder. Hur lång sträcka färdas planet de sista 55 sekunderna?

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Micah springer sitt första maraton och hans hastighet under den första löptimmen kan beskrivas av funktionen v(t)=29t14.5t2, v(t)=29t-14.5t^2, där tt är tiden i timmar och v(t)v(t) är hastigheten i km/h.


a

Ställ upp en integral som beskriver hur långt Micah hinner de första 4545 minuterna.


b

Beräkna hur långt han hinner de första 4545 minuterna. Avrunda till en decimal.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Proppen dras ut ur ett badkar som är helt fyllt med vatten. Vattnet rinner ut med hastigheten f(t)=210.4tf(t)=21-0.4t liter/minut och det tar 88 minuter för badkaret att tömmas. Hur många liter rymmer badkaret? Avrunda till hela liter.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Den skickliga bartendern Glafkos jobbar på en bar i soliga Ayia Napa. Han är så pass skicklig att han faktiskt kan hälla upp öl med en konstant hastighet på 0.150.15 liter/sekund.


a

Ställ upp en integral som beskriver hur många liter Glafkos hinner hälla upp på 55 minuter.

b

Hur många halvlitersglas hinner Glafkos fylla på 55 minuter?

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förändringshastigheten för en bakterieodling efter tt timmar kan beskrivas enligt funktionen f(t)=2.123tbakterier/timme. f(t)=2.1\cdot 2^{3t}\quad \text{bakterier/timme.} Hur många bakterier finns det efter ett dygn?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett laboratorium har man beställt ett prov med en viss isotop av grundämnet torium. Denna isotop är radioaktiv och sönderfaller med h(t)=3.7e0.37tg/r,a˚ h(t) = 3.7e^{-0.37t} \; \text{g/år,} där tt är antalet år efter att provet anlände. Hur många gram sönderfaller under det första året? Svara med en decimal.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Temperaturen på en spisplatta förändras med T(x)T'(x) C^\circ\text{C}/minut, där xx är antal minuter efter plattan slås på. Tolka följande uttryck.

a

T(0)=25T(0)=25

b

04T(x)dx=120\displaystyle\int_{0}^{4}T'(x) \, \text d x =120

c

1015T(x)dx=0\displaystyle\int_{10}^{15}T'(x) \, \text d x =0

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En byggnadsarbetare kastar en tumstock rakt upp i luften till sin kollega som står på en byggnadsställning 4.54.5 m över marken. När kollegan ska fånga den missar han och tumstocken faller ner på arbetaren och träffar henne i huvudet 0.750.75 s efter att den har vänt i luften. Vilken hastighet har tumstocken när den träffar huvudet? Accelerationen i ett fritt fall är konstant -9.82\text{-} 9.82 m/s2.^2.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Pandemin Senapskålera drabbar världen. Antal personer som smittas varje dag kan beskrivas av funktionen y(x)=1.5x, y(x)=1.5^x, där xx är antalet dagar efter utbrottet. Bestäm hur många som är smittade efter 3030 dagar. Avrunda till närmaste tusental.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Befolkningsförändringen i kommunen Lövköping kan beskrivas av funktionen g(x)=-10x2+120x+200, g(x)=\text{-}10x^2+120x+200, där g(x)g(x) är förändringen i antal personer per månad och xx är antal månader av året som har passerat. Hur många personer ökade befolkningen med under andra kvartalet?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Birgit har tillbringat sin semester med att bygga en friggebod, men när det oundvikliga regnet till slut kommer upptäcker hon att det finns ett hål i taket. Under de 33 timmar då det regnar läcker det in vatten i friggeboden enligt funktionen f(t)=0.01t2ml/min, f(t) = 0.01t^2 \; \text{ml/min}, där tt är antalet minuter efter att det börjar regna. Birgit ställer dit en fyralitershink när det börjar regna. När måste hon tömma den? Svara i hela minuter.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Henrik rullar nedför en backe i en tunna som har diametern 0.60.6 m. När han lägger sig i tunnan står den stilla högst upp på backen. Tunnan accelererar sedan med 1m/s21 \, \text{m/s}^2 hela vägen ner. Det tar 55 sekunder för den att rulla ner för backen. Bestäm antalet varv tunnan rullade de sista 33 sekunderna. Avrunda till en decimal.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En bil som precis kört ut på en motorväg accelererar med 3.53.5 m/s2^2 under 44 sekunder så att den når hastigheten 120120 km/h.

a

Vad hade bilen för hastighet innan den körde ut på motorvägen? Svara i km/h.

b

Hur lång var accelerationssträckan?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}