Dashboard

Årskurs 9 Visa detaljer

5. Tillämpningar av linjära funktioner Åk 9

Klar med uppgifterna

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 9 /

Kapitel 2

Tillämpningar av linjära funktioner Åk 9

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Fast kostnad
Rörlig kostnad
Antal timmar
Proportionell
Proportionalitet

Förkunskaper

Linjära funktioner

Teori

Fast kostnad och rörlig kostnad

En kostnad kan bestå av både en fast kostnad och en rörlig kostnad. Låt oss se det genom ett exempel.

Exempel

En lokal cykeluthyrning tar ut en fast kostnad på 50 kronor, en rörlig kostnad på 30 kronor per timme. Hur påverkar detta den totala kostnaden när antalet timmar ökar?

Här är några exempel på de totala kostnaderna.

Antal timmar	Kostnad för hyrestimmar (kr)	Kostnad för hyrestimmar plus fast avgift (50kr)	Total kostnad (kr)
1	30*1= 30	30 +50	80
2	30*2= 60	60 +50	110
3	30*3= 90	90 +50	140
4	30*4= 120	120 +50	170

Om y representerar totalkostnaden och x antalet timmar som cykeln hyrs, kan följande funktion skapas:

y=30x + 50

där 30 är den rörliga kostnaden per timme och 50 är den fasta kostnaden. Kostnaden y beror på hur lång tid x uthyrningen varar. Kostnaden är den beroende variabeln och antalet timmar är den oberoende variabeln.

Rita grafen

För att visualisera denna funktion kan en graf ritas.

Tiden i timmar placeras på x-axeln och den totala kostnaden på y-axeln.
Vi har punkterna (1,80), (2,110), (3,140), och (4,170).
Nu kan dessa punkter ritas i ett koordinatsystem och kopplas ihop med en rak linje.

Teori

Proportionalitet

Proportionalitet är ett förhållande mellan två kvantiteter där den ena kvantiteten är en konstant multipel av den andra. Låt oss se det genom ett exempel.

Exempel

När man går och spelar bowling betalar man ibland bara ett pris per bana och timme, utan någon fast avgift. Anta att kostnaden är 180kr per timme.

Antal spelade timmar	Kostnad (kr)
0	0
1	180
2	360
3	540

Sambandet mellan tid och kostnad är mycket regelbundet.

Generellt, om man spelar i x timmar blir kostnaden 180 * xkr = 180xkr. Om vi kallar y för kostnaden, kan formeln skrivas:

y=180x eller y=180x+0

Det visar att k-värdet är 180 och m-värdet är 0. Detta kallas proportionalitet eftersom kostnaden ökar i samma takt som tiden.

Rita grafen

För att tydligare se sambandet kan en graf ritas upp. På x-axeln markeras tiden i timmar, och på y-axeln markeras kostnaden i kronor.

När punkterna ritas i ett koordinatsystem syns att de hamnar på en rak linje som går genom origo (0,0). En sådan funktion kallas en proportionalitet.

Kom ihåg

Grafen till en proportionalitet är alltid en rät linje genom origo.

Exempel

T-shirtbeställninga

Grafen visar kostnaden vid beställning av T-shirts.

Teckna funktionen för hur kostnaden (y) beror av antalet T-shirts (x) som beställs.

m=100

Läs av kostnaden när x=0.

Alltså är den fasta kostnaden 100kr.

rrl & 300 & kr -& 100 & kr & 200 & kr

Jämför kostnaden vid x = 0 och x = 1.

Alltså är den rörliga kostnaden 200kr per T-shirt.

Svar: Funktionen för kostnaden är y = 200x + 100

Sätt in värdena i y = kx + m.

Exempel

Fjäderkraft och Utdragning

Grafen visar hur fjäderns utdragning i centimeter beror av den applicerade kraften i Newton (x).

a Är utdragningen proportionell mot kraften?

Grafen är rät och går genom origo. Alltså är utdragningen proportionell mot kraften.

Titta på om grafen passerar origo och har en rak linje. En proportionalitet innebär en rak linje som startar i (0, 0).

Svar: Ja, utdragningen är proportionell mot kraften.

b Teckna funktionen för hur utdragningen (y) beror av kraften (x).

x=1 → y=2

Läs av hur mycket fjädern dras ut när kraften är 1N.

k = 2

Utdragningen ökar med 2 cm för varje 1 N, alltså är lutningen 2.

Svar: y = 2x

Sätt in lutningen i formen för proportionella samband y=kx.

Exempel

Jämförelse av två kostnadsalternativ

En skola vill beställa pennor till eleverna. Det finns två alternativ:

Alternativ A

5kr per penna (ingen fast kostnad).

Alternativ B

En fast kostnad på 200kr och sedan 2,5kr per penna.

a Skriv en funktion för den totala kostnaden C_A (i kr) när man beställer n pennor enligt Alternativ A.

Ingen fast kostnad:

m = 0

Börja med att identifiera de givna kostnaderna.

Rörlig kostnad:

k = 5 kr/penna

k är kostnaden per penna.

C_A = 5n

Sätt in värdena i formen y=kx+m.

Svar: C_A = 5n

b Skriv en funktion för den totala kostnaden C_B (i kr) när du beställer n pennor enligt Alternativ B.

Fast kostnad:

m=200

Den fasta kostnaden visar m-värdet.

Rörlig kostnad:

k = 2,5 kr/penna

Kostnaden ökar med 2,5 kr för varje extra penna.

Svar: C_B = 2,5n + 200

Sätt in k och m i formen y=kx+m.

c Bestäm för vilket antal pennor de båda alternativen kostar lika mycket.

5n = 2,5n + 200

Sätt funktionerna lika för att hitta skärningspunkten.

5n-2,5n = 200

2,5 n = 200

n=80

Svar: Alternativen kostar lika mycket vid n=80.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

En drönare startar på marken och stiger med konstant hastighet tills den når 150m på 50 sekunder.

Teckna funktionen för höjden (y) som beror på tiden (x).

Hur högt är drönaren efter 30 sekunder?

<row> <cell left="true" role="sol"> Drönaren stiger från 0m till 150m på 50 sekunder. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = 150/50.m /s. = 3 .m /s. </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna hur många meter drönaren stiger per sekund. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: y = 3x </cell> <cell right="true" role="exp"> Funktionen beskriver ett proportionellt samband där höjden ökar med 3 meter per sekund. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = 3 * 30 = 90 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in x = 30 i funktionen y = 3x. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Drönaren är 90m högt efter 30 sekunder. </cell> </row>

Grafen visar hur höjden på en växt förändras under de första 15 dagarna. Punkterna A, B, C och D visar uppmätta värden.

Uppskatta växtens tillväxttakt per dag.

Förutsäg hur hög växten blir efter 40 dagar om tillväxten fortsätter i samma takt.

<row> <cell role="sol"> Punkterna A, B, C och D ligger på en rät linje. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Börja med att observera att punkterna verkar bilda ett linjärt mönster.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Punkt A: (0, 10)
Punkt C: (10, 20) </cell> <cell right="true" role="exp"> Välj två punkter för att kontrollera tillväxttakten. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Förändring i höjd:
20 - 10 = 10cm
Förändring i tid:
10 - 0 = 10dagar </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna hur mycket växten har vuxit och under hur lång tid. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Tillväxttakt = 10cm/10dagar = </cell> <cell right="true" role="exp"> Divider höjdförändringen med tidsförändringen för att få tillväxttakten. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Växtens tillväxttakt är 1cm per dag. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Starthöjd: 10cm
Tillväxttakt: 1.cm /dag.
Tid: 40 dagar </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet från grafen och från a). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Total tillväxt = 1 * 40 = 40cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera tillväxttakten med antalet dagar. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Höjd efter 40 dagar:
(10 + 40)cm = 50cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg till tillväxten till starthöjden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Växten blir 50cm hög efter 40 dagar. </cell> </row>

Ett kylrum kyls från 20^(∘) C till -4 ^(∘) C på 10 timmar.

Skriv en funktion som visar temperaturen y beroende på tiden x.

Tolka vad lutningen betyder i sammanhanget.

<row> <cell left="true" role="sol"> Starttemperatur: 20^(∘) C vid x=0
Sluttemperatur: -4^(∘) C vid x=10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = -4-20/10-0 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera temperaturförändringen med tidsförändringen för att bestämma lutningen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: Funktionen är y = 20 -2,4x </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd formen y = kx + m där k= -2,4 och m= 20. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Lutningen är k = -2,4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: Lutningen -2,4 betyder att temperaturen sjunker med 2,4^(∘) C varje timme. </cell> <cell right="true" role="exp"> Det negativa tecknet visar att temperaturen minskar. Värdet 2,4 visar hur många grader den sjunker per timme. </cell> </row>

En idrottare springer 100 meter på 12 sekunder.

Teckna funktionen som beskriver sträckan s (i meter) som funktion av tiden t (i sekunder).

Om idrottaren ökar farten med 10 %, hur lång tid tar det då att springa 100 meter? Avrunda till tiondels sekund

<row> <cell left="true" role="sol"> Sträcka: 100m
Tid: 12s </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Hastigheten:
100/12 .m /s.= 25/3.m /s. </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna hastigheten genom att dela sträckan med tiden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> s = 25/3 * t </cell> <cell right="true" role="exp"> Sträckan är proportionell mot tiden när hastigheten är konstant. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: s = 25/3t eller s = 100/12t </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Sträcka: 100m
Gammal hastighet: 100/12.m /s. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Ny hastighet: 1,1 * 100/12 .m /s.= 110/12.m /s. </cell> <cell right="true" role="exp"> Öka hastigheten med 10 % genom att multiplicera med 1,1. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> t = .100 /110/12. s= 100 * 12/110s = </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera sträckan med den nya hastigheten för att få tiden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 1200/110 s= 120/11 s≈ 10,9s </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera sträckan med den nya hastigheten för att få tiden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Det tar ungefär 10,9s. </cell> </row>

En graf visar hur volymen vatten i en tank minskar när tanken töms.

Bestäm tapphastigheten.

Hur lång tid tar det att tömma halva tanken?

<row> <cell role="sol"> Två punkter på grafen är (0, 12 000) och (50, 8 000). </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Läs av två punkter från grafen.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = 8 000 - 12 000/50 - 0 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Lutningen visar hur mycket volymen ändras per minut.
Beräkna linjens lutning. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = -4 000/50 = -80 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lutningen är negativ eftersom vattennivån sjunker. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Tapphastigheten är 80 liter per minut. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Startvärdet är m = 12 000 och k-värdet är -80. </cell> <cell right="true" role="exp"> Identifiera startvärdet och lutningen från grafen och del a). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> V = -80t + 12 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in värdena i y = kx + m för att få linjens ekvation. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Halva tanken (liter):
12 000/2 = 6 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna hälften av startvolymen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6 000 = -80t + 12 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt V = 6 000 i ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Det tar 75 minuter att tömma halva tanken. </cell> </row>

Ett internationellt bokföretag erbjuder två prisalternativ för att beställa böcker. Priserna anges i amerikanska dollar. Graferna visar hur den totala kostnaden beror på antalet böcker.

Vad är den totala kostnaden för att köpa 50 böcker med det billigare alternativet?

<row> <cell role="sol"> Skärningspunkt: (5, 45) </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Vid vilken punkt skär graferna varandra?

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> För x > 5: medlemskapsplanen ligger lägre </cell> <cell right="true" role="exp"> Vilket alternativ är billigare efter skärningspunkten? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = kx + m </cell> <cell right="true" role="exp"> Vilken formel använder du för att skriva en rät linje? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> m = 15 </cell> <cell right="true" role="exp"> Var skär medlemskapsplanen y-axeln? Vad representerar detta värde? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = 45-15/5-0 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd punkterna (0, 15) och (5, 45) med stegmetoden. Hur mycket förändras x och y? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = 6 * 50 + 15= </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in x= 50 för att bestämma kostnaden för att beställa 50 böcker. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den totala kostnaden är 315 dollar. </cell> </row>

Ett transportföretag erbjuder två olika planer för bilkörning:

Plan A: Ingen fast kostnad. Rörlig kostnad på 4kr per kilometer.
Plan B: Fast årlig kostnad på 3 000kr. Rörlig kostnad på 3kr per kilometer.

Efter hur många kilometer blir Plan B billigare än Plan A?

Bestäm den totala besparingen efter att ha kört 5 000 kilometer med det billigare alternativet.

<row> <cell left="true" role="sol"> Plan A: ingen fast kostnad, 4kr per km </cell> <cell right="true" role="exp"> Vilken information har du om Plan A? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Plan A: y = 4x </cell> <cell right="true" role="exp"> Totalkostnaden är 4kr gånger antalet kilometer. Ingen fast kostnad betyder att vi startar på 0. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Plan B: fast kostnad 3 000kr, 3kr per km </cell> <cell right="true" role="exp"> Vilken information har du om Plan B? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Plan B: y = 3x + 3 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Totalkostnaden är 3kr per kilometer plus den fasta kostnaden 3 000kr. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4x = 3x + 3 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> När har planerna samma kostnad? Sätt funktionerna lika med varandra. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4x - 3x = 3 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 3x från båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = 3 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Vid 3 000 kilometer har planerna samma kostnad. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Plan A:
y=4 * 1 000 = 4 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Vilken plan är billigare före 3 000km? km? Testa ett värde, till exempel x = 1 000. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Plan A:
y = 4 * 4 000 = 16 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Vilken plan är billigare efter 3 000km? Testa ett värde, till exempel x = 4 000. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Plan B blir billigare efter 3 000 kilometer. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Plan A:
y = 4 * 5 000 = 20 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kostnaden för Plan A vid 5 000 kilometer. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Plan B:
y = 3 * 5 000 + 3 000 = 18 000 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kostnaden för Plan B vid 5 000 kilometer. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Besparing:
(20 000 - 18 000)kr = 2 000kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Hur stor är skillnaden mellan kostnaderna? </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den totala besparingen är 2 000kr. </cell> </row>

Två bibliotek har olika förseningsavgifter.

Bibliotek A tar 5kr per dag under den första veckan. Efter det ökar avgiften till 10kr per dag.
Bibliotek B tar en konstant avgift på 9kr per dag.

Ta reda på efter hur många dagar de totala avgifterna blir lika stora.

<row> <cell left="true" role="sol"> Bibliotek A: 5 kr per dag i 7 dagar, sedan 10kr per dag.
Bibliotek B: 9 kr per dag. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Bibliotek A: 5 * 7 kr för första veckan </cell> <cell right="true" role="exp"> Räkna ut kostnaden på bibliotek A för de första 7 dagarna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (d - 7) dagar kvar efter första veckan </cell> <cell right="true" role="exp"> Om totalt d dagar har gått är (d - 7) dagar kvar efter den första veckan. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10(d - 7)kr för dagarna efter första veckan </cell> <cell right="true" role="exp"> Dessa dagar kostar 10kr per dag på bibliotek A. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Bibliotek A: (5 * 7 + 10(d - 7))kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Lägg ihop kostnaden för första veckan och dagarna efter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (35 + 10d - 70)kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera ut parentesen och beräkna 5 * 7. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> (10d - 35)kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Förenkla uttrycket. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Bibliotek B: 9dkr </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv ett uttryck för kostnaden på bibliotek B. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 10d - 35 = 9d </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt uttrycken lika med varandra. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> d = 35 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Efter 35 dagar är de totala avgifterna lika stora. </cell> </row>

Tillämpningar av linjära funktioner Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan