Dashboard

Årskurs 9 Visa detaljer

5. Tillämpningar av linjära funktioner Åk 9

Klar med uppgifterna

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 9 /

Kapitel 2

Tillämpningar av linjära funktioner Åk 9

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Tillämpningar av linjära funktioner Åk 9

Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Fast kostnad
Rörlig kostnad
Antal timmar
Proportionell
Proportionalitet

Förkunskaper

Linjära funktioner

Teori

Fast kostnad och rörlig kostnad

En kostnad kan bestå av både en fast kostnad och en rörlig kostnad. Låt oss se det genom ett exempel.

Exempel

En lokal cykeluthyrning tar ut en fast kostnad på 50 kronor, en rörlig kostnad på 30 kronor per timme. Hur påverkar detta den totala kostnaden när antalet timmar ökar?

Här är några exempel på de totala kostnaderna.

Antal timmar	Kostnad för hyrestimmar (kr)	Kostnad för hyrestimmar plus fast avgift (50kr)	Total kostnad (kr)
1	30*1= 30	30 +50	80
2	30*2= 60	60 +50	110
3	30*3= 90	90 +50	140
4	30*4= 120	120 +50	170

Om y representerar totalkostnaden och x antalet timmar som cykeln hyrs, kan följande funktion skapas:

y=30x + 50

där 30 är den rörliga kostnaden per timme och 50 är den fasta kostnaden. Kostnaden y beror på hur lång tid x uthyrningen varar. Kostnaden är den beroende variabeln och antalet timmar är den oberoende variabeln.

Rita grafen

För att visualisera denna funktion kan en graf ritas.

Tiden i timmar placeras på x-axeln och den totala kostnaden på y-axeln.
Vi har punkterna (1,80), (2,110), (3,140), och (4,170).
Nu kan dessa punkter ritas i ett koordinatsystem och kopplas ihop med en rak linje.

Teori

Proportionalitet

Proportionalitet är ett förhållande mellan två kvantiteter där den ena kvantiteten är en konstant multipel av den andra. Låt oss se det genom ett exempel.

Exempel

När man går och spelar bowling betalar man ibland bara ett pris per bana och timme, utan någon fast avgift. Anta att kostnaden är 180kr per timme.

Antal spelade timmar	Kostnad (kr)
0	0
1	180
2	360
3	540

Sambandet mellan tid och kostnad är mycket regelbundet.

Generellt, om man spelar i x timmar blir kostnaden 180 * xkr = 180xkr. Om vi kallar y för kostnaden, kan formeln skrivas:

y=180x eller y=180x+0

Det visar att k-värdet är 180 och m-värdet är 0. Detta kallas proportionalitet eftersom kostnaden ökar i samma takt som tiden.

Rita grafen

För att tydligare se sambandet kan en graf ritas upp. På x-axeln markeras tiden i timmar, och på y-axeln markeras kostnaden i kronor.

När punkterna ritas i ett koordinatsystem syns att de hamnar på en rak linje som går genom origo (0,0). En sådan funktion kallas en proportionalitet.

Kom ihåg

Grafen till en proportionalitet är alltid en rät linje genom origo.

Exempel

T-shirtbeställninga

Grafen visar kostnaden vid beställning av T-shirts.

Teckna funktionen för hur kostnaden (y) beror av antalet T-shirts (x) som beställs.

m=100

Läs av kostnaden när x=0.

Alltså är den fasta kostnaden 100kr.

rrl & 300 & kr -& 100 & kr & 200 & kr

Jämför kostnaden vid x = 0 och x = 1.

Alltså är den rörliga kostnaden 200kr per T-shirt.

Svar: Funktionen för kostnaden är y = 200x + 100

Sätt in värdena i y = kx + m.

Exempel

Fjäderkraft och Utdragning

Grafen visar hur fjäderns utdragning i centimeter beror av den applicerade kraften i Newton (x).

a Är utdragningen proportionell mot kraften?

Grafen är rät och går genom origo. Alltså är utdragningen proportionell mot kraften.

Titta på om grafen passerar origo och har en rak linje. En proportionalitet innebär en rak linje som startar i (0, 0).

Svar: Ja, utdragningen är proportionell mot kraften.

b Teckna funktionen för hur utdragningen (y) beror av kraften (x).

x=1 → y=2

Läs av hur mycket fjädern dras ut när kraften är 1N.

k = 2

Utdragningen ökar med 2 cm för varje 1 N, alltså är lutningen 2.

Svar: y = 2x

Sätt in lutningen i formen för proportionella samband y=kx.

Exempel

Jämförelse av två kostnadsalternativ

En skola vill beställa pennor till eleverna. Det finns två alternativ:

Alternativ A

5kr per penna (ingen fast kostnad).

Alternativ B

En fast kostnad på 200kr och sedan 2,5kr per penna.

a Skriv en funktion för den totala kostnaden C_A (i kr) när man beställer n pennor enligt Alternativ A.

Ingen fast kostnad:

m = 0

Börja med att identifiera de givna kostnaderna.

Rörlig kostnad:

k = 5 kr/penna

k är kostnaden per penna.

C_A = 5n

Sätt in värdena i formen y=kx+m.

Svar: C_A = 5n

b Skriv en funktion för den totala kostnaden C_B (i kr) när du beställer n pennor enligt Alternativ B.

Fast kostnad:

m=200

Den fasta kostnaden visar m-värdet.

Rörlig kostnad:

k = 2,5 kr/penna

Kostnaden ökar med 2,5 kr för varje extra penna.

Svar: C_B = 2,5n + 200

Sätt in k och m i formen y=kx+m.

c Bestäm för vilket antal pennor de båda alternativen kostar lika mycket.

5n = 2,5n + 200

Sätt funktionerna lika för att hitta skärningspunkten.

5n-2,5n = 200

2,5 n = 200

n=80

Svar: Alternativen kostar lika mycket vid n=80.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Tillämpningar av linjära funktioner Åk 9

Uppgift 2.1

Klara har 10 dagar på sig att läsa klart en bok med 580 sidor för en bokklubbsdiskussion. Hon läser 60 sidor per dag. Skriv en funktion för antalet sidor P som återstår att läsa efter d dagar.

På vilken dag kommer Klara bli klar med boken om hon fortsätter i samma takt?

<row> <cell left="true" role="sol"> Totalt antal sidor: 580
Sidor lästa per dag: 60 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Efter d dagar har Klara läst 60* d sidor. </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna hur många sidor som lästs efter d dagar. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Svar: P = 580 - 60d </cell> <cell right="true" role="exp"> Kvarvarande sidor är totala sidor minus lästa sidor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> P = 0 ⇓ 580 - 60d = 0 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt antalet kvarvarande sidor till noll och lös ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 60d=580 ⇓ d= 9,67 </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ut d genom att dividera båda sidor med 60. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Klara blir klar dag 10. </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom Klara läser i hela dagar, rundar du upp till nästa heldag. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Klara kommer att bli klar med boken på den 10:e dagen. </cell> </row>

Grafen visar hur höjden på en växt förändras varje dag.

Bestäm växtens initiala höjd från grafen.

Identifiera hur mycket växten växer varje dag.

Vad är växtens höjd efter 15 dagar?

<row> <cell left="true" role="sol"> Grafen skär y-axeln vid y = 8. </cell> <cell right="true" role="exp"> Initiala höjden är höjden när x = 0. Läs av var grafen skär y-axeln. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Växtens initiala höjd är 8cm. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Vid dag 0: y = 8cm
Vid dag 4: y = 14cm </cell> <cell right="true" role="exp"> Välj två punkter på grafen och läs av höjderna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k= 14-8/4-0 = 6/4 = 1,5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna förändringen i höjd delat med förändringen i dagar. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Växten växer 1,5cm varje dag. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = 1,5 och m = 8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Från a) och b) vet du tillväxten per dag och den initiala höjden. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = 1,5x + 8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in värdena i formeln y = kx + m. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = 1,5 * 15 + 8 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in x = 15 och beräkna. </cell> </row>

Grafen visar temperaturen i grader Fahrenheit F som en funktion av grader Celsius C.

Använd informationen i grafen för att bestämma temperaturen i grader Fahrenheit när det är 80 grader Celsius.

<row> <cell left="true" role="sol"> Grafen skär y-axeln vid 32, alltså m = 32. </cell> <cell right="true" role="exp"> Läs av var grafen skär y-axeln. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> En annan punkt på grafen är (20, 68). </cell> <cell right="true" role="exp"> Läs av en till punkt på grafen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = 68 - 32/20 - 0 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd stegmetoden för att bestämma k-värdet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> F = 1,8C + 32 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv funktionens ekvation med k = 1,8 och m = 32. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> F = 1,8 * 80 + 32 </cell> <cell right="true" role="exp"> Ersätt C med 80 i ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> F = 144 + 32 </cell> <cell right="true" role="exp"> Multiplicera 1,8 med 80. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Temperaturen är 176 grader Fahrenheit. </cell> </row>

Diagrammet visar hur långt en cyklist har färdats.

Är sträckan proportionell mot tiden? Förklara.

Hur långt har personen cyklat efter 15 minuter?

Hur lång tid tar det att nå 12km?

<row> <cell left="true" role="sol"> Linjen startar i punkten (0, 0) och är rät. </cell> <cell right="true" role="exp"> För proportionalitet behöver grafen vara en rät linje genom origo. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, sträckan är proportionell mot tiden eftersom grafen är en rät linje genom origo. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Punkter från grafen: (0, 0) och (25, 15) </cell> <cell right="true" role="exp"> Läs av två punkter från grafen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = 15 - 0/25 - 0 = </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd stegmetoden för att hitta k-värdet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Cyklisten färdas 0,6km per minut. </cell> <cell right="true" role="exp"> </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Linjen går genom origo, så m = 0 </cell> <cell right="true" role="exp"> Det finns inget startvärde eftersom cyklisten börjar vid 0km. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> s = 0,6 * t </cell> <cell right="true" role="exp"> Sambandet mellan sträcka och tid kan skrivas som s = k * t. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> s = 0,6 * 15 km = 9km </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna sträckan efter 15 minuter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Personen har cyklat 9km efter 15 minuter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 12 = 0,6 * t </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in s = 12 i sambandet från deluppgift b) och lös ut t. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> t = 12/0,6= 20min </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda led med 0,6. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Det tar 20 minuter att nå 12km. </cell> </row>

En telefonoperatör har följande priser:

Grundavgift: 100kr
Samtalskostnad: 2kr per minut

Skriv en funktion för den totala kostnaden y.

Hur mycket kostar ett samtal på 25 minuter?

Rita grafen för kostnadsfunktionen.

<row> <cell left="true" role="sol"> Grundavgift: 100kr
Samtalskostnad: 2kr per minut </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Fast kostnad: m = 100
Rörlig kostnad: k = 2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Den fasta kostnaden är 100kr och den rörliga kostnaden är 2kr per minut. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = 2x + 100 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in värdena för k och m i formeln y = kx + m. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Funktionen är y = 2x + 100 där x är antalet minuter. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = 100 + 2x </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd funktionen från a). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = 50 + 100 = 150 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kostnaden. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Kostnaden är 150kr. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Punkter: (0, 100) och (25, 150) </cell> <cell right="true" role="exp"> När x = 0 är y = 100.
Du har även punkten (25, 150) från b). </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar:

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Rita en rät linje genom punkterna. </cell> </row>

En burk målarfärg räcker till 8m^2 och kostar 180kr.

Hur mycket kostar det att måla 1m^2?

Rita grafen som visar kostnaden (y) för antal målade m^2 (x). Är priset proportionellt mot ytan?

<row> <cell left="true" role="sol"> En burk kostar 180kr och räcker till 8m^2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Kostnad per m^2:
180/8 kr = 22,5kr </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera totalkostnaden med antalet m^2 för att få kostnaden per m^2. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Det kostar 22,5kr att måla 1m^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> y = 22,5x </cell> <cell right="true" role="exp"> Du multiplicerar kostnaden per m^2 med antalet m^2 (x) för att få totalkostnaden (y). </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar:

</cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Från del a) vet du att kostnaden för att måla 8 m^2 är 180kr. Även kostnaden för att måla 0m^2 är 0kr. Markera sedan punkterna (8,180) och (0,0) samt linjen som går genom dem. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Sambandet är y = 22,5x och grafen går genom origo. </cell> <cell right="true" role="exp"> Ett proportionellt samband har formen y = kx där grafen går genom origo. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, priset är proportionellt mot ytan. </cell> </row>

Temperaturen ökar från 20^(∘) C till 100^(∘) C på 5 minuter.

Hur många grader per minut ökar temperaturen?

Skriv funktionen för temperaturen som funktion av tiden.

<row> <cell left="true" role="sol"> Temperaturen ökar från 20^(∘) C till 100^(∘) C på 5 minuter. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Temperaturförändring:
100 - 20 = 80^(∘) C </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna hela förändringen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Ökning per minut:
80/5 = 16^(∘) C/min </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera temperaturförändringen med antalet minuter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Temperaturen ökar med 16^(∘) C per minut. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k = 16°C/min </cell> <cell right="true" role="exp"> Från deluppgift a) vet du att temperaturen ökar med 16^(∘) C per minut. Detta är k. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> m = 20^(∘) C </cell> <cell right="true" role="exp"> Starttemperaturen är 20^(∘) C. Detta är m. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> T = kt + m = 16t + 20 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in värdena i funktionsformen y = kx + m. Här använder vi T för temperatur och t för tid. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: T = 16t + 20 där t är tiden i minuter och T är temperaturen i ^(∘) C. </cell> </row>

Under ett strömavbrott stiger temperaturen i ett kylskåp från 5^(∘)C till 8 ^(∘) C på 3 timmar.

Skriv en funktion T för temperaturen, där T är temperaturen i ^(∘) C och t är tiden i timmar efter strömavbrottet.

Hur varm är temperaturen efter 5 timmar?

<row> <cell left="true" role="sol"> Starttemperatur: 5^(∘) C
Temperatur efter 3h: 8^(∘) C </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> k=8-5/3-0 = 3/3 = 1 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna förändringshastigheten (k-värdet). </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> T(t) = 1 * t + 5 = t+5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Skriv funktionen med starttemperaturen 5 och k-värdet 1. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: T = t +5 där T är temperaturen i ^(∘) C och t är tiden i timmar. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> T(5) = 5 + 5 = 10 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in t = 5 i funktionen från a). </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Temperaturen är 10^(∘) C efter 5 timmar. </cell> </row>

Tillämpningar av linjära funktioner Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan