Talföljder och mönster

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Teori

Talföljd

En talföljd är en ändlig eller oändlig följd av tal. Talen som utgör följden kallas för dess element. Ett exempel på en talföljd är 1,4,7,10,13, 1,\, 4, \, 7, \, 10, \, 13, \ldots

där punkterna på slutet innebär att den fortsätter oändligt långt. Talföljden ovan har en konstant steglängd, vilket innebär att differensen mellan två intilliggande element är lika stor. Detta kallas för en aritmetisk talföljd. Ett annat exempel är en geometrisk talföljd, där elementen istället ökar med en konstant faktor.
Begrepp

Mönster

I matematiken beskriver ett mönster en förändring som upprepas. I exemplet visas tändstickor som placerats i tre figurer.

Monster1.svg

Går det att hitta ett mönster? För varje figur läggs det på en triangel. Det måste alltså skapas en ny triangel i nästa figur.

Monster 684685.svg

Antalet stickor ökar med 2, och det mönstret kommer fortsätta för nästkommande figurer. I ord kan antalet stickor i mönstret beskrivas som "ökar med 2 för varje figur". Den första figuren har 3 stickor, den andra 5 osv.

Monster 2.svg

Med mönstret räknar vi ut att fjärde figuren har 9 stickor, den femte har 11, den sjätte har 13 osv. Vi kan beskriva detta med den aritmetiska talföljden

3,5,7,9,11,13, 3,5,7,9,11,13,\ldots
Begrepp

Från mönster till formel

Elementen i en talföljd numreras med platsnummer, n,n, där nn är positiva heltal 1, 2, 3, 4, osv. Elementen betecknas ana_n och beror på platsnumret: Första elementet brukar betecknas a1,a_1, andra a2a_2, tredje a3a_3 osv.

Monstertillformel 1.svg

Talföljder kan oftast beskrivas med en formel som beror på platsnumren. Formeln för en aritmetisk talföljd bestäms genom att undersöka startelementet a1a_1 och steglängden dd mellan elementen.

Dfggdd.svg

Talföljden 3,5,7,9,3, \, 5, \, 7, \, 9, \ldots börjar på a1=3a_1=3 och ökar med 2 för varje element, dvs. d=2.d=2. Talföljden kan då beskrivas med formeln an=3+(n1)2a_n = 3 + (n-1)\cdot 2, som kan förenklas till an=1+2n, a_n=1 + 2n,

om 2:an multipliceras in i parentesen. Med formeln kan man bestämma ett godtyckligt tal, an,a_n, i talföljden. Sätter man exempelvis in platsnumret n=5n = 5 i formeln får man ut vilket det femte elementet är.
Uppgift

Beräkna det femte elementet i talföljden an=3n1.a_n=3n-1.

Lösning

För att beräkna det femte elementet sätter vi in n=5n=5 i formeln och förenklar HL.

an=3n1a_n=3n-1
a5=351a_{{\color{#0000FF}{5}}}=3\cdot{\color{#0000FF}{5}}-1
a5=151a_5=15-1
a5=14a_5=14

Det femte elementet är 1414.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Ställ upp en formel för talföljden 2,7,13,18,23,2,7,13,18,23,\ldots

Lösning
Skillnaden mellan varje element är 55 vilket betyder att vi har en aritmetisk talföljd. För att bestämma ett godtyckligt element i en aritmetisk talföljd kan man använda formelnan=a1+(n1)d a_n=a_1+(n-1)d där a1a_1 är första element, dd är steglängden och nn är platsnumret. Vi sätter in första värdet 2 och steglängden 5 i formeln och förenklar.
an=a1+(n1)da_n=a_1+(n-1)d
an=2+(n1)5a_n={\color{#0000FF}{2}}+(n-1)\cdot {\color{#009600}{5}}
an=2+n515a_n=2+n\cdot5-1\cdot5
an=2+5n5a_n=2+5n-5
an=5n3a_n=5n-3

Talföljdens element kan beräknas med formeln an=5n3.a_n=5n-3.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}